巧用直線地全參數(shù)方程解題方法

1、巧用直線的參數(shù)方程解題摘要：我們都知道解析幾何在高考數(shù)學中的重要性， 解析幾何常常讓考生感到 頭 痛，特別是關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、 求軌跡方程等類型的題目。這類型 的題目所涉及的知識點多、覆蓋面廣、綜合性比較強。從而考察考生的運算能力 和綜合解題能力，不少學生常常因缺乏解題策略而導致解答過程繁難、 運算量大， 甚至半途而廢。而想要比較簡單的解決此類問題運用直線的參數(shù)方程是較合適的 方法，運用直線的參數(shù)方程去解決一些解析幾何問題會比較簡便。關(guān)鍵詞：直線的參數(shù)方程；平面；空間；弦長。1、引言在解決的某一解析幾何的問題時，運用直線的參數(shù)方程解題是非常合適的。 運 用的直線的參數(shù)方程解題它的優(yōu)

2、點在于能化繁為簡、減少計算過程，而它的缺點就是它的局限性，不是所有的題目都適合運用直線的參數(shù)方程解決的。 在平面幾 何里，一些關(guān)于焦點弦長、某點的坐標、軌跡方程、等式證明等問題的題目我們 可以考慮運用直線的參數(shù)方程去解決。在空間幾何里用直線的參數(shù)方程可以解決 的問題有求柱面和錐面的方程、空間中的一些軌跡方程、對稱點等相關(guān)問題。在 平面中或是空間里的解析幾何問題，我們都可以考慮運用直線的參數(shù)方程去解 決，我們會舉相關(guān)的例題，運用直線的參數(shù)方程去解題。2.1在平面中運用直線的參數(shù)方程解題直線的參數(shù)方程的標準式：過點 po Xo, yo傾斜角為的直線I參數(shù)方程為L X = Xo +t cos y =

3、 y0 +t si n 日(t為參數(shù)，日為直線的傾斜角)t的幾何意義是：t表示有向線段PoP的數(shù)量，p(x,y )為直線上任意一點。用直線的參數(shù)方程求弦長相關(guān)問題如果知道過某點的某一直線與一個圓錐曲線相交，要求求直線被截的弦長。我們把這一直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的方程里，然后韋達定理和參數(shù)t的幾何意義得出弦長。例1過點P 1,2有一條傾斜角為-7：的直線與圓x2 y2 =9相交，求直線被圓截 4得的弦的長。分析:1、考慮點P在不在圓上；2、這個題目如果用一般方法解就要寫出直線方程，然后代入圓方程，要想求出弦長過程比較復雜、計算量大；3、適合運用直線的參數(shù)方程進行求解。解：把點P1,2代入圓的

4、方程，得1222=5 = 9所以點P不在圓上，在圓內(nèi)可設直線與圓的交點分別為A B 兩點由題意得直線的參數(shù)方程為x =1 -y = 22222，(t為參數(shù))2代入圓的方程，得=9整理后得 2t-4 =0 因為 =(J2 _4叫_4) = 18 0 設的兩根為ti,t2 ,即對應交點A、B的參數(shù)值，由韋達定理得1 t2 = - 2 ; 址2 二-4由t的幾何意義，得弦長AB| =出 _t2 = p(t| +t2 f 4址2 = (空2 f _4江(_4 )=3吋2評注：此類求弦長的問題，一般方法得求出直線與二次曲線的兩個 交點坐標，然后用兩點間的距離公式求出弦長，這樣計算量 會比較大，而運用直線

5、的參數(shù)方程參數(shù)方程去解，根據(jù)參數(shù) t 的幾何意義和韋達定理就能比較簡捷的求出弦長。小結(jié)：我們在運用直線的參數(shù)方程解決求弦長問題時，發(fā)現(xiàn)在解決例1此類題型時有一定的規(guī)律，這個規(guī)律在解決此類問題時可以當 公式來用，對解題速度很有幫助的。下面我對這個規(guī)律進行闡述： 問題1求二次曲線F x,y =0截直線 x=x0 tcosy 二 y0 t sin v（t是參數(shù)，為直線的傾斜角）所得的弦的長 解：有和消去x,y整理后，若能得到一個關(guān)于參數(shù)t的二元次方程:2at bt c = 0則當有 =b2 -4ac _ 0，截得的弦長為b24ac|a（公式一）證明：設t!,t2為的兩個實根，根據(jù)韋達定理有bctl

6、t2 二一一址2 二一aa又設直線與二次曲線的兩個交點為 p-i捲, , p2 x2, y2，則X2 =Xo +t2cos 日 y2 = y0 +t2 Sin 日根據(jù)兩點的距離公式，由，得弦長Pl P2 =X1 - x2 !亠 I yi - y2= J(t| t2 2 cos2 日 +為一t2 f sin2e一 b2 - 4aca=ti t? - 4tit2（證畢）上述公式適用于已知直線的傾斜角，那如果已知直線的斜率呢? 問題2求二次曲線F x,y =0截直線x = x0 atL y 二 y bt，（t是參數(shù)，直線的斜率為-）a所得的弦的長解：有和消去x,y整理后，若能得到一個關(guān)于參數(shù)t的二元

7、次方程:At2 Bt C =0則當有 =B2 -4AC _0，截得的弦長為lb2y/KA（公式二）利用上述公式我再舉個例例2若拋物線y2 =4x截直線y =2x d所得的弦長是3 5，求d的值解：由直線的方程y =2x d，得直線的斜率k=-=2，且直線恒過點 -d ,0 iaJ 2丿該直線的參數(shù)方程為dx = +t2y = 2t,（t為參數(shù)）把參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得4t2 -4t 2d =0因為t是實數(shù)，所以 = _42 一4 4 2d =16_32d _0.2216 -32d由公式一，有J 23. 54解得 d二-4評注：我們通過運用直線的參數(shù)方程得到了公式一和公式二，在 解決關(guān)

8、于弦長問題時運用公式一或者公式二解題就會更加 方便。如果題目已知的是直線的傾斜角，就應該考慮用公 式一；如果題目已知的是直線的斜率，就應該先考慮用公 式二。運用直線的參數(shù)方程解中點問題例3已知經(jīng)過點P 2,0，斜率為4的直線和拋物線y2 =2x相交3于A,B兩點，若AB勺中點為M求點M坐標。解：設過點P 2,0的傾斜角為：，則tan ： =4，3可設直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）把參數(shù)方程代入拋物線方程y2 = 2x中，整理后得8t2 -15t -50 =0設為方程的兩個實根，即為A,B兩點的對應參數(shù)，根據(jù)韋達定理tl t215由沏線段AB的中點，根據(jù)的幾何意義可得PM1516所以中點M所對應的

9、參數(shù)為tM15唏，將此值代入直線的參數(shù)方程里，得41M 的坐標為c 3 15 x =2 -5 16164 153y =5 164評注：在直線的參數(shù)方程中，當t 0時，則MA的方向向上；當 仁：0 時，則MB，的方向向下，所以AB中點 M寸應的參數(shù)t的值是W $2 這與求兩點之間的中點坐標有點相似。運用直線的參數(shù)方程求軌跡方程 運用直線的參數(shù)方程，我們根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得出某些線段的 數(shù)量關(guān)系，然后建立相關(guān)等式，最后可得出某動點的軌跡。例4過原點的一條直線，交圓X- y -1 2 = 1于點Q,在直線0Q上取一 點P,使P到直線y = 2的距離等于|PQ ,求當這條直線繞原點旋轉(zhuǎn)時點P 的軌跡

10、。解：設該直線的方程為X = t COST.y =t sin vO r :：:二，t為參數(shù),為直線的傾斜角把直線方程代入圓方程，得(tcos日 f +(tsin0 -1 f =1即 t2 -2tsin v - O根據(jù)公式一，可得OQ = OQ.b2 -4aca可設p點坐標為p X,y，起對應的參數(shù)值為t，則有OP二t，因為 PQ =|OP -OQ ,所以 PQ = t -2sinT易知，點p到直線y=2的距離是|y-2，即tsin e -2 ;由題意有 t -2sin0| = tsin日-2等式兩邊同時平方，化簡后得t2 -4 cos2- O解得 t2 =4 或cost - O當t2 =4時，

11、軌跡的一支為x2 y4 ；x = t O當cos日=O時，sin日=O，從而得另一支軌跡-即x = O ；I y=t因此所求軌跡系是由圓X2 y2 =4和直線x=O組成。評注：遇到此類題目，考慮運用直線的參數(shù)方程先把弦長求出來， 在根據(jù)題意建立相關(guān)等式，根據(jù)等式消元化簡得出結(jié)果，本 題的關(guān)鍵主要是建立等式t -2sin| = tsin日-2。運用直線的參數(shù)方程證明相關(guān)等式運用直線的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，我們可以得到一些線段的數(shù)量關(guān)系，對證明一些幾何等式很有幫助例5設過點A p,0的直線交拋物線y2 =2px于B、C,求證:1 1 1AB2 AC2 p2證明：設過點A p,0的直線的參

12、數(shù)方程為（t為參數(shù)，為直線的傾斜角）因為直線與拋物線交B C兩點，故二Wc 把直線參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得sin2 at2 -2pcosat -2p2 = 0tl t2 二呼sin t1t22p2.2sin :設右出為兩根，即點B C的對應參數(shù)值，根據(jù)韋達定理得根據(jù)參數(shù)t的幾何意義有AB=t1，AC=t2，所以21.1_ 1 . 11 J?-2譏AB2 AC2 _t22 _22 22p cosa ）十 4pI sin 丿 sin 口f _22p.2I sin 評注：在證明一些相關(guān)等式問題時，弓I用直線的參數(shù)方程輔助證明，會讓證明思路更加清晰易懂，在證明過程中根據(jù)參數(shù) t的幾何意義，用參

13、數(shù)t去替換其它變量，把所要證的等式化繁為簡。2.2在空間中用直線的參數(shù)方程解題在空間中過點M x0, y0, z0，方向向量為vX,Y,Z的直線I的坐標式參數(shù)X = Xo + Xt方程為t y = y0 +Yt，（t為參數(shù)）直線l標準方程為： =-一 = = t X Y ZI z = % +Zt用空間直線的參數(shù)方程求柱面和錐面方程x2 y2 z2 = 12x y z = 0已知柱面、錐面的準線方程，可以根據(jù)母線的參數(shù)方程或者標準方程 很方便的求出柱面或者錐面方程。例6若柱面的母線的方向向量 V-1,01)，準線方程是/求柱面方程。解：設Rxi,yi,zi為準線上任意一點，過點R的母線的參數(shù)方程

14、為r x =捲一t捲=X t* y = yi，( t 為參數(shù))即* yi = y代入準線方程得J X t2 y2 zt2=12 x t i 亠 y 亠z -t =0消去參數(shù)t，可得到所求柱面方程(x + y + zf+y2+ (2x + y + 2zf =1評注：此題假設準線上任意一點，然后過此點寫出對應的參數(shù)方程， 通過參數(shù)t的引入便可變形代入相關(guān)方程，最終消去參數(shù)t得 到所求柱面方程。X2 亠 y2 _ z2 = 1例7已知錐面頂點為3,-1,-2，準線為 y，求錐面的方程。L x - y z = 0解：設Rx1,y1,Z1為準線上任意一點，連接點R與頂點3,-1,-2的 母線為x-3 y

15、 1 z 2為一3 y-i 1 乙 21將它們的比值記為1，得t片=3+t(x_3)v %=T+t(y+1) ，(t 為參數(shù))-乙=一2 +t(z +2 )2 2 2 .代入Xi, yi, Zi所滿足的方程X % -乙 1，得Xi _ y,乙二 03 t x -3 i l-ity ll - l- 2tz2=1 tx-3 - y 1 z 2 丨 2 =0消去t，由上式的第二式得2t _ - x-3y i _ z 2 ，代入第r“，化簡整理后得錐面的一般方程為3x32-5y i2 7z 226x3 y i i0x 3 z 2 -2 y i z 2 = 0 評注：此題的關(guān)鍵是母線方程的表示，然后引入

16、參數(shù)t，得到一個參數(shù)方程。2.2.2通過參數(shù)t代入化簡得出所求的錐面方程。用空間直線的參數(shù)方程求空間軌跡空間的點或者直線的軌跡的空間解析幾何的一個重要課題，是重點也是難點，在求解過程中，通常非常復雜，但對于某些軌跡問題，運用直線的參數(shù)方程去解決會相對簡單。例8 一直線分別交坐標面y0z, x0z, x0y于三點A、B、C,當直線變動時，直 線上的三定點A、B、C也分別在三個坐標面上變動，另外直線上有第四個點 P,它 與A B C三點的距離分別為a、b、c。當直線按照這樣的規(guī)定（即保持 A、B、C 分別在三坐標面上變動），試求P點的軌跡。解：設點P的坐標為P（x0,y0,），直線的方向余弦為co

17、sc（,cosB,cos?。則直X =X0 +tcosa線的參數(shù)方程為y二y。rcos ，（ t為參數(shù)）Z 二 z0 t cos令X = 0，即的與yOz面的交點A,根據(jù)t的幾何意義，t = _a，則x。ao :- 0同理可得，y0 二 bcos：， z = ccos 。2 2 2由以上三式可得 鋒-烏 -z-f =cos2二 叱os2 ： - cos2=ia b c2 2 2所以P點軌跡方程為才訂”1,是一個橢球面評注：通過運用直線的參數(shù)方程，然后根據(jù)t的幾何意義，用t去表示 點P的坐標，通過觀察代入某式子得出軌跡方程。223用空間直線的參數(shù)方程求對稱點運用空間直線的參數(shù)方程我們可以求出定點

18、關(guān)于定平面、定直線對 稱的點的坐標。例9求定點Po 1,2,1關(guān)于定平面2x y z-1 =0的對稱點分析：1、可設對稱點為點Pi ；2 、點Po和點Pi到平面的距離是相等的；3 、RP與平面是垂直的。解：設Pi x1,y1,z1是所求的對稱點，則平面2x y z-1 = 0到Po和R的有 向距離是等值異號，即2疋1+1疋2+1疋1 _1 _2% +比 +乙 _1、J22 +12 +12I V 22 +12 +12化簡后得 2x.| y1 z10（ 1）又PoR的一組方 向向量為（ -xoy -。，乙-Zo ），由于FOR與平面 2x y z-1 = 0垂直，故有X - 1y1 -2z1 -1二t.(t為參數(shù)）21 1% =1 2t即,: