曲線與方程三個課時修改PPT學習教案

1、會計學1 曲線與方程三個課時修改曲線與方程三個課時修改 復習回顧復習回顧: 我們研究了直線和圓的方程我們研究了直線和圓的方程. . 1.1.經過點經過點P(0,b)P(0,b)和斜率為和斜率為k k的直線的直線L L的方的方 程程 為為_ 2.2.在直角坐標系中在直角坐標系中, ,平分第一、三象限的平分第一、三象限的 直線方程是直線方程是_ 3.3.圓心為圓心為C(a,b) ,C(a,b) ,半徑為半徑為r r的圓的圓C C的方程的方程 為為_._. x-y=0 第1頁/共48頁 點的橫坐標與縱坐標相等 點的橫坐標與縱坐標相等x=y（或 x-y=0） 第一、三象限角平分線第一、三象限角平分線l

2、 含有關系含有關系： l x-y=0 x y 0 （1）l上點的坐標都是方程上點的坐標都是方程x-yx-y=0=0的解的解 （2）以方程以方程x-yx-y=0=0的解為坐標的點都的解為坐標的點都 在在 上上l 直直線線 條件條件 方程方程 坐標系中坐標系中, ,平分第一、三象限的直線方程是平分第一、三象限的直線方程是x-y=0 x-y=0 思考思考? ? 直線直線L上的點坐標與方程上的點坐標與方程 x-y=0 的解的解一一對應一一對應 第2頁/共48頁 圓心為圓心為C(a,b) ,C(a,b) ,半徑為半徑為r r的圓的圓C C的方程為的方程為: : 222 ()()xaybr 思考思考? ?

3、 x y . .C （1 1）圓）圓C C上的點的坐標都是方程上的點的坐標都是方程 的解的解; ; 222 ()()xaybr （2 2）方程）方程 的解為坐標的點都在圓的解為坐標的點都在圓C C 上。上。 222 ()()xaybr 圓圓C上的點的坐標與方程上的點的坐標與方程 的解的解一一對應一一對應 222 ()()xaybr 曲線上點的坐標與方程的解一一對應曲線上點的坐標與方程的解一一對應. 第3頁/共48頁 (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解曲線上點的坐標都是這個方程的解; (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點 . 那么,這個方程叫做曲線

4、的方程曲線的方程; 這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線. 定義定義: : 2.曲線的方程曲線的方程反映的是圖形所滿足的反映的是圖形所滿足的數量關系數量關系; 方程的曲線方程的曲線反映的是數量關系所表示的反映的是數量關系所表示的圖形圖形. f(x,y)=0 0 x y 一般地一般地,在直角坐標系中在直角坐標系中,如果如果某曲線某曲線C(看看 作點的集合或適合某種條件的點的軌跡作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的上的 點與一個二元方程點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如的實數解建立了如 下的關系下的關系: 說明說明: :1.曲線上點的坐標與方程的解曲線上點的坐標與方程的解一一對應一一

5、對應. 第4頁/共48頁 2.“曲線上的點的坐標都是這個方程曲線上的點的坐標都是這個方程 的解的解” （純粹性）（純粹性）. 3.“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上以這個方程的解為坐標的點都在曲線上” （完備性（完備性 ）. 由曲線的方程的定義可知由曲線的方程的定義可知: 如果曲線如果曲線C的方程是的方程是 f(x,y)=0，那么點，那么點P0(x0 ,y0) 在曲線在曲線C 上的上的 充要條件充要條件 是是 f(x0, y0)=0 闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是 說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例

6、外. 闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏. 第5頁/共48頁 22 25xy 22 25xy 22 3( 4)25 22 25xy 22 ( 2)125 第6頁/共48頁 應為應為x=0(0y3). 第7頁/共48頁 , x=0(-3y0). (1)過點過點A（3，0）且垂直于）且垂直于x軸的直線的方程軸的直線的方程 為為x=3 (2)到到x軸距離等于軸距離等于1的點組成的直線方程為的點組成的直線方程為y=1 (3)到兩坐標軸的距離之積等于到兩坐標軸的距離之積等于1的點的軌跡方的點的軌跡方 程為程為xy=1 (4) ABC的頂點的頂點A(0,-3)

7、，B(1,0)，C(-1,0)， D為為BC中點，則中線中點，則中線AD的方程的方程x=0 第8頁/共48頁 例例 畫出下列方程表示的曲線：畫出下列方程表示的曲線： （1 1） ； （2 2）x x|y|y|0 0； （3 3）x x2 22x2xy y0(y0(y0).0). 10 y x += x x y y O O (1)(1) x x y y O O (2)(2) x x y y O O 2 2 1 1 (3)(3) 第9頁/共48頁 第10頁/共48頁 22 2axby 22 2axby 22 2axby 2 2 5 02 3 ab 22 112ab 第11頁/共48頁 練習練習2:

8、2:若命題若命題“曲線曲線C C上的點的坐標滿足方程上的點的坐標滿足方程 f(x,y)=0”f(x,y)=0”是正確的是正確的, ,則下列命題中正確的是則下列命題中正確的是( ( ) ) A.A.方程方程f(x,y)=0 f(x,y)=0 所表示的曲線是所表示的曲線是C C B.B.坐標滿足坐標滿足 f(x,y)=0 f(x,y)=0 的點都在曲線的點都在曲線C C上上 C.C.方程方程f(x,y)=0f(x,y)=0的曲線是曲線的曲線是曲線C C的一部分或是曲的一部分或是曲 線線C C D.D.曲線曲線C C是方程是方程f(x,y)=0f(x,y)=0的曲線的一部分或是全的曲線的一部分或是全

9、 部部 D 例例: y |x| 第12頁/共48頁 C 練習練習3:設圓設圓M的方程為的方程為 ,直線直線l 的方程為的方程為x+y-3=0, 點點P的坐標為的坐標為(2,1),那么那么( ) 2) 2() 3( 22 yx A.點點P在直線上，但不在圓上在直線上，但不在圓上 B.點點P在圓上，但不在直線上；在圓上，但不在直線上； C.點點P既在圓上，也在直線上既在圓上，也在直線上 D.點點P既不在圓上，也不在直線上既不在圓上，也不在直線上 練習練習4:已知方程已知方程 的曲線經過的曲線經過 點點 ,則則 m =_, n =_. 04 22 nymx ) 1 , 2(),2, 1 (BA 第1

10、3頁/共48頁 C 第14頁/共48頁 第二課時第二課時 2.1 曲線與方程曲線與方程 第15頁/共48頁 f(x,y)=0 0 x y “數形結合數形結合 ” 數學思數學思 想的基礎想的基礎 第16頁/共48頁 新課探究新課探究 第17頁/共48頁 我們的目標就是要找我們的目標就是要找x與與y的關系式的關系式 先找曲線上的點滿足的幾何條件先找曲線上的點滿足的幾何條件 第18頁/共48頁 ; )136(5 )1()28( )1()1( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 yy yy yxAM , )136(5 )7()24( )7()3( 11 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

11、 11 BMAM yy yy yxBM 即點即點M1在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上. 由由(1)、(2)可知方程可知方程是線段是線段AB的垂直平分線的方的垂直平分線的方 程程. 點點M1到到A、B的距離分別是的距離分別是 這種求曲線的方程的方法叫：直接法 （2）設點）設點M1的坐標（的坐標（x1,y1）是方程）是方程 的解，即的解，即: x+2y17=0 x1=7 2y1 第19頁/共48頁 由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的 方程，一般有下面幾個步驟：方程，一般有下面幾個步驟： 說明：說明：一般情況下，化簡前后方程的解集是相一般情況下，

12、化簡前后方程的解集是相 同的，步驟（同的，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情）可以省略不寫，如有特殊情 況，可適當予以說明況，可適當予以說明.另外，根據情況，也可以另外，根據情況，也可以 省略步驟（省略步驟（2），直接列出曲線方程），直接列出曲線方程. (1)用有序實數用有序實數 對（對（x,y）表示曲線上任意一點）表示曲線上任意一點M的坐標；的坐標； (2)寫出適合條件寫出適合條件p的點的點M集合集合P=M|p(M) (3)用坐標表示條件用坐標表示條件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0; (4)化方程化方程f(x,y)=0為最簡形式；為最簡形式； (5)說明以化簡后的方程的解為坐標的

13、點說明以化簡后的方程的解為坐標的點 都在曲線上都在曲線上. 第20頁/共48頁 求曲線的方程求曲線的方程( (軌跡方程軌跡方程) )的一般步驟的一般步驟: : 一、一、建建立適當的坐標系，立適當的坐標系，設設曲線上任一點的坐曲線上任一點的坐 標，及相關點的坐標標，及相關點的坐標; ; 二、二、( (限限) )找條件，由條件找條件，由條件( (代代) )列方程列方程; ; 三、三、化化簡方程簡方程. . 說明說明所得方程所得方程( (可以省略可以省略) )為所求的曲線方程為所求的曲線方程. . 方法小結方法小結 注注: :這這種種求求軌軌跡跡方方程程的的方方法法叫叫做做直直接接法法. . 直接法

14、直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關是將動點滿足的幾何條件或者等量關 系系, ,直接坐標化直接坐標化, ,列出等式化簡即得到列出等式化簡即得到 第21頁/共48頁 例例2.已知一條直線已知一條直線l和它上方的一個點和它上方的一個點A，點，點A 到到l的距離是的距離是2,一條曲線也在一條曲線也在l的上方，它上面的的上方，它上面的 每一點到每一點到A的距離減去到的距離減去到l的距離的差都是的距離的差都是2,建建 立適當的坐標系，求這條曲線的方程立適當的坐標系，求這條曲線的方程. 取直線取直線l為為x軸軸,過點過點A且垂直于直線且垂直于直線l的直線為的直線為y軸軸, 建立坐標系建立坐標系xOy,

15、解：解： 2MAMB 22 (0)(2)2xyy 2 1 8 yx 2 1 (0) 8 yxx 2)列式列式 3）代換）代換 4)化簡化簡 5）審查）審查 (0,2)A M B 1）建系設點）建系設點 因為曲線在因為曲線在x軸的上方，所以軸的上方，所以y0, 所以曲線的方程所以曲線的方程 是是 設點設點M(x,y)是曲線上任意一點，是曲線上任意一點， MBx軸，垂足是軸，垂足是B， 第22頁/共48頁 通過上述兩個例題了解坐標法的解題方法，通過上述兩個例題了解坐標法的解題方法， 明確明確建立適當的坐標系是求解曲線方程的基礎建立適當的坐標系是求解曲線方程的基礎 ；同時，根據曲線上的點所要適合的條

16、件列出；同時，根據曲線上的點所要適合的條件列出 等式，是求曲線方程的等式，是求曲線方程的重要環(huán)節(jié)重要環(huán)節(jié)，在這里常用在這里常用 到一些基本公式，如到一些基本公式，如， ，等等 ，因此先要了解上述知識，必要時作適當復習，因此先要了解上述知識，必要時作適當復習. 第23頁/共48頁 應為應為x=0(0y3). 第24頁/共48頁 第25頁/共48頁 3 3y yx x| |A AD D| | 2 22 2 化簡得化簡得 :x2+y2=9 (y0) 這就是所求的軌跡方程這就是所求的軌跡方程. 解解:取取B、C所在直線為所在直線為x軸，線段軸，線段BC的中垂的中垂 線為線為y軸，建立直角坐標系軸，建立

17、直角坐標系. 第26頁/共48頁 1.1.直接法直接法: : 求軌跡方程最基本的方法求軌跡方程最基本的方法, , 直接直接 通過建立通過建立x, yx, y之間的關系之間的關系, , 構成構成 F(x, y)=0 F(x, y)=0 即可即可. . 直接法直接法 定義法定義法 代入法代入法 參數參數 法法 求軌跡方程的常見方法求軌跡方程的常見方法: : 2.2.定義法定義法：（待定系數法）待定系數法）利用所學過的圓的定義利用所學過的圓的定義 、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定 義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方

18、 法叫做定義法這種方法要求題設中有法叫做定義法這種方法要求題設中有定點定點 與與定直線定直線及及兩定點距離之和或差為定值兩定點距離之和或差為定值的條的條 件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件 （下一節(jié)重點講）（下一節(jié)重點講） 第27頁/共48頁 第28頁/共48頁 例、已知例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三個頂點第三個頂點 C C在曲線在曲線y=3xy=3x2 2-1-1上移動上移動, ,求求ABCABC的重心的軌跡的重心的軌跡 方程方程. . （代入法） 第29頁/共48頁 1.1.求曲線的方程

19、的一般步驟：求曲線的方程的一般步驟： 設（設（建系設點建系設點） 找（找（找等量關系找等量關系） 列（列（列方程列方程） 化（化（化簡方程化簡方程） 驗（驗（以方程的解為坐標的點都是曲線上的點以方程的解為坐標的點都是曲線上的點） - M(x,y) - P=M|M滿足的條件 課堂小結課堂小結 第30頁/共48頁 ,( 5,0),(5,0), ,(0), ABCA B AC BCm m C 練習1、已知的兩個頂點的坐標分別是 且所在直線的斜率之積等于試探求 頂點 的軌跡方程。 解：設 C（x，y） 由已知，得 直線 AC 的斜率 kAC 5 y x （x5） ； 直線 BC 的斜率 kBC 5 y

20、 x （x5） ； 寫成 2 25 x 2 25 y m 1（x5） （直接法） 第31頁/共48頁 我們已建立了曲線的方程、方程的曲線的概念。我們已建立了曲線的方程、方程的曲線的概念。 利用這兩個概念，就可以借助于坐標系，用坐標表利用這兩個概念，就可以借助于坐標系，用坐標表 示點，把曲線看成是滿足某種條件的點的軌跡或集合示點，把曲線看成是滿足某種條件的點的軌跡或集合 ，用曲線上點的坐標，用曲線上點的坐標(x,y)(x,y)所滿足的方程所滿足的方程F(x,y)=0F(x,y)=0表示表示 曲線。曲線。 在數學中，建立曲線方程，然后用方程研究曲線在數學中，建立曲線方程，然后用方程研究曲線 的方法

21、，叫做的方法，叫做解析法（或坐標法）。解析法（或坐標法）。 解析幾何的兩大基本問題解析幾何的兩大基本問題 （1）據已知條件，求表示平面曲線的方程）據已知條件，求表示平面曲線的方程。（由曲線求方程。（由曲線求方程 ） （2）通過方程，研究平面曲線的性質）通過方程，研究平面曲線的性質。（由方程來研究曲線。（由方程來研究曲線 ） 第32頁/共48頁 解析幾何的本質解析幾何的本質 坐標法坐標法對于一個幾何問題，在建立直角坐標系的對于一個幾何問題，在建立直角坐標系的 基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線，通過基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線，通過研究研究 方程的性質間接地來研究曲線的性質方程的性質間

22、接地來研究曲線的性質，這一研究幾何，這一研究幾何 問題的方法稱為坐標法問題的方法稱為坐標法 用代數的方法來研究幾何問題。用代數的方法來研究幾何問題。 第33頁/共48頁 如果某條曲線如果某條曲線C是由動點是由動點M運動產生的，我們就稱運動產生的，我們就稱 曲線曲線C是點是點M的軌跡，曲線的軌跡，曲線C的方程稱為的方程稱為M的軌跡方的軌跡方 程。程。 注意：注意：“軌跡軌跡”、“方程方程”要區(qū)要區(qū) 分：分： 知識鏈接知識鏈接 (2)若是求軌跡，求得方程還不夠，還應指出若是求軌跡，求得方程還不夠，還應指出 方程所表示的曲線類型（定形、定位、定量）。方程所表示的曲線類型（定形、定位、定量）。 (1)

23、求求軌跡方程軌跡方程，求得方程就可以了；，求得方程就可以了； 軌跡和軌跡方程軌跡和軌跡方程： 第34頁/共48頁 f(x,y)=0 0 x y 第35頁/共48頁 新課探究新課探究 第36頁/共48頁 我們的目標就是要找我們的目標就是要找x與與y的關系式的關系式 先找曲線上的點滿足的幾何條件先找曲線上的點滿足的幾何條件 第37頁/共48頁 第38頁/共48頁 求曲線的方程求曲線的方程( (軌跡方程軌跡方程) )的一般步驟的一般步驟: : 一、一、建建立適當的坐標系，立適當的坐標系，設設曲線上任一點的坐曲線上任一點的坐 標，及相關點的坐標標，及相關點的坐標; ; 二、二、( (限限) )找條件，

24、由條件找條件，由條件( (代代) )列方程列方程; ; 三、三、化化簡方程簡方程. . 說明說明所得方程所得方程( (可以省略可以省略) )為所求的曲線方程為所求的曲線方程. . 方法小結方法小結 注注: :這這種種求求軌軌跡跡方方程程的的方方法法叫叫做做直直接接法法. . 直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系, ,直直 接坐標化接坐標化, ,列出等式化簡即得到列出等式化簡即得到 第39頁/共48頁 總結：總結： 第40頁/共48頁 練習練習2:2:下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是 所列出的方程嗎？為什么？所列出的

25、方程嗎？為什么？ (1) (1)曲線曲線C C為過點為過點A(1A(1，1)1)，B(-1B(-1，1)1)的的 折線折線( (如圖如圖(1)(1)其方程為其方程為(x-y)(x+y)=0;(x-y)(x+y)=0; (2) (2)曲線曲線C C是頂點在原點的拋物線其方是頂點在原點的拋物線其方 程為程為x+ =0;x+ =0; (3) (3)曲線曲線C C是是, , 象限內到象限內到x x軸，軸，y y軸的軸的 距離乘積為距離乘積為1 1的點集其方程為的點集其方程為y y= = 。 1 0 x y -1 1 0 x y -11-22 1 0 x y -11-22 1 y 第41頁/共48頁 上

26、一節(jié)，我們已經建立了曲線的方程上一節(jié)，我們已經建立了曲線的方程.方程的方程的 曲線的概念曲線的概念.利用這兩個重要概念，就可以借利用這兩個重要概念，就可以借 助于坐標系，用坐標表示點，把曲線看成滿足助于坐標系，用坐標表示點，把曲線看成滿足 某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐 標（標（x,y）所滿足的方程）所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，通表示曲線，通 過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質. 這一節(jié)，我們就來學習這一方法這一節(jié)，我們就來學習這一方法. M點 , )x y坐標( 按某中規(guī)律運動 C曲線 ,

27、x y的制約條件 ( , )0f x y 方程 幾何意義 代數意義 “數形結合數形結合 ” 數學思數學思 想的基礎想的基礎 第42頁/共48頁 1解析幾何與坐標法：解析幾何與坐標法： 我們把借助于坐標系研究幾何圖形的方法叫做我們把借助于坐標系研究幾何圖形的方法叫做坐標法坐標法. 在數學中，用坐標法研究幾何圖形的知識形成了一門叫在數學中，用坐標法研究幾何圖形的知識形成了一門叫 解析幾何解析幾何的學科的學科.因此，解析幾何是用代數方法研究幾因此，解析幾何是用代數方法研究幾 何問題的一門數學學科何問題的一門數學學科. 2平面解析幾何研究的主要問題平面解析幾何研究的主要問題： （1）根據已知條件，）根據已知條件，求求出表示平面出表示平面曲線的方程曲線的方程； （2）通過方程，）通過方程，研究研究平面平面曲線的性質曲線的性質. 說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟. 第43頁/共48頁 | MBMAMP 2222 ) 7() 3() 1() 1( yxyx . 由兩點間的距離公式，點由兩點間的距離公式，點M所適合條件可表示為：所適合條件可表示為： 將上式兩邊平方，整理得：將上式兩邊平方，整理得： x+2y7=0 我們證明方程我們證明方程是線段是線段AB的垂直的垂直 平分線的方程平分線的方程. （1）由求方程的過程可知，垂直）由求方程的過程