平穩(wěn)時(shí)間序列模型

1、平穩(wěn)時(shí)間序列模型1 第第1212章章 平穩(wěn)時(shí)間序列模型平穩(wěn)時(shí)間序列模型 平穩(wěn)時(shí)間序列模型2 前言前言 在前面的章節(jié)中，模型的被解釋變量都假定 只受各個(gè)解釋變量當(dāng)期值的影響。 但我們知道，在現(xiàn)實(shí)中很多被解釋變量除了 受解釋變量當(dāng)期值的影響外，還不可避免地 受到解釋變量滯后值的影響，這就是所謂分 布滯后模型，或者前若干期的值決定了當(dāng)期 值，即自回歸模型。這一類模型要求數(shù)據(jù)具 有平穩(wěn)性，本章將討論平穩(wěn)時(shí)間序列模型。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型3 12.1 分布滯后模型分布滯后模型 一、分布滯后模型的含義 以消費(fèi)函數(shù)為例，假定某人的年薪增加了10000人民幣，而 且這一年薪的增加將一直保持下去。那么，這種收入的

2、增加 將會(huì)對(duì)個(gè)人的年消費(fèi)支出產(chǎn)生什么影響呢？ 在得到收入的“永久性”增加后，人們通常不會(huì)急于把全部 增加的收入一次性全部花完。比方說(shuō)，收入增加者可能在收 入增加后的第1年增加消費(fèi)3000元，第2年增加2000元，第3 年增加1000元，把所余的部分用于儲(chǔ)蓄。到第3年末，此人 的年消費(fèi)支出將增加6000元。因而我們可以把此人的消費(fèi)函 數(shù)寫成(12.1.1)式： 12 0.30.20.1 ttttt yxxxu (12.1.1) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型4 像(12.1.1)式這樣的模型，如果時(shí)間序列模型 中不僅包含解釋變量的當(dāng)期值，而且包括解 釋變量的滯后值，就把這種模型稱之為分布 滯后模型(Distr

3、ibuted-lag Model)，也稱之為 滯后變量模型。更一般地，我們把分布滯后 模型寫成(12.1.2)式： 01122ttttk t kt yxxxxu (12.1.2) 如果k是有限的，稱模型(12.1.2)為有限分布 滯后模型；如果k是無(wú)限的，稱模型(12.1.2) 為無(wú)限分布滯后模型。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型5 分布滯后模型的幾個(gè)基本概念分布滯后模型的幾個(gè)基本概念 1.短期乘數(shù)(Impact multiplier) 系數(shù) 表示x在當(dāng)期一個(gè)單位的變化，導(dǎo)致y的同期變化值，因 此稱為短期或即期乘數(shù)。 0 2.中期乘數(shù)(Intermediate multiplier) 如果此后x的變化都保持

4、在同一水平上，則 給出下期y的 變化， 給出再下期y的變化，以此類推，這部分系 數(shù)的和稱為中期乘數(shù)。 )( 10 )( 210 3.長(zhǎng)期乘數(shù)(Long-run multiplier) ki k i . 10 0 (12.1.3) 稱之為長(zhǎng)期乘數(shù)或總分布滯后乘數(shù)（Total distributed- lag multiplier）。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型6 對(duì)分布滯后模型系數(shù)的假定對(duì)分布滯后模型系數(shù)的假定 通常在討論分布滯后模型時(shí)，總是假定： 0lim 0 i i i k i (12.1.4) 這一假定的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是： 其一，解釋變量x對(duì)被解釋變量y的長(zhǎng)期影響是有限的； 其二，x的滯后時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)y

5、的當(dāng)期影響逐漸衰減。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型7 進(jìn)一步，我們定義： i i k i i i 0 * (12.1.5) i*是i對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)化，給出某一時(shí)期的沖擊效應(yīng)占長(zhǎng) 期沖擊或總沖擊（即總滯后乘數(shù)）的比例。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型8 以以(12.1.1)式為例式為例 短期乘數(shù)為，表示短期消費(fèi)傾向(MPC)，而長(zhǎng)期乘 數(shù)為0.6（0.6=0.3+0.2+0.1）表示長(zhǎng)期消費(fèi)傾向。 也就是說(shuō)，隨著收入增加1元，該消費(fèi)者將在收入 增加的當(dāng)年提高他的消費(fèi)水平約元，第二年再提高 元，第三年再提高元，即1元收入的增加對(duì)消費(fèi)的 長(zhǎng)期效應(yīng)就是元。 如果我們將(12.1.1)的每一個(gè)i除以0.6，就分別得到， 和，這表明x的

6、一個(gè)單位變化的總效應(yīng)有50%在當(dāng)期 反映，第二期為33%，第三期為17%。 12 0.30.20.1 ttttt yxxxu (12.1.1) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型9 二、滯后效應(yīng)產(chǎn)生的原因二、滯后效應(yīng)產(chǎn)生的原因 由于受到心理預(yù)期的影響，經(jīng)濟(jì)主體的大多數(shù)決策行為都會(huì) 表現(xiàn)出滯后性。主要原因是人們受自身習(xí)慣的影響，往往不 能快速調(diào)整自己的行為來(lái)適應(yīng)新的環(huán)境。 例如，由于“蛛網(wǎng)效應(yīng)”的存在，農(nóng)產(chǎn)品供給量對(duì)價(jià)格的波 動(dòng)表現(xiàn)出時(shí)滯；從研究與開發(fā)(R mk (12.1.6) 將(12.1.6)代入(12.1.2)式并整理各項(xiàng)，模型變?yōu)橐韵滦问剑?tmtmtttt uZZZZy 221100 (12.1.7)

7、 其中， kt m t m t m tmt kttttt kttttt kttttt xkxxxZ xkxxxZ kxxxxZ xxxxZ 321 2 3 2 2 2 12 3211 210 32 32 32 (12.1.8) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型15 對(duì)于(12.1.7)式， 滿足經(jīng)典假定的條件，故使用OLS進(jìn)行估 計(jì)。將估計(jì)的參數(shù) 代入(12.1.6)式，就可求 出原分布滯后模型參數(shù) 的估計(jì)值。 t u m , , , 210 i 在實(shí)際應(yīng)用中，阿爾蒙多項(xiàng)式的次數(shù)m應(yīng)視函數(shù)形式而定，但 通常取得較低，一般取2或3，很少超過(guò)4，因?yàn)槿绻鹠的值取的 過(guò)大，則達(dá)不到通過(guò)阿爾蒙多項(xiàng)式變換減少解釋變量個(gè)

8、數(shù)從而 提高自由度的目的。 阿爾蒙估計(jì)法的最大優(yōu)點(diǎn)就是解決了自由度不足的問題，由于 模型中解釋變量和待估參數(shù)都減少了，因此，一般不會(huì)有自由 度不足的問題。此外，阿爾蒙估計(jì)法具有較大的靈活性。為了 使參數(shù)結(jié)構(gòu)假定更好地符合的實(shí)際變化形式，可以通過(guò)改變多 項(xiàng)式(12.1.6)的階數(shù)m，從而提高逼近的精度。 阿爾蒙估計(jì)法也存在著一些缺陷。其一，滯后期數(shù)k數(shù)如何確 定，阿爾蒙估計(jì)法本身并沒有解答；其二，多項(xiàng)式(12.1.6)階數(shù) m的確定往往具有主觀性。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型16 12.2 自回歸分布滯后模型自回歸分布滯后模型 所謂自回歸分布滯后模型，就是模型中的解 釋變量包含被解釋變量的滯后項(xiàng)，如 tt

9、tt uyxy 110 (12.2.1) 由于自回歸分布滯后模型描述了被解釋變量相 對(duì)于它的過(guò)去值的時(shí)間路徑，故又稱之為動(dòng)態(tài) 模型(Dynamic model)，下面介紹幾種常見的自 回歸模型。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型17 一、適應(yīng)性預(yù)期模型一、適應(yīng)性預(yù)期模型 適應(yīng)性預(yù)期模型基于經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)，認(rèn)為經(jīng) 濟(jì)活動(dòng)主體是根據(jù)他們對(duì)某些經(jīng)濟(jì)變量的 “預(yù)期”做出決策的。其核心思想是：影響 yt的因素不是xt ，而是對(duì)xt 的預(yù)期 ，即： * t x ttt uxy * 10 (12.2.2) 其中， yt為被解釋變量， 為解釋變量預(yù)期值， ut為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。 * t x 平穩(wěn)時(shí)間序列模型18 由于預(yù)期變量 不可

10、直接觀測(cè)，如何獲取解釋變量的預(yù)期值， 是適應(yīng)性預(yù)期模型的難點(diǎn)。因此，實(shí)際應(yīng)用中需要對(duì)預(yù)期的 形成機(jī)理做出某種假定，從而將不可直接觀測(cè)的預(yù)期變量 用可觀測(cè)的變量xt表述出來(lái)。適應(yīng)性預(yù)期模型假定： t x t x ) 10()( * 1 * 1 * tttt xxxx (12.2.3) 其中，參數(shù) 稱之為預(yù)期系數(shù)或調(diào)整系數(shù)。(12.2.3)式的含義是： 如果 ，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體對(duì)解釋變量xt的當(dāng)期預(yù)期值 等于前一期預(yù)期值 加上一個(gè)修正量，該修正量 是前一 期預(yù)期誤差 的一部分。顯然， 的值越接近1，調(diào)整幅 度也越大，這一調(diào)整過(guò)程也叫做自適應(yīng)調(diào)整過(guò)程；如果 ， 則 ，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體對(duì)xt的當(dāng)期預(yù)期

11、值和實(shí)際值完全 相同，即預(yù)期是立即全部實(shí)現(xiàn)的；如果 ，則 ， 表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體將前期的預(yù)期值作為當(dāng)期預(yù)期值。 10 t x 1t x)( 1 tt xx )( 1 tt xx 1 tt xx 0 * 1 * tt xx 平穩(wěn)時(shí)間序列模型19 將(12.2.3)式改寫為： * 1 * )1 ( ttt xxx (12.2.4) (12.2.4)式表明當(dāng)期預(yù)期值 是前一期預(yù) 期值 和本期實(shí)際值xt的加權(quán)平均，權(quán) 數(shù)分別為 和 。如果 等于0，說(shuō)明 本期實(shí)際值被忽略，預(yù)期沒有進(jìn)行修正。 如果 等于1，則以本期實(shí)際值作為預(yù)期 值，本期預(yù)期與前一期預(yù)期無(wú)關(guān)。在一 般情況下，0 1。 t x 1t x 1

12、 平穩(wěn)時(shí)間序列模型20 將(12.2.4)式代入(12.2.2)式，可以得到： t t tt uxxy)1 (1 * 10 t t t uxx1 * 110 )1 ( (12.2.5) 將(12.2.2)式滯后一期，并乘以 得到：1 1 1 * 101 )1 ()1 ()1 ()1 ( t t t uxy (12.2.6) 用(12.2.5)式減去(12.2.6)式，得到： 1110 )1 ()1 ( ttttt uuyxy (12.2.7) * 0 * 1 * 2 t tttt yxy 1 * 210 (12.2.8) (12.2.8)式顯然是一個(gè)一階自回歸分布滯后模型。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型2

13、1 二、部分調(diào)整模型二、部分調(diào)整模型 部分調(diào)整模型(Partial adjustment model)首先是由尼洛夫 (Nerlove)基于這樣的事實(shí)提出的：為了適應(yīng)解釋變量的變化， 被解釋變量有一個(gè)預(yù)期的最佳值與之對(duì)應(yīng)。 例如，一個(gè)企業(yè)本期商品庫(kù)存量的最佳庫(kù)存值取決于當(dāng)期實(shí) 際銷售量；為了保持一定的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)水平，央行應(yīng)該有一個(gè) 預(yù)期的最佳貨幣供應(yīng)量。 因此，部分調(diào)整模型核心思想是考察自變量觀測(cè)值與同期因 變量希望達(dá)到的最佳值之間的關(guān)系，用模型表述就是： ttt uxy 10 * (12.2.9) 其中， 為被解釋變量的預(yù)期最佳值，xt為解釋變量的現(xiàn)值。 t y 平穩(wěn)時(shí)間序列模型22 由于被解

14、釋變量的預(yù)期最佳值是不可直接觀測(cè)的，尼洛夫提 出被解釋變量的實(shí)際變化僅僅是預(yù)期變化的一部分，即所謂 部分調(diào)整假設(shè)： ) 10 ()( 1 * 1 tttt yyyy (12.2.10) 其中，為調(diào)整系數(shù)，它代表調(diào)整速度。 yt-yt-1表示實(shí)際變化， y*t-yt-1 表示預(yù)期的理想變化。越接近1，表明調(diào)整到預(yù)期最佳 水平的速度越快。若=1 ，則yt=y*t，表明實(shí)際變動(dòng)等于預(yù)期變 動(dòng)，調(diào)整在當(dāng)期完全實(shí)現(xiàn)。若=0 ，則 yt=yt-1 ，表明本期值與 上期值一樣，完全沒有調(diào)整。通常情況下，0 1。部分調(diào)整 假設(shè)(12.2.10)式可以改寫成： 1 * )1 ( ttt yyy (12.2.11

15、) 即被解釋變量yt的實(shí)際值是本期預(yù)期最佳值y*t與前一期實(shí)際值 的yt-1加權(quán)，權(quán)重分別為和 1- 。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型23 將(12.2.9)式代入(12.2.11)式，可得部分調(diào)整模型的 轉(zhuǎn)化形式： 110 )1 ()( tttt yxy ttt uyx 110 )1 ( (12.2.12) (12.2.12)式稱為部分調(diào)整模型，令 ， ， ， ，(12.2.12)式可以改寫成： 0 * 0 1 * 1 )1 ( * 2 tt uu * * 1 * 1 * 1 * 0tttt uyxy (12.2.13) (12.2.13)式表明部分調(diào)整模型本質(zhì)上也是一個(gè)自回歸分 布滯后模型。 平穩(wěn)時(shí)間

16、序列模型24 三、自回歸分布滯后模型的估計(jì)三、自回歸分布滯后模型的估計(jì) 我們已經(jīng)討論了兩種自回歸分布滯后模型：適應(yīng)性 預(yù)期模型和部分調(diào)整模型，這些模型都有如下的共 同形式： tttt yxy 110 (12.2.14) 如前述，以上兩種自回歸模型由于包含了被解釋變量 滯后項(xiàng)yt-1作為解釋變量，以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的形式發(fā)生 了變化，導(dǎo)致yt-1與 vt的相關(guān)， vt 也可能存在自相關(guān)， 因此，OLS估計(jì)量是有偏的。顯然，最重要的問題是 yt-1 與 vt 的相關(guān)。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型25 2.自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn) 為了解決自回歸分布滯后模型的自相關(guān)檢驗(yàn)問題，D

17、urbin在 1970年提出了一個(gè)新的檢驗(yàn)方法，即h檢驗(yàn)法，也稱之為德 賓h檢驗(yàn)，其h統(tǒng)計(jì)量為： ) (1 1 nVar n h (12.2.15) 其中，n為樣本容量， 為(12.2.14)式中系數(shù) 的估計(jì)值的 方差。 為 的一階自相關(guān)系數(shù)，通常取 ，d為通常意 義下的DW統(tǒng)計(jì)量。這樣h統(tǒng)計(jì)量可以寫成： ) ( 1 Var 1 t d 2 1 1 ) 1 , 0( ) (1 ) 2 1 1 ( 1 N nVar n dh (12.2.16) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型26 運(yùn)用德賓運(yùn)用德賓h檢驗(yàn)應(yīng)該注意的問題檢驗(yàn)應(yīng)該注意的問題 （2）如果自回歸分布滯后模型中包含多個(gè)解釋變量和 多個(gè)滯后被解釋變量，德賓

18、h檢驗(yàn)仍然適用。 （1）如果 ，h統(tǒng)計(jì)量無(wú)意義，德賓h檢驗(yàn) 的檢驗(yàn)結(jié)果無(wú)效。 1) ( 1 nVar 平穩(wěn)時(shí)間序列模型27 估計(jì)自回歸分布滯后模型必須處理的問題是 yt-1與 vt 的 相關(guān)，常用的估計(jì)方法是工具變量(Instrument Variable) 估計(jì)。 工具變量估計(jì)的核心思想是：既然 yt-1與 vt 相關(guān)，如果 能找到這樣一個(gè)代理(Proxy)變量，這個(gè)變量與yt-1高度 相關(guān)，但與 vt 不相關(guān)，用代理變量代替 ，就可以消除 yt-1與 vt 相關(guān)的問題。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型28 在實(shí)際應(yīng)用中，工具變量有多種選擇方式。常見的方式是選用 yt-1的估計(jì)值 作工具變量，代替 yt-

19、1后進(jìn)行估計(jì)，其步驟是： 1 ty 第一步，先對(duì)模型(12.2.17)進(jìn)行OLS回歸： 0121tttt yxxu (12.2.17) 實(shí)際應(yīng)用時(shí)xt的滯后期k最多取3，假設(shè)估計(jì)結(jié)果為： 1210 ttt xxy (12.2.18) 滯后一期得到： 221101 ttt xxy (12.2.19) 第二步，以 作為工具變量代替(12.2.14)式中的隨機(jī)解釋變 量yt-1，可以得到： 1 ty 011 tttt yxyu (12.2.20) 第三步，對(duì)(12.2.20)式進(jìn)行最小二乘回歸，得到參數(shù)的估計(jì)值。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型29 12.3 ARMA模型模型 時(shí)間序列ARMA 模型由Box-Je

20、nkins (1976) 年 提出，在介紹ARIMA 模型之前，為了分析 的方便，我們先介紹時(shí)間序列分析的幾個(gè)基 本概念。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型30 一、時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念一、時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念 由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)程，記為 ， 簡(jiǎn)記為xt。隨機(jī)過(guò)程也可以簡(jiǎn)稱為過(guò)程，其中每一個(gè)元素xt都 是隨機(jī)變量。將每一個(gè)元素的樣本點(diǎn)按序排列，稱為隨機(jī)過(guò)程 的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，即時(shí)間序列數(shù)據(jù)，亦即樣本。 Ttxt, 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果均值E(xt)=0， ；方差 ， ；協(xié)方差 ( )，那 么這一隨機(jī)過(guò)程稱為白噪聲過(guò)程。 Tt 2 )( t xVarTt0),( ktt xxCov0

21、k 平穩(wěn)時(shí)間序列模型31 如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值和方差在時(shí)間過(guò)程上都是常數(shù)，并且 在任何兩期之間的協(xié)方差只和兩期間隔的時(shí)間長(zhǎng)度相關(guān)，而和 計(jì)算該協(xié)方差的實(shí)際時(shí)間不相關(guān)，則稱該隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī) 過(guò)程，也稱之為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程或者弱平穩(wěn)過(guò)程。 用公式表述就是，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程xt ，如果其均值 ， 方差 ，協(xié)方差 的大小只與k的 取值相關(guān)，而與t不相關(guān)，則稱xt為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。白噪聲過(guò)程顯 然是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。 )( t xE 2 )( t xVar 2 ),( kktt xxCov 平穩(wěn)時(shí)間序列模型32 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性對(duì)時(shí)間序列分析非常重要，經(jīng)典的時(shí)間序列回歸 分析，都是假定數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。直觀的看，

22、平穩(wěn)的數(shù)據(jù)可以看 作是一條圍繞其均值上下波動(dòng)的曲線。 下面，我們用由Eviews軟件模擬一個(gè)均值為5、標(biāo)準(zhǔn)差為0.2、 樣本量為500的平穩(wěn)數(shù)據(jù)。 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 50100150200250300350400450500 X 圖圖12.1 平穩(wěn)數(shù)據(jù)示例平穩(wěn)數(shù)據(jù)示例 平穩(wěn)時(shí)間序列模型33 對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，其期望和方差均為常數(shù)，而滯后k期的自 協(xié)方差就是相隔k期的兩個(gè)隨機(jī)變量xt與xt+k的協(xié)方差，定義為： )(),( kttkttk xxExxCov 自協(xié)方差 隨著k的依次取值構(gòu)成了序列 ，稱為 隨機(jī)過(guò)程 xt 的自協(xié)方差函數(shù)。當(dāng)k=0時(shí)，自

23、協(xié)方差退化為方差， 即 k ), 1 , 0(Kk k 2 0 )()(),( ttttt xVarxxExxCov xt與xt+k 之間的自相關(guān)系數(shù)定義如下： )()( )( )()( ),( 22 ktt ktt ktt ktt k xExE xxE xVarxVar xxCov (12.3.1) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型34 因?yàn)?，?duì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有： 0 2 )()( ktt xVarxVar 所以(12.3.1)式可以改寫為： 0 k k 對(duì)應(yīng)的樣本自相關(guān)系數(shù)為： n t t kt kn t t k xx xxxx 1 2 1 )( )( )( (12.3.2) 由(12.3.2)定義的

24、構(gòu)成的序列 ( k=,-2,-1,0,1,2)，稱為自相 關(guān)函數(shù)，用于考察隨機(jī)變量的樣本與其滯后期的相關(guān)強(qiáng)度。 k k 平穩(wěn)時(shí)間序列模型35 回顧第四章中介紹的多元回歸模型的偏回歸系數(shù)，所反映的是 在其他解釋變量保持不變的情況下，某個(gè)解釋變量對(duì)被解釋變 量條件期望值的邊際影響，即偏效應(yīng)。偏自相關(guān)函數(shù)的含義和 偏回歸系數(shù)類似。 用 表示k階自回歸模型中第j個(gè)回歸系數(shù)，則k階自回歸模型為: kj 1122tktktkkt kt xxxxu (12.3.3) 其中 是最后一個(gè)回歸系數(shù)。若把 看作是滯后期k的函數(shù)， 則稱 kj kj ( )(1,2,) kk kk (12.3.4) 為偏自相關(guān)函數(shù)?？?/p>

25、以看出，上式中每一個(gè)回歸系數(shù) 恰好表 示xt與xt-k在排除了其中間變量 影響之后的相關(guān) 系數(shù)，所以偏自相關(guān)函數(shù)由此得名。 kj ) 1(21 , kttt xxx 平穩(wěn)時(shí)間序列模型36 二、二、ARMA模型概述模型概述 時(shí)間序列ARIMA模型一般可分為四種類型， 即自回歸模型(AR)、移動(dòng)平均模型(MA)、自 回歸移動(dòng)平均模型(ARMA)和積分自回歸移 動(dòng)平均模型(ARIMA)。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型37 （1）自回歸模型的定義 如果一個(gè)隨機(jī)模型中的元素僅僅受其滯后項(xiàng)和服從白噪聲過(guò) 程的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的影響，則稱這種模型為自回歸模型(Auto Regression，AR)。 如一階自回歸模型，記作A

26、R(1)，可用下式表示： 11ttt xxu (12.3.5) 其中 為自回歸參數(shù)，隨機(jī)項(xiàng)ut為服從0均值，方差為 的正態(tài) 分布，且相互獨(dú)立的白噪聲序列。 1 2 u 1122tttptpt xxxxu (12.3.6) 更一般地，p階自回歸模型，記作AR(p)，可用下式表示： 平穩(wěn)時(shí)間序列模型38 （2）自回歸模型的平穩(wěn)條件 只有產(chǎn)生時(shí)間序列的隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，運(yùn)用自回歸模型才 有意義。因此，我們首先探討自回歸模型的平穩(wěn)條件。 直觀的看，自回歸模型AR(1)的平穩(wěn)性條件是 。Why?1| 1 一階自回歸模型(12.3.5)可寫為： 11ttt xxu 1121 () ttt uxu 2 11

27、1132 () tttt uuxu 23 111213tttt uuuu 01 i it i u (12.3.7) 可以看出，一階自回歸模型(12.3.5)實(shí)際上是白噪聲序列的線性組 合。若保證AR(1)模型具有平穩(wěn)性， 必須收斂，即 必須 滿足 。 01 i i 1 1| 1 平穩(wěn)時(shí)間序列模型39 2.移動(dòng)平均模型移動(dòng)平均模型(MA)概述概述 （1）移動(dòng)平均模型的定義 若時(shí)間序列xt為它的當(dāng)期和滯后若干期隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的線性組 合，即： 1122ttttqt q xuuuu (12.3.8) 其中， 是參數(shù)，ut是均值為0，方差為 的白噪聲 過(guò)程，稱(12.3.8)式為q階移動(dòng)平均(Moving

28、 Average，MA)模型， 記為MA(q)。之所以稱為“移動(dòng)平均”，是因?yàn)閤t是由ut的加權(quán) 和構(gòu)造而成，類似于一個(gè)平均。 q , 21 2 u 由定義可知，任何一個(gè)q階移動(dòng)平均過(guò)程都是由q+1個(gè)白噪聲過(guò) 程的加權(quán)和組成，由于白噪聲過(guò)程是平穩(wěn)的，所以任何一個(gè)移 動(dòng)平均模型都是平穩(wěn)的。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型40 （2）移動(dòng)平均模型的可逆性 對(duì)于MA(1)模型： 11ttt xuu (12.3.9) 給定條件 ，如果MA(1)模型可以表述為1| 1 23 111213ttttt xxxxu (12.3.10) 即MA(1)模型可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)限階的自回歸模型，我們稱 MA(1)模型具有可逆性。 1

29、 由AR(p)模型平穩(wěn)性可知，MA(1)模型具有可逆性的條件是 1。更一般地，任何一個(gè)可逆的MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè) 無(wú)限階的自回歸模型。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型41 （3）自回歸模型與移動(dòng)平均模型的關(guān)系 以上的分析說(shuō)明，一個(gè)平穩(wěn)的AR(p)模型可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無(wú)限 階的移動(dòng)平均模型；一個(gè)可逆的MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限 階的自回歸模型。 AR(p)模型，只需考慮平穩(wěn)性問題，不必考慮可逆性問題。 MA(q)模型，只需考慮可逆性問題，不必考慮平穩(wěn)性問題。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型42 3.自回歸移動(dòng)平均模型自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA)概述概述 （1）自回歸移動(dòng)平均模型的含義 如果時(shí)間序列xt為它的當(dāng)前與

30、前期的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，以及它的 前期值的線性函數(shù)，即 11221122tttptptttqt q xxxxuuuu (12.3.11) 則稱上述模型為自回歸移動(dòng)平均模型，記為ARMA(p, q)，其 中p和q分別表示自回歸和移動(dòng)平均部分的最大階數(shù)。 （2）自回歸移動(dòng)平均模型的平穩(wěn)性和可逆性 ARMA(p, q)過(guò)程的平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分；ARMA(p, q)過(guò)程的可逆性則只依賴于移動(dòng)平均部分。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型43 三、三、ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別 對(duì)于AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模 型，在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)之前，需要進(jìn)行模型的 識(shí)別。 識(shí)別就是確定模型的階，即確定AR(

31、p)模型 中的p、MA(q)模型中的q和ARMA(p,q)模型 中的p和q。 識(shí)別的主要工具是自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函 數(shù)及其圖形。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型44 1. AR(p)模型的識(shí)別模型的識(shí)別 可以證明，AR(p)模型自相關(guān)函數(shù)的遞推公式為： pkpkkkk 332211 (12.3.15) 由此可見，AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)是非截尾序列，稱為拖尾 序列，時(shí)間間隔越長(zhǎng)，自相關(guān)的程度越弱。因此，自相關(guān)函數(shù) 拖尾，是AR(p)模型的一個(gè)明顯的特征。 (12.3.15)式表明，AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為p+1處為0。也就 是說(shuō)，AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)在p+1呈現(xiàn)出截尾特征。因此， 可以基于

32、AR(p)模型的截尾特征確定其階數(shù)p。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型45 AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的 計(jì)算看起來(lái)較為復(fù)雜，但是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件 都有自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)的菜單，使用起來(lái) 非常方便。 以Eviews軟件為例，我們來(lái)看AR(p)模型的自 相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型46 圖圖12.3 AR(1)模型模型xtxt-1+ut的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖 自相關(guān)圖 呈現(xiàn)出 拖尾特征拖尾特征 偏自相關(guān)圖 在1階以后 呈現(xiàn)出 截尾特征截尾特征 平穩(wěn)時(shí)間序列模型47 2. MA(q)模型的識(shí)別模型的識(shí)別 可以證明：MA(q)模型只有q期記憶，自相關(guān) 函數(shù)在q處截尾

33、。也就是說(shuō)，我們可以根據(jù)自 相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始為0來(lái)判斷MA(q) 模型的階。 對(duì)于MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)，由于任何 一個(gè)可逆的MA(q)模型都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)系 數(shù)按幾何遞減的AR(p)模型，所以MA(q)模型 的偏自相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)緩慢衰減的特征，即拖 尾特征。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型48 圖圖12.4 MA(1)模型模型xt=ut+ut-1的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖 偏自相關(guān)圖 呈現(xiàn)出 拖尾特征拖尾特征 自相關(guān)圖 在1階以后 呈現(xiàn)出 截尾特征截尾特征 平穩(wěn)時(shí)間序列模型49 3. ARMA(p,q)模型的識(shí)別模型的識(shí)別 ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)，可以看作AR(p

34、)模 型的自相關(guān)函數(shù)和MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)的混合 物。當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)；當(dāng)q=0時(shí)，它具有 拖尾性質(zhì)；當(dāng)p、q均不為0時(shí)，如果當(dāng)p、q均大于 或者等于2，其自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜， 有可能呈現(xiàn)出指數(shù)衰減、正弦衰減或者二者的混合 衰減，但通常都具有拖尾性質(zhì)。 ARMA(p,q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)，也是無(wú)限延長(zhǎng)的， 其表現(xiàn)形式與MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)類似。根 據(jù)q的取值不同以及參數(shù)i的不同，ARMA(p,q)模 型的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減或正弦衰減混合形式。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型50 圖圖12.5 ARMA(1,1)模型模型xtxt-1+ut-ut-1的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

35、的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖 從圖從圖12.5可以看出，可以看出，ARMA(1,1)模型的自相關(guān)圖和偏自模型的自相關(guān)圖和偏自 相關(guān)圖均是在相關(guān)圖均是在k=1達(dá)到峰值后呈現(xiàn)出按指數(shù)衰減的拖尾特征。達(dá)到峰值后呈現(xiàn)出按指數(shù)衰減的拖尾特征。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型51 圖圖12.6 ARMA(2,2)模型模型xtxt-1xt-2+ut-ut-1ut-2 的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖 從圖從圖12.6可以看出，可以看出，ARMA(2,2)模型的自相關(guān)圖和偏自相模型的自相關(guān)圖和偏自相 關(guān)圖在關(guān)圖在k=1、2達(dá)到兩個(gè)峰值后按指數(shù)或正弦衰減。達(dá)到兩個(gè)峰值后按指數(shù)或正弦衰減。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型52 4. A

36、RMA模型的識(shí)別規(guī)則模型的識(shí)別規(guī)則 如果平穩(wěn)時(shí)間序列xt的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān) 函數(shù)都是拖尾的，則xt是ARMA(p,q)模型。 至于模型中的p和q階具體取什么值，則要從 低階開始逐步試探，直到合適的模型為止。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型53 12.4 向量自回歸模型（向量自回歸模型（VAR） 一、VAR模型的含義及特點(diǎn) 1980年，Sims提出了向量自回歸模型(Vector autoregressive model,VAR)。VAR模型采用多方程聯(lián) 立的形式，但與聯(lián)立方程模型需要區(qū)分內(nèi)生變量和 外生變量不同的是，VAR模型假定在模型中的變量 全部為內(nèi)生變量，內(nèi)生變量對(duì)模型的全部?jī)?nèi)生變量 的滯后項(xiàng)進(jìn)行回

37、歸，從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量的動(dòng)態(tài) 關(guān)系。 由于VAR模型在預(yù)測(cè)方面的精度遠(yuǎn)高于聯(lián)立方程模 型，加之估計(jì)方法較聯(lián)立方程模型簡(jiǎn)單等優(yōu)勢(shì)， VAR模型自誕生以來(lái)，逐漸取代了聯(lián)立方程模型， 在實(shí)際運(yùn)用中占有重要地位。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型54 我們首先分析最簡(jiǎn)單的雙變量VAR模型。假設(shè)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(yt) 與貨幣供應(yīng)量(xt)之間的關(guān)系可以用下式來(lái)表述： 11111211 22112212 tttt tttt yyxu xyxu (12.4.1) 其中， ， 。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 在VAR術(shù) 語(yǔ)中也稱之為新息(Innovations)。(12.4.1)式用矩陣表示為： 2 12 , iid(0,) ttu uu 1

38、2 (,)0 tt Cov uu 1111112 1222122 ttt ttt yyu xxu (12.4.2) t Y 1 1 - t Y t U ttt UYY 11 (12.4.3) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型55 (12.4.3)式稱之為一階向量自回歸模型，記為VAR(1)。 所謂“自回歸”，是因?yàn)槟Ｐ偷挠叶顺霈F(xiàn)被解釋變量的滯后項(xiàng)， 而“向量”是因?yàn)槟Ｐ蜕婕暗絻蓚€(gè)或兩個(gè)以上的變量，不同于 前述的單個(gè)變量的AR(p)模型。 更一般地，若有n個(gè)內(nèi)生變量并滯后p期，即： pnt pt pt pt nt t t t nt t t t y y y Y y y y Y y y y Y 2 1 1 12 1

39、1 1 2 1 , (12.4.4) y1t, y2t, , ynt表示n個(gè)不同的內(nèi)生變量，n個(gè)變量的VAR(p) 為： tptpttt UYYYY 2211 (12.4.5) VAR(p) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型56 VAR模型的特點(diǎn)模型的特點(diǎn) 不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，對(duì)變量不施加任何協(xié)整限制，因而 上述的VAR模型也稱之為非限制性向量自回歸模型(Unrestricted VAR)。 解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量。如果包含當(dāng)期變量，就是所謂 結(jié)構(gòu)性向量自回歸模型(Structural VAR, SVAR)所分析的問題。 3. 非限制性VAR模型在預(yù)測(cè)方面具有優(yōu)勢(shì)，特別是樣本外的近期 預(yù)測(cè)。因?yàn)樵?/p>

40、VAR模型中的解釋變量不含有當(dāng)期變量，這種模型 用于樣本外一期預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)是不必對(duì)解釋變量在預(yù)測(cè)期內(nèi)的取值 做任何預(yù)測(cè)。 4. VAR模型包含較多的待估參數(shù)，比如一個(gè)包含兩個(gè)變量的 VAR(2)模型，其最大滯后期k=2，則有kn2=222=8個(gè)參數(shù)需要估 計(jì)。當(dāng)樣本容量較小時(shí)，多數(shù)參數(shù)的估計(jì)量誤差較大，加之VAR 模型不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)，所以對(duì)于模型的參數(shù)估計(jì)值， 通常并不分析其經(jīng)濟(jì)意義。 5.一般而言，VAR模型是針對(duì)平穩(wěn)數(shù)據(jù)的模型，在建立VAR模型 之前，可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法可按照AR(p)的平穩(wěn) 性進(jìn)行檢驗(yàn)。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型57 二、二、VAR模型滯后期的選擇模型滯后期

41、的選擇 建立VAR模型一個(gè)重要的問題就是如何正確地確定 滯后期k。 一方面，如果k值過(guò)大，會(huì)導(dǎo)致自由度減小，直接 影響VAR模型參數(shù)估計(jì)量的有效性。 另一方面，k值太小，誤差項(xiàng)的自相關(guān)會(huì)很嚴(yán)重， 并導(dǎo)致參數(shù)的非一致性估計(jì)，因?yàn)樵赩AR模型中適 當(dāng)增加滯后變量的個(gè)數(shù)，可以消除誤差項(xiàng)中存在的 自相關(guān)。 現(xiàn)有的確定滯后階數(shù)的方法主要包括似然比(LR)法、 信息準(zhǔn)則法等。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型58 2 1 2 log T t t k AICuT T (12.4.6) 其中， 表示殘差，T表示樣本容量，k表示最大滯后期。選 擇最佳k值的原則是使AIC的值達(dá)到最小。 tu (12.4.7) 選擇最佳k值的原則

42、也是使SC值達(dá)到最小。SC準(zhǔn)則也可以稱之 為貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayes Information Criterion，BIC)。 2 1 log log T t t kT SCuT T 平穩(wěn)時(shí)間序列模型59 三、三、VAR模型的估計(jì)模型的估計(jì) 因VAR模型的每個(gè)方程中只包含內(nèi)生變量及其滯后 項(xiàng)，它們與擾動(dòng)項(xiàng)是uit(i=1,2,n)漸近不相關(guān)的， 所以可以用常規(guī)的最小二乘法依次估計(jì)每一個(gè)方程， 得到參數(shù)的一致估計(jì)量。 即使擾動(dòng)項(xiàng)有同期相關(guān)，OLS估計(jì)仍然是適用的。 而且，在VAR模型中，各變量的滯后直接出現(xiàn)在模 型之中，由此導(dǎo)致擾動(dòng)項(xiàng)序列不相關(guān)的假設(shè)并不嚴(yán) 格要求。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型60 四、四

43、、VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)模型的脈沖響應(yīng)函數(shù) 我們已經(jīng)論述了，VAR模型不是建立在經(jīng)濟(jì) 理論基礎(chǔ)之上的，是一種乏理論(Atheoretic) 的模型，無(wú)需對(duì)變量作任何先驗(yàn)性的約束。 因此，在分析VAR模型時(shí)，往往不分析一個(gè) 變量的變化對(duì)對(duì)另一個(gè)變量的影響，而是分 析當(dāng)一個(gè)誤差（脈沖）項(xiàng)發(fā)生變化，也就是 模型受到某種沖擊時(shí)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響，這 種分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)(Impulse response function，IRF)分析法。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型61 脈沖響應(yīng)函數(shù)作用的原理脈沖響應(yīng)函數(shù)作用的原理 首先考慮下面的雙變量VAR(1)模型 11 12 0.50.3 0.20.1 ttt ttt xxu yyu (12.4.8) 假定VAR模型(12.4.8)式從第0期開始活動(dòng)，并設(shè) x-1= y-1=0，設(shè) 于第0期給定擾動(dòng)項(xiàng)u10=1，u20=0，并且其后均為0，即u1t= u2t=0（t=1,2,），即第0期給x以脈沖，下面我們來(lái)分析x和y 在不同時(shí)期對(duì)來(lái)自x的脈沖u10=1的響應(yīng)。 平穩(wěn)時(shí)間序列模型62 0 1 0 1 0 0 1 . 02 . 0 3 .