曲率的計(jì)算公式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式 設(shè)x ， x+ Dx 為(a，b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，它們?cè)谇€(xiàn) yf(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，M，并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Dx ，弧 s 的增 量為Ds，于是 下面來(lái)求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分 M0 M M x0 x x+Dx Dx Dy x y O Ds 2 D D x s 2 D x MM ( 2 2 )( | x MM D 2 | MM MM ( 2 22 )( )()( x yx D DD 2 | MM MM ( D D 2 1 x y 2 | MM MM ( x s D D D D 2 2 1 |x y MM MM ( 第2頁(yè)/共12頁(yè)第1頁(yè)/共12頁(yè) 1，因

2、為 因此 由于ss(x)是單調(diào)增加函數(shù)，從而 于是 ds 這就是弧微分公式 x s D D D D 2 2 1 |x y MM MM ( 0 lim Dx| | MM MM ( MM lim | | MM MM ( 0 lim Dx x y D D y，又 dx ds 2 1 y dx ds 0, dx ds 2 1 y 2 1 y dx 第3頁(yè)/共12頁(yè)第2頁(yè)/共12頁(yè) ) j M1 M2 N1 N2 觀察曲線(xiàn)的彎曲線(xiàn)程度與切線(xiàn)的關(guān)系： 可以用單位弧段上切線(xiàn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度的大小來(lái)表達(dá)弧段的平 均 彎曲程度， 第4頁(yè)/共12頁(yè)第3頁(yè)/共12頁(yè) M0 M M Ds Da x y O a+Da ) a

3、 ) s C 設(shè)曲線(xiàn)C是光滑的，曲線(xiàn) 線(xiàn)C上從點(diǎn)M 到點(diǎn)M 的弧 為Ds ，切線(xiàn)的轉(zhuǎn)角為Da 平均曲率： 曲率： s K D D a 我們稱(chēng)為弧段 的平均曲率 MM ） s K s D D D a 0 lim 我們稱(chēng)為曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的曲率 在 存在的條件下 ds d s s aa D D D0 lim ds d K a 第5頁(yè)/共12頁(yè)第4頁(yè)/共12頁(yè) 曲率的計(jì)算公式： 設(shè)曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程是yf(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù) 于是 從而，有 因?yàn)閠an a y ，所以 ds d K a sec 2a dx da y， dx da a 2 tan1 y 2 1y y dx da a 2 tan

4、1 y 2 1y y ， da 2 1y y dx又知 ds 2 1 y dx K 232 )1 ( | y y 第6頁(yè)/共12頁(yè)第5頁(yè)/共12頁(yè) 解 因此，y|x11，y|x12 曲線(xiàn)x y 1在點(diǎn)(1，1)處的曲率為 x 1 由y ，得 y 2 1 x ，y 2 1 x ，y 3 2 x K 232 )1 ( | y y 232 ) 1(1 ( 2 2 2 2 1 232 )1 ( | y y 232 ) 1(1 ( 2 2 2 2 1 232 )1 ( | y y 232 ) 1(1 ( 2 2 2 2 1 K 232 )1 ( | y y 第7頁(yè)/共12頁(yè)第6頁(yè)/共12頁(yè) 解 由yax

5、2bxc，得 y2axb ，y2a ， 代入曲率公式，得 要使K 最大，只須2axb0， 拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)因此，拋物線(xiàn)在頂點(diǎn)處的曲率最大，最大曲率為 K|2a| K 232 )1 ( | y y K 232 )1 ( | y y 232 )2(1 |2| bax a 即 x a b 2 而 x a b 2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 第8頁(yè)/共12頁(yè)第7頁(yè)/共12頁(yè) 2若曲線(xiàn)由參數(shù)方程給出，那么曲率如何計(jì)算？ 1直線(xiàn)上任一點(diǎn)的曲率等于什么？ 討論： 提示：設(shè)直線(xiàn)方程為y=ax+b，則y =a， y = 0于是 )( )( ty tx j .0 )1 ( | 232 y y K 提示： 2322 )()( | )(

6、)()()(| tt tttt K j jj 第9頁(yè)/共12頁(yè)第8頁(yè)/共12頁(yè) 曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率K(K 0)與曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率半徑 r 有如下關(guān)系： 曲線(xiàn)在M點(diǎn)的曲率中心 M y=f(x) x y O D r 曲線(xiàn)在M點(diǎn)的曲率半徑 曲線(xiàn)在M點(diǎn)的曲率圓 r K 1 ， K r 1 |DM| K 1 r 第10頁(yè)/共12頁(yè)第9頁(yè)/共12頁(yè) 42 O 2 x y y=04 x2 第11頁(yè)/共12頁(yè)第10頁(yè)/共12頁(yè) 解 砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處的曲率半徑 例3 設(shè)工件表面的截線(xiàn)為拋物線(xiàn)y04x 2現(xiàn)在要用砂 輪 磨削其內(nèi)表面問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適？ y08x ，y08， y|x00，y|x008 拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處的曲率半徑為 所以選用砂輪的半徑不得超過(guò)125單位長(zhǎng)，即直