平面幾何基本定理

1、平面幾何基本定理一平面幾何1 勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍(2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍2 射影定理（歐幾里得定理）3 中線定理（巴布斯定理）設(shè)ABC的邊BC的中點為P，則有；中線長：4 垂線定理：高線長：5 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例如ABC中，AD平分BAC，則；（外角平分線定理）角平分線長：（其中為周長一半）6 正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）7 余弦定理：8 張

2、角定理：9 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）11 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角12 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ACBD，自對角線的交點P向一邊作垂線，其延長線必平分對邊14 點到圓的冪：設(shè)P為O所在平面上任意一點，PO=d，O的半徑為r，則d2r2就是點P對于O的冪過P任作一直線與O交于點A、B，

3、則PAPB= |d2r2|“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論這條直線稱為兩圓的“根軸”三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”三個圓的根心對于三個圓等冪當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點15 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即ACBD=ABCD+ADBC，(逆命題成立) （廣義托勒密定理）ABCD+ADBCACBD16 蝴蝶定理：AB是O的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP

4、=QM 17 費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120時，在三角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都是120，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內(nèi)角不小于120時，此角的頂點即為費馬點18 拿破侖三角形：在任意ABC的外側(cè)，分別作等邊ABD、BCE、CAF，則AE、AB、CD三線共點，并且AEBFCD，這個命題稱為拿破侖定理 以ABC的三條邊分別向外作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C1 、A1 、B1的圓心構(gòu)成的

5、外拿破侖的三角形，C1 、A1 、B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；ABC的三條邊分別向ABC的內(nèi)側(cè)作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C2 、A2 、B2的圓心構(gòu)成的內(nèi)拿破侖三角形，C2 、A2 、B2三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心 19 九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半（2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外

6、心連線的中點 （3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切費爾巴哈定理20 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上21 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R22Rr22 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和23 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則；（2）設(shè)G為ABC的重心，則（3）設(shè)G為ABC的重心，過G作DEBC交AB于D，交AC于E

7、，過G作PFAC交AB于P，交BC于F，過G作HKAB交AC于K，交BC于H，則（4）設(shè)G為ABC的重心，則（P為ABC內(nèi)任意一點）；到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即最??； 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為ABC的重心）24 垂心：三角形的三條高線的交點；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍（2）垂心H關(guān)于ABC的三邊的對稱點，均在ABC的外接圓上；（3）ABC的垂心為H，則ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心， 25 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點內(nèi)接圓圓心

8、，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則I到ABC三邊的距離相等，反之亦然（2）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為ABC的內(nèi)心（4）設(shè)I為ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交ABC外接圓于點K，則（5）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令；26 外心：三角形的三條中垂線的交點外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等（2）設(shè)O為ABC的外心，則或（3）；（4）銳角三

9、角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和27 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點旁切圓圓心；設(shè)ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為旁心性質(zhì)：（1）（對于頂角B，C也有類似的式子）（2）（3）設(shè)的連線交ABC的外接圓于D，則（對于有同樣的結(jié)論）（4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圓半徑等于ABC的直徑為2R28 三角形面積公式，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，29 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系 30 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直

10、線的交點分別為P、Q、R則有 （逆定理也成立）31 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)ABC的A的外角平分線交邊CA于Q，C的平分線交邊AB于R，B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線32 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線33 塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條件是=134 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的

11、中點M35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于一點37 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點38 西摩松（Simson）定理：從ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 關(guān)于西摩松線的定理1：ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上

12、41 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點42 史坦納定理：設(shè)ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心43 史坦納定理的應(yīng)用定理：ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點和ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上這條直線被叫做點P關(guān)于ABC的鏡象線44 牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線這條直線叫做這個四邊形的牛頓線 45 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，

13、三點共線46 笛沙格定理1：平面上有兩個三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線47 笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線48 波朗杰、騰下定理：設(shè)ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) 49 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點

14、關(guān)于PQR的的西摩松線交于與前相同的一點50 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點51 波朗杰、騰下定理推論3：考查ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于ABC的西摩松線交于一點52 波朗杰、騰下定理推論4：從ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于ABC的西摩松線交于一點5

15、3 卡諾定理：通過ABC的外接圓的一點P，引與ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線54 奧倍爾定理：通過ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在ABC的外接圓上取一點P，則PL、PM、PN與ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線55 清宮定理：設(shè)P、Q為ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D

16、、E、F三點共線56 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQOP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點）57 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上 58 從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線

17、交于該三角形的九點圓的圓心59 一個圓周上有n個點，從其中任意n1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點60 康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點61 康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線62 康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于

18、四邊形ABCD的康托爾線交于一點這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點63 康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線64 費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切 65 莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形這個三角形常被稱作莫利正三角形66 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F

19、，則這三線共點67 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長線的）交點共線68 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上這個圓稱為阿波羅尼斯圓69 庫立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓70 密格爾（Miquel）點： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六

20、點，構(gòu)成四個三角形，它們是ABF、AED、BCE、DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點71 葛爾剛（Gergonne）點：ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點 72 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點，過M向三邊作垂線，三個垂足形成的三角形的面積，其公式： 二集合 1.元素與集合的關(guān)系,.2.德摩根公式3.包含關(guān)系4.集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有1個；非空子集有 1個；非空的真子集有2個.5.集合A中有M個元素，集合B中有N個元素，則可以構(gòu)造M*N個從集合A到集合B的映射；

21、6.容斥原理20 / 2120 / 2120第 頁 共 21 頁2021-7-15.三二次函數(shù)，二次方程1二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點式;(3)零點式.2解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式.3方程在上有且只有一個實根,與不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個實根在內(nèi),等價于,或且,或且.4閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：(1)當a0時，若，則；，.(2)當a0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5),則的周期

22、T=5a；(6)，則的周期T=6a.六 指數(shù)與對數(shù)1分數(shù)指數(shù)冪 (1)（，且）.(2)（，且）.2根式的性質(zhì)（1）.（2）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.3有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1) .(2) .(3).注： 若a0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.4指數(shù)式與對數(shù)式的互化式 .5對數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論 (,且,且, ).6對數(shù)的四則運算法則若a0，a1，M0，N0，則(1);(2) ;(3).7設(shè)函數(shù),記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.8對數(shù)換底不等式及其推廣 若,則函數(shù) (1)當時,在

23、和上為增函數(shù).， (2)當時,在和上為減函數(shù).推論:設(shè)，且，則（1）.（2）.9平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系( 數(shù)列的前n項的和為).七 數(shù)列1等差數(shù)列的通項公式；其前n項和公式為.2等比數(shù)列的通項公式；其前n項的和公式為或.3等比差數(shù)列:的通項公式為；其前n項和公式為.4分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).八 三角函數(shù)1常見三角不等式（1）若，則.(2) 若，則.(3) .2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，.3正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù)

24、) 4和角與差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).5半角正余切公式：6二倍角公式 .7最簡單的三角不等式及其解集 角的變形：8三倍角公式 9三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，xR及函數(shù)，xR(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期；函數(shù)，(A,為常數(shù)，且A0，0)的周期.10正弦定理.11余弦定理;.12面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).13在三角形中有下列恒等式： 14簡單的三角方程的通解 . .特別地,有. .15三角形內(nèi)角和定理 在ABC中，有八 向量1實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)、為實數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：(a)=()a;(2)第一分配律：

25、(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2向量的數(shù)量積的運算律：(1) ab= ba （交換律）;(2)（a）b= （ab）=ab= a（b）;(3)（a+b）c= a c +bc.3平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底4向量平行的坐標表示 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).5a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a|b|cos6ab的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積7平面向量

26、的坐標運算(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.(2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則.(4)設(shè)a=，則a=.(5)設(shè)a=,b=，則ab=.8兩向量的夾角公式(a=,b=).9平面兩點間的距離公式 =(A，B).10向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則A|bb=a .ab(a0)ab=0.11線段的定比分公式 設(shè)，是線段的分點,是實數(shù)，且，則（）.12三角形的重心坐標公式 ABC三個頂點的坐標分別為、,則ABC的重心的坐標是.13點的平移公式 .注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應(yīng)點為，且的坐標為.14“按向量平移”的幾個結(jié)論（1）點按向量a=平移后得到點.(2

27、) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.15三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.九 不等式1常用不等式：（1）(當且僅當ab時取“=”號)（2）(當且僅當ab時取“=”號)（3）（4）柯西不等式（5） .2極值定理已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當時和有最小值；（2）若和是定值，則當時

28、積有最大值.推廣 已知，則有（1）若積是定值,則當最大時,最大；當最小時,最小.（2）若和是定值,則當最大時, 最??；當最小時, 最大.3一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.4含有絕對值的不等式 當a 0時，有.或.75.無理不等式（1） .（2）.（3）.5指數(shù)不等式與對數(shù)不等式 (1)當時,; .(2)當時,;十 直線方程1斜率公式 （、）. k=tan(為直線傾斜角）2直線的五種方程 （1）點斜式 (直線過點，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式 ()(、 ().(4)截距式

29、(分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式 (其中A、B不同時為0).5兩條直線的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不為零,；兩直線垂直的充要條件是 ；即：6夾角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時，直線l1與l2的夾角是.7到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時，直線l1到l2的角是.8四種常用直線系方程 (1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中是待定的系數(shù)(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時

30、，表示平行直線系方程與直線平行的直線系方程是()，是參變量(4)垂直直線系方程：與直線 (A0，B0)垂直的直線系方程是,是參變量9點到直線的距離 (點,直線：).10或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，若A0,則在坐標平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，若A0,則在坐標平面內(nèi)從左至右的區(qū)域依次表示 ，可記為“x 為正開口對，X為負背靠背“。（正負指X的系數(shù)A，開口對指”，背靠背指0)的焦點F的直線與拋物線相交于十五 圓錐曲線共性問題1兩個常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓; 當時,表示雙曲線.5直線與圓錐曲線相交的弦長公式

31、或（弦端點A由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. 2涉及到曲線上的 點A，B及線段AB的中點M的關(guān)系時，可以利用“點差法：，比如在橢圓中：3圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關(guān)于點成中心對稱的曲線是.（2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是.4“四線”一方程 對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.十六 立體幾何1證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.2證明直線與平面的平行的思考途徑（

32、1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.3證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.6證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）

33、轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律(1)加法交換律：ab=ba(2)加法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)(3)數(shù)乘分配律：(ab)=ab7.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.8.共線向量定理對空間任意兩個向量a、b(b0 )，ab存在實數(shù)使a=b三點共線.、共線且不共線且不共線.9.共面向量定理 向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對,使推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，或?qū)臻g任一定點O，

34、有序?qū)崝?shù)對，使.10.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面四點共面與、共面（平面ABC）.11.空間向量基本定理 如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使pxaybzc推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則a，e=ae12.向量的直角坐標運算設(shè)

35、a，b則(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)ab；123.設(shè)A，B，則= .13空間的線線平行或垂直設(shè)，則；.125.夾角公式 設(shè)a，b，則cosa，b=.推論 ，此即三維柯西不等式.14. 四面體的對棱所成的角四面體中, 與所成的角為,則.127異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）15.直線與平面所成角(為平面的法向量).16.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則.特別地,當時,有.17.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則.特別地,當時,有.18.二面角的平面

36、角或（，為平面，的法向量）.19.三余弦定理設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，且BCAC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.20. 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，則有 ;(當且僅當時等號成立).21.空間兩點間的距離公式 若A，B，則 =.135.點到直線距離(點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).22.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).137.點到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.23.異面直線上兩點距離公式 .（）.

37、(兩條異面直線a、b所成的角為，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,). 139.三個向量和的平方公式 24. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.25. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).26. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則.27作截面的依據(jù)三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.28棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似

38、，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比29.歐拉定理(歐拉公式) (簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.30.球的半徑是R，則其體積,其表面積31.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)

39、切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.32柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.十七 排列組合1分類計數(shù)原理（加法原理）.2分步計數(shù)原理（乘法原理）.3排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.4排列恒等式 (1）;（2）;（3）; （4）;（5）.(6) .5組合數(shù)公式 =(N*，且).6組合數(shù)的兩個性質(zhì)(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定.7組合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.

40、(6).(7). (8).(9).（）.8排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .9單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有種；某（特）元不在某位有（補集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：個元在固定位的排列有種.浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空 個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當時，無解；當時，有種排法.（4）兩組相同元素的

41、排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.10分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有.（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)有 .（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，件無記號的堆，且，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，件無記號的堆，且，這個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)有.（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個物體分給甲、乙、丙，等個人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，時，則無論，等個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有.11 “錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為.推廣: 個元素與個