大學物理學習資料：振動_4

1、提提 綱綱（此次課有機動內(nèi)容此次課有機動內(nèi)容） 1.8 諧振分析諧振分析(可與波動第五次課合并見“波動_5.ppt”） 周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉級數(shù)周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉級數(shù) 非周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉變換非周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉變換 簡正模簡正模 1.9 耦合振子耦合振子 簡正模的疊加簡正模的疊加 簡正模簡正模 例題：如何建立方程及求解例題：如何建立方程及求解 例題：邊長例題：邊長 、密度、密度 的木塊浮在大水槽的表面上，今把木塊完全的木塊浮在大水槽的表面上，今把木塊完全 壓入水中，然后放手，如不計水對木塊的阻壓入水中，然后放手，如不計水對木塊的阻 力，問木塊將如何運動？力，問木

2、塊將如何運動？ ml25. 0 3 800 mkg 木 木塊的運動是平動木塊的運動是平動，所以，所以 可用它上面任一點來描述，可用它上面任一點來描述， 現(xiàn)在我們選現(xiàn)在我們選Q點來描述木點來描述木 塊的運動。塊的運動。Q不一定是質(zhì)不一定是質(zhì) 心，但整體的平動可用心，但整體的平動可用Q 作代表點。作代表點。 解：選水面上一點解：選水面上一點O O為坐標原點；為坐標原點；平衡時平衡時， 木塊浮在水面，木塊上木塊浮在水面，木塊上Q Q點與點與O O 重合。其重合。其 頂部至水面距離為頂部至水面距離為 。a OQ a b xb Q x O m l b20. 0 1000 80025. 0 水 木 mbl

3、a05. 0 gSbgSl 水木 由題意：由題意： 設木塊橫截面積為設木塊橫截面積為S， 根據(jù)阿基米德定律根據(jù)阿基米德定律,平衡時：平衡時： bal 任一時刻任一時刻 OQ =x，木塊受力木塊受力 有重力和浮力不相等，其合有重力和浮力不相等，其合 力為做簡諧振動的恢復力，力為做簡諧振動的恢復力， 稱為稱為準彈性力。準彈性力。 xb Q x O gSlgxbS 木水 重力浮力)( gSlgSxg l S 木水水 水 木 gSx 水 gSx dt xd m c 水 2 2 設質(zhì)心與設質(zhì)心與Q的距離為的距離為 , 質(zhì)心的位置質(zhì)心的位置 。 其動力學方程即為其動力學方程即為質(zhì)心的運動方程質(zhì)心的運動方程

4、： hxxc h 將質(zhì)心坐標代入可知從將質(zhì)心坐標代入可知從 質(zhì)心運動過渡到剛體上質(zhì)心運動過渡到剛體上 任一點平動是等價的。任一點平動是等價的。 x b g x l g Sl gSx m gSx dt xd 木 水 木 水水 2 2 gSxxm 水 gSlmg 木 水 木 l b 木塊簡諧振動木塊簡諧振動 的動力學方程：的動力學方程： xbgx)/( 得木塊的運動方程：得木塊的運動方程： )cos()( 00 tAtx 1 0 0 . 7 20. 0 8 . 9 s l g 由初始條件：將木塊完全壓入水中由初始條件：將木塊完全壓入水中 其中固有角頻率：其中固有角頻率： m V xA05. 00

5、. 005. 0 2 2 0 2 0 2 0 ;05. 0 0 mx ; 0t 0 0 V 0 . 0 00 0 0 x V tg 0 0 x 0 0 舍去舍去： 0 mttx)0 . 7cos(05. 0)( 所以：所以： xbgx)/( 任何一周期函數(shù)都可表示為簡諧函數(shù)的合成。任何一周期函數(shù)都可表示為簡諧函數(shù)的合成。 也就是說，任何一個復雜的周期振動都可以也就是說，任何一個復雜的周期振動都可以 分解為一系列簡諧振動之和。分解為一系列簡諧振動之和。 1 0 0 )cos( k kk tkAA 稱為周期函數(shù)稱為周期函數(shù) 的的付里葉級數(shù)付里葉級數(shù), 而而 和和 稱為稱為付里葉系數(shù)付里葉系數(shù) )(

6、tF kk BAA, 0kk A, 1.8 諧振分析諧振分析 周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉級數(shù)周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉級數(shù) 1 0 1 00 sincos)( k k k k tkBtkAAtF 這些分振動中頻率最低的稱為基頻振動，它這些分振動中頻率最低的稱為基頻振動，它 的頻率就是原周期函數(shù)的頻率，的頻率就是原周期函數(shù)的頻率，稱為基頻。稱為基頻。 dttktF T B T T k 2 2 0 sin)( 2 dttktF T A T T k 2 2 0 cos)( 2 dttF T A T T 2 2 0 )( 1 其它分振動的頻率都是基頻的整數(shù)倍，其它分振動的頻率都是基頻的整數(shù)倍，稱為諧頻

7、。稱為諧頻。 頻譜頻譜：以頻率為橫坐標，以相應的振幅為縱坐標：以頻率為橫坐標，以相應的振幅為縱坐標 所作的圖解，稱為該振動的頻譜。所作的圖解，稱為該振動的頻譜。 FULIYE FPCAI 頻譜分析頻譜分析:周期性振動具有離散譜。周期性振動具有離散譜。 這種將任一振動分解為簡諧振動的這種將任一振動分解為簡諧振動的 方法稱為頻譜分析。方法稱為頻譜分析。 非周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉變換非周期函數(shù)的頻譜分析與付里葉變換 任一非周期函數(shù)也都可表示為簡諧函數(shù)的合成：任一非周期函數(shù)也都可表示為簡諧函數(shù)的合成： 00 sin)(cos)()(tdBtdAtF deftF ti )( 2 1 )( 上式稱為非

8、周期函數(shù)的付里葉積分。上式稱為非周期函數(shù)的付里葉積分。 或是或是 的付里葉逆變換。的付里葉逆變換。)(f dtetFf ti )( 2 1 )( 稱為非周期函數(shù)的稱為非周期函數(shù)的 付里葉變換。付里葉變換。 dtetFf ti )( 2 1 )( 非周期振動的頻譜是連續(xù)譜非周期振動的頻譜是連續(xù)譜。波形和頻譜互為。波形和頻譜互為 付里葉變換，它具有鮮明的物理背景，頻譜分付里葉變換，它具有鮮明的物理背景，頻譜分 析是研究振動的重要方法之一。析是研究振動的重要方法之一。 稱為稱為非周期函數(shù)非周期函數(shù) 的付里葉變換的付里葉變換。 二十世紀六十年代以來，二十世紀六十年代以來， 付里葉變換的方法把電子付里葉

9、變換的方法把電子 衍射圖形與電子顯微成象衍射圖形與電子顯微成象 有機地結(jié)合在一起，有機地結(jié)合在一起，為晶為晶 體結(jié)構的研究開拓了新的體結(jié)構的研究開拓了新的 途徑。途徑。 1.9 耦合振子耦合振子 ) 1 ()( abaa xxKkxxm ) 2()( abbb xxKkxxm 當兩個彈簧振子用另一根彈簧聯(lián)結(jié)起來時，當兩個彈簧振子用另一根彈簧聯(lián)結(jié)起來時， 這種系統(tǒng)稱為這種系統(tǒng)稱為耦合振子耦合振子。 取彈簧各自的原長處為取彈簧各自的原長處為 坐標零點，則運動方程：坐標零點，則運動方程： 設振子的質(zhì)量均為設振子的質(zhì)量均為m a x k K m b x m k 取為正方向取為正方向 簡正模簡正模 )

10、1 ()( abaa xxKkxxm ) 2 ()( abbb xxKkxxm 由這兩個方程的結(jié)構可看出，每個振子的由這兩個方程的結(jié)構可看出，每個振子的 加速度都與另一振子的位置有關。加速度都與另一振子的位置有關。 換言之，它們的運動彼此相關聯(lián)換言之，它們的運動彼此相關聯(lián) 即兩振子之間存在著即兩振子之間存在著耦合耦合。 上述兩個方程都不是簡單的簡諧振動方程，上述兩個方程都不是簡單的簡諧振動方程， 一般來說，即使是兩個全同的耦合振子，一般來說，即使是兩個全同的耦合振子， 每個振子的運動也還是比較復雜的。每個振子的運動也還是比較復雜的。 首先考慮最簡單的運動情況首先考慮最簡單的運動情況: a x

11、k K m b x m k 取為正方向取為正方向 即相互耦合的兩個全同即相互耦合的兩個全同 振子以相同的頻率以及振子以相同的頻率以及 相同或相反的初相位作相同或相反的初相位作 簡諧振動。適當選取時簡諧振動。適當選取時 間零點，并假定這里的間零點，并假定這里的 “振幅振幅”可以是正的或負可以是正的或負 的，則可設的，則可設: tAxacos tBxbcos 在這種情況下，任意時刻都有在這種情況下，任意時刻都有 bba xx B A x 將它代入式將它代入式(1)和和(2)，可以得到：，可以得到： ； b b x m Kk dt xd ) 1( 2 2 b b x m Kk dt xd )1 (

12、2 2 b b x m Kk dt xd ) 1( 2 2 b b x m Kk dt xd )1 ( 2 2 這是兩個簡諧振動方程，這是兩個簡諧振動方程， 對應的角頻率的平方分別對應的角頻率的平方分別 為方括號中所給出的量。為方括號中所給出的量。 既然兩個方程所描寫的是既然兩個方程所描寫的是 同一振子的運動，這兩個同一振子的運動，這兩個 量就應該相等，即：量就應該相等，即： m k m k m k m k )1 ( 1 2 normal mode normal frequency 由此可解得由此可解得 1 2 即 1 2 ; 1 1 代入上式，即得相應的角頻率為：代入上式，即得相應的角頻率為

13、： m k 1 m Kk2 2 （3） 結(jié)論結(jié)論：兩個耦合振子可以作不同頻率的：兩個耦合振子可以作不同頻率的 下述兩種方式的振動，在每種方式的振下述兩種方式的振動，在每種方式的振 動中兩振子的振動頻率是相同的。動中兩振子的振動頻率是相同的。 1) 兩個振子以相同的振幅和相同的相位振動，均兩個振子以相同的振幅和相同的相位振動，均 以以 振動。振動。因為中間的彈簧原長不變。因為中間的彈簧原長不變。 mk 1 2) 兩個振子以相同的振幅和相反的相位振動兩個振子以相同的振幅和相反的相位振動, 均均 以以 振動。振動。中間彈簧原長變化。中間彈簧原長變化。 mKk)2( 2 系統(tǒng)中各個振子系統(tǒng)中各個振子以

14、相同的頻率作簡諧振動以相同的頻率作簡諧振動 的方式的方式，稱為該系統(tǒng)的，稱為該系統(tǒng)的簡正模簡正模。 每個簡正模所對應的頻率，稱為每個簡正模所對應的頻率，稱為簡正頻率簡正頻率。 簡正頻率特征在于，系統(tǒng)的每個振子都能以此頻率簡正頻率特征在于，系統(tǒng)的每個振子都能以此頻率 振動。對于一定的初始條件，這種振子是可實現(xiàn)的。振動。對于一定的初始條件，這種振子是可實現(xiàn)的。 若將兩個振子各自從平衡位置向左、若將兩個振子各自從平衡位置向左、 右兩邊拉開相同的距離右兩邊拉開相同的距離，待靜止后，待靜止后 釋放，則兩振子將作角頻率都是釋放，則兩振子將作角頻率都是 2 的簡諧振動，并保持振幅不變。的簡諧振動，并保持振幅

15、不變。 例如，在損耗可以忽略例如，在損耗可以忽略 的情況下，若將上述兩的情況下，若將上述兩 個振子各自從平衡位置個振子各自從平衡位置 向右拉開相同的距離，向右拉開相同的距離， 待靜止后再釋放，則兩待靜止后再釋放，則兩 個振子將作角頻率都是個振子將作角頻率都是 1的簡諧振動，保持振的簡諧振動，保持振 幅不變；幅不變； 簡正模 FPCAI a x k K m b x m k 取為正方向取為正方向 )( )( 2 2 ba ba xxk dt xxd m 而將式（而將式（1）減去式（）減去式（2），可得），可得 )(2( )( 2 2 ba ba xxKk dt xxd m 2 qxx ba 簡正模

16、的疊加簡正模的疊加 引入這兩種易于求解的特征振動，重要原因在于，引入這兩種易于求解的特征振動，重要原因在于， 兩相同耦合振子的任何運動，都可以表示為上述兩相同耦合振子的任何運動，都可以表示為上述 兩簡正模的線性組合。為了清楚地看到這一點，兩簡正模的線性組合。為了清楚地看到這一點， 我們將式（我們將式（1）與（）與（2）相加，得：）相加，得： 令令 ； 1 qxx ba )( 2 1 21 qqxa)( 2 1 21 qqxb 這就是簡正模的另一種表述，這兩個獨立變量這就是簡正模的另一種表述，這兩個獨立變量 q1和和 q2就稱為簡正坐標（就稱為簡正坐標（normal coordinate）。）。

17、 我們以上所考察的系統(tǒng)是由兩個作一維振動的我們以上所考察的系統(tǒng)是由兩個作一維振動的 質(zhì)點組成的，對該系統(tǒng)的縱向運動需用兩個簡質(zhì)點組成的，對該系統(tǒng)的縱向運動需用兩個簡 正模和兩個簡正頻率。正模和兩個簡正頻率。 于是，每一個振子的坐標都可以表示為這兩個于是，每一個振子的坐標都可以表示為這兩個 獨立的簡正坐標的線性組合，即獨立的簡正坐標的線性組合，即 顯然，這是關于兩個獨立變量顯然，這是關于兩個獨立變量 q1和和 q2的振動的振動 方程，描述了耦合振子系統(tǒng)的兩種獨立的運動，方程，描述了耦合振子系統(tǒng)的兩種獨立的運動， 其特征頻率分別為式（其特征頻率分別為式（3）所給出的和。）所給出的和。 總之，簡正模

18、是一個多自由度運動的一些特殊的總之，簡正模是一個多自由度運動的一些特殊的 組合，是一些集體運動模式，它們彼此相互獨立。組合，是一些集體運動模式，它們彼此相互獨立。 如果初始運動狀態(tài)符合某個簡正模式，則系統(tǒng)將如果初始運動狀態(tài)符合某個簡正模式，則系統(tǒng)將 按此模式振動，其它模式將不激發(fā)；按此模式振動，其它模式將不激發(fā)； 如果初始運動狀態(tài)是任意的，則該系統(tǒng)的運動將如果初始運動狀態(tài)是任意的，則該系統(tǒng)的運動將 是各簡正模式按一定比例的疊加。是各簡正模式按一定比例的疊加。 簡正模是當今凝聚態(tài)物理學中簡正模是當今凝聚態(tài)物理學中“元激發(fā)或準粒子元激發(fā)或準粒子” 這一重要概念的萌芽。這一重要概念的萌芽。 可以證明，若質(zhì)點系統(tǒng)的自由度為可以證明，若質(zhì)點系統(tǒng)的自由度為N，則有則有N個個 簡正模和簡正模和N個相應的簡正頻率