人教A版（2019）高中數(shù)學必修第一冊1.4.1充分條件和必要條件 教案

1、1.4.1 充分條件與必要條件教學目標：1通過研究實例抽象出充分條件與必要條件的概念，能利用充分條件與必要條件對具體的例子進行分析和表述，在這個過程中提升數(shù)學抽象素養(yǎng)2通過探索充分條件、必要條件與判定定理、性質(zhì)定理的關(guān)系，進一步理解充分條件、必要條件，能進行充分條件、必要條件的判斷與應(yīng)用，在這個過程提升邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)教學重點：充分條件、必要條件的意義；教學難點：必要條件的意義教學過程：（一）整體概覽問題1：閱讀課本第17頁第一段，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪些內(nèi)容？（2）本節(jié)要研究的對象在高中數(shù)學中的地位是怎樣的？（3）并試著依據(jù)一個新概念的學習過程，給出你的研究思路與

2、方法師生活動：學生獨立思考，回答問題，生生、師生之間互相訂正和補充預(yù)設(shè)的答案：對于問題1（1），學生應(yīng)該能夠完整地回答出：本節(jié)將要研究“若p，則q”形式的命題中p和q的關(guān)系，學習數(shù)學中的三個常用的邏輯用語充分條件、必要條件和充要條件對于問題1（2）和（3）估計學生會感到棘手由教師講解（2）三個常用邏輯用語是數(shù)學語言的重要組成部分，是數(shù)學表達和交流的工具，是邏輯思維的基本語言（3）新概念的學習過程：具體實例定義表示辨析應(yīng)用猜想：具體實例什么是充分條件、必要條件和充要條件？如何表示？如何判斷？如何應(yīng)用？設(shè)計意圖：通過閱讀，首先讓學生對本節(jié)的研究內(nèi)容、研究過程有個概覽，提高學生學習的系統(tǒng)性；明確三種

3、常用邏輯用語學習的必要性；通過類比所學知識，猜想新知識的研究思路和過程，有利于提高學生研究問題的能力和抽象概括能力（二）問題導(dǎo)入問題2：在初中，我們學習過命題，什么是命題？什么是真命題和假命題？你能舉一些例子嗎？并試著將你的例子改寫成“若p，則q”的形式師生活動：根據(jù)學生列舉的例子，教師和學生一起回顧初中學習的命題的相關(guān)知識：命題的概念、命題真假及其判斷等，并引導(dǎo)學生關(guān)注到本節(jié)主要討論的命題形式是：“若p，則q”，通過改寫列舉的命題，認識條件和結(jié)論設(shè)計意圖：復(fù)習初中學過的關(guān)于命題、真命題、假命題的概念，認識命題的條件和結(jié)論，為后續(xù)學習做好鋪墊引語：本節(jié)我們主要討論“若p，則q”這種形式的命題，

4、并進一步考察命題中p和q的關(guān)系，學習數(shù)學中的一些常用的邏輯用語（三）新知探究1形成概念問題3：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；（3）若，則x=1；（4）若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l，則a/b師生活動：學生判斷命題（1）（4）的真假，并得到命題（1）（4）為真命題，命題（2）（3）為假命題教師追問，引導(dǎo)學生將具體結(jié)論一般化追問1：關(guān)于命題（1）和命題（4），由條件p通過推理可以得到結(jié)論q，所以它們是真命題對于一般的“若p，則q”形式的命題，如果由p通過

5、推理可以得到q，那么這個命題為真命題嗎？反過來，如果這個命題是真命題，那么由p通過推理一定可以得到q嗎？追問2：關(guān)于命題（2）和命題（3），由條件p通過推理不能得到結(jié)論q，所以它們是假命題對于一般的“若p，則q”形式的命題，如果由p通過推理不能得到q，那么這個命題為假命題嗎？反過來，如果這個命題是假命題，那么由p通過推理一定不能得到q嗎？教師引導(dǎo)學生梳理討論的結(jié)果，由教師講解或者學生閱讀課本獲得定義：一般地，“若p，則q”為真命題，就是指由p通過推理可以得到q這時，我們就說，由p可以推出q，記作并且說，p是q的充分條件（sufficient condition），q是p的必要條件（necess

6、ary condition）如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作p q此時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件設(shè)計意圖：從學生熟悉的命題出發(fā)，在判斷“若p，則q”形式命題真假的基礎(chǔ)上，明確“命題的真假”與“由p推出q”的關(guān)系，從而形成充分條件和必要條件的定義3辨析概念問題4：根據(jù)定義，在上述命題（1）（4）中，p是否為q的充分條件？q是否為p的必要條件？為什么？師生活動：學生可以解決這個問題答案略追問1：判斷p是否為q的充分條件，q是否為p的必要條件的依據(jù)和方法是什么？師生活動：學生獨立思考，展示交流，給出總結(jié)及解釋預(yù)設(shè)的答案：判斷充分（必要）條件的依據(jù)是：

7、充分條件和必要條件的定義具體方法是：命題法：判斷命題“若p，則q”的真假設(shè)計意圖：利用定義解決問題，形成方法追問2：對于命題（1）滿足，那么若q不成立，p成立嗎？請你解釋對于命題（4）呢？一般地，當時，那么若q不成立，p成立嗎？你能據(jù)此說明為什么此時稱q為p的必要條件？師生活動：學生獨立思考，展示交流預(yù)設(shè)的答案：p是q的充分條件，即p成立足夠推出q成立；q是p的必要條件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q對于p成立而言是必要的設(shè)計意圖：通過對具體例子的辨析，學會判斷充分條件和必要條件的方法；借助具體例子，明確充分條件和必要條件的含義，突破理解必要條件這一難點例1 下列“若p，則q”形式的命題

8、中，哪些命題中的p是q的充分條件？（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；（4）若，則；（5）若，則；（6）若為無理數(shù)，則為無理數(shù)追問1：判斷p是q的充分條件的依據(jù)與方法分別是什么？（答案略）師生活動：學生獨立完成，要求寫出判斷過程和結(jié)果，然后展示交流，教師幫助學生規(guī)范過程預(yù)設(shè)的答案：解：（1）這是一條平行四邊形的判定定理，所以p是q的充分條件（2）這是一條相似三角形的判定定理，所以p是q的充分條件（3）這是一條菱形的判定定理，所以p是q的充分條件（4）由于，但，pq，所

9、以p不是q的充分條件（5）由等式的性質(zhì)知，所以p是q的充分條件（6）為無理數(shù)，但為有理數(shù)，pq，所以p不是q的充分條件（4）除了用判斷命題的真假判斷充分條件之外，還可以用集合關(guān)系來判斷充分條件對于命題“若p，則q”，集合，集合，若，則p是q的充分條件解：方程的解集為，而，所以p不是q的充分條件追問2：命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，請你再寫出幾個不同的充分條件預(yù)設(shè)的答案：若四邊形一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；若四邊形兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形；若四邊形的兩組對邊分別相等，則這

10、個四邊形是平行四邊形；若四邊形的兩組對邊分別平行，則這個四邊形是平行四邊形追問3：根據(jù)上述分析，你認為充分條件與判定定理之間有怎樣的關(guān)系？（答案：數(shù)學中的每個判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學結(jié)論成立的一個充分條件）設(shè)計意圖：一是進一步熟悉利用判斷命題真假來判定充分條件的方法，同時了解利用集合關(guān)系判斷充分條件的方法，比如（4）；二是通過典型的數(shù)學命題，理解數(shù)學中的判定定理和充分條件的關(guān)系，進一步深化對充分條件的理解例2 下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？（1）若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；（3）若四邊

11、形的對角線互相垂直，則這個四邊形為菱形；（4）若，則；（5）若，則；（6）若為無理數(shù)，則為無理數(shù)追問1：類比例1如何完成例2？（答案略）師生活動：學生獨立完成，要求寫出判斷過程和結(jié)果，然后展示交流，教師幫助學生規(guī)范過程預(yù)設(shè)的答案：解：（1）這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理，所以q是p的必要條件（2）這是相似三角形的一條性質(zhì)定理，所以q是p的必要條件（3）對于箏形，對角線互相垂直，但它不是菱形，pq，所以q不是p的必要條件（4）顯然，所以q是p的必要條件（5）當c=0，結(jié)論不成立，pq，所以q不是p的必要條件（6）為無理數(shù)，但不全是有理數(shù)，pq，所以q不是p的必要條件追問：類比例1，你能用集合法解答

12、（4）嗎？用集合關(guān)系來判斷必要條件對于命題“若p，則q”，集合，集合，若，則q是p的必要條件解：方程的解集為，而，所以q是p的必要條件追問2：命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”這樣的必要條件唯一嗎？如果不唯一，請你再寫出幾個不同的必要條件預(yù)設(shè)的答案：若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等；若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形兩條對角線互相平分；若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等；若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形兩組對邊分別平行追問3：根據(jù)上述分析，你認為必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系如何？（答案：數(shù)學中的每個性質(zhì)定理

13、都給出了相應(yīng)數(shù)學結(jié)論成立的一個必要條件）設(shè)計意圖：一是進一步熟悉利用判斷命題真假判定必要條件的方法，同時了解利用集合關(guān)系判斷必要條件的方法，比如（4）；二是通過典型的數(shù)學命題，理解數(shù)學中的性質(zhì)定理和必要條件的關(guān)系，進一步深化對必要條件的理解3應(yīng)用概念例3 已知，p：，q：（1）若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若p是q的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍追問：對于（1），根據(jù)充分條件的定義，兩個條件p與q對應(yīng)的數(shù)集之間應(yīng)該有怎樣的關(guān)系？對于（2）呢？師生活動：學生獨立思考，然后討論交流，形成（1）的解題思路然后學生獨立寫出（1）的解答過程，并類比（1）完成（2）的解答，展示交流，教師幫助

14、學生規(guī)范過程預(yù)設(shè)的答案：因為p是q的充分條件，所以條件p對應(yīng)的數(shù)集中的每個元素都應(yīng)該在條件q對應(yīng)的數(shù)集中，所以，從而將問題轉(zhuǎn)化為已知集合關(guān)系求參數(shù)范圍解：（1）因為p是q的充分條件，所以解得；（2）因為p是q的必要條件，所以解得設(shè)計意圖：通過充分條件、必要條件的逆用，將問題轉(zhuǎn)化為集合之間關(guān)系問題，進一步在變化的情境中加深對概念的理解。（四）歸納小結(jié) 布置作業(yè)問題5：本節(jié)課我們學習了充分條件和必要條件，充分條件和必要條件的含義分別是什么？對于“若p，則q”命題，判斷p是否為q的充分條件或者必要條件的方法有哪些？充分條件、必要條件與數(shù)學中的判定定理、性質(zhì)定理有什么關(guān)系？對照問題1中給出的研究內(nèi)容和

15、思路，你有沒有需要補充的內(nèi)容？師生活動：師生一起總結(jié)預(yù)設(shè)的答案：充分條件和必要條件的含義：p是q的充分條件，即p成立足夠推出q成立；q是p的必要條件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q對于p成立而言是必要的對于“若p，則q”命題，判斷p是否為q的充分條件或必要條件的方法：命題法和集合法（1）命題法：判斷命題“若p，則q”的真假，若其為真，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若其為假，則p不是q的充分條件，q不是p的必要條件（2）集合法：集合，集合，若，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若，則p不是q的充分條件，q不是p的必要條件數(shù)學中的每個判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學結(jié)論成立的一個充分條件

16、數(shù)學中的每個性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學結(jié)論成立的一個必要條件研究內(nèi)容及思路：在大量實例感知的基礎(chǔ)上，抽象出充分條件、必要條件的概念；然后依據(jù)定義尋找判斷充分條件、必要條件的方法；并利用新知重新認識以前的一些知識（判定定理、性質(zhì)定理）設(shè)計意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，讓學生進一步明確充分條件、必要條件的含義以及它們在數(shù)學中的地位，同時進一步梳理它們的研究思路作業(yè)布置：教科書第20頁練習第1，2，3題（五）目標檢測設(shè)計1下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的充分條件？哪些命題中的是的必要條件？（1）若，則；（2）若，則；（3）若兩個三角形全等，則這兩個三角形面積相等；（4）若，則集合中至少有一個為空集設(shè)計