【新教材教案】5.4.2 正弦函數、余弦函數的性質 教學設計（2）-人教A版高中數學必修第一冊

1、【新教材】5.4.2 正弦函數、余弦函數的性質 教學設計（人教A版）本節(jié)課是正弦函數、余弦函數圖像的繼續(xù)，本課是正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線的特點得出正弦函數、余弦函數的性質. 課程目標1.了解周期函數與最小正周期的意義;2.了解三角函數的周期性和奇偶性;3.會利用周期性定義和誘導公式求簡單三角函數的周期;4.借助圖象直觀理解正、余弦函數在0,2上的性質(單調性、最值、圖象與x軸的交點等);5.能利用性質解決一些簡單問題. 數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：理解周期函數、周期、最小正周期等的含義； 2.邏輯推理： 求正弦、余弦形函數的單調區(qū)間；3.數學運算：利用性質求周期、比較大小、最值、值域及判斷奇

2、偶性.4.數學建模：讓學生借助數形結合的思想，通過圖像探究正、余弦函數的性質.重點：通過正弦曲線、余弦曲線這兩種曲線探究正弦函數、余弦函數的性質； 難點：應用正、余弦函數的性質來求含有cosx,sinx的函數的單調性、最值、值域及對稱性. 教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。一、 情景導入研究一個函數的性質從哪幾個方面考慮？我們知道從定義域、值域、單調性、周期性、奇偶性、稱性等考慮，那么正余弦函數有哪些性質呢？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本201-205頁，思考并完成以下問題1.

3、周期函數、周期、最小正周期等的含義？ 2. 怎樣判斷三角函數的周期性和奇偶性？ 3. 通過正弦曲線和余弦曲線得到正弦函數、余弦函數的哪些性質？ 要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1.定義域正弦函數、余弦函數的定義域都是實數集(或).2.值域(1)值域：正弦函數、余弦函數的值域都是.(2)最值正弦函數當且僅當時,取得最大值當且僅當時,取得最小值余弦函數當且僅當時,取得最大值當且僅當時,取得最小值3.周期性定義：對于函數,如果存在一個非零常數,使得當取定義域內的每一個值時,都有,那么函數就叫做周期函數,非零常數叫做這個函數的周期.由此可知,都是這兩個函

4、數的周期.對于一個周期函數,如果在它所有的周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做的最小正周期.根據上述定義,可知：正弦函數、余弦函數都是周期函數,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()為奇函數,其圖象關于原點對稱()為偶函數,其圖象關于軸對稱5.對稱性正弦函數的對稱中心是,對稱軸是直線;余弦函數的對稱中心是,對稱軸是直線(正(余)弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸(中軸線)的交點).6.單調性正弦函數在每一個閉區(qū)間上都是增函數,其值從增大到;在每一個閉區(qū)間上都是減函數,其值從減小到.余弦函數在每一個閉區(qū)間上都是增函數,其值從增加到;余弦函數在每

5、一個閉區(qū)間上都是減函數,其值從減小到.四、典例分析、舉一反三題型一 正、余弦函數的周期性例1 求下列三角函數的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3)y=2sin(),xR; (4)y=|cos x|,xR.【答案】(1) 2；(2)；(3) 4；(4).【解析】:(1)因為3cos(x+2)=3cos x,所以由周期函數的定義知,y=3cos x的最小正周期為2.(2)因為sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函數的定義知,y=sin2x的最小正周期為.(3)因為,所以由周期函數的定義知,的最小正周期為4.(4)y=|cos

6、x|的圖象如圖(實線部分)所示.由圖象可知,y=|cos x|的最小正周期為. 解題技巧：（求函數最小正周期的常用方法）(1)定義法，即利用周期函數的定義求解(2)公式法，對形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常數，A0，0)的函數，T.(3)圖象法，即通過畫出函數圖象，通過圖象直接觀察即可三種方法各有所長，要根據函數式的結構特征，選擇適當的方法求解跟蹤訓練一1.（1）函數y=2sin (3x+),xR的最小正周期是()(A)(B)(C)(D)(2)函數y=|sin 2x|(xR)的最小正周期為. 【答案】(1)B；(2) 【解析】(2)作出y=|sin 2x|(xR)的圖象(如圖所

7、示).由圖象可知,函數y=|sin 2x|(xR)的最小正周期為.題型二 化簡、求值例2判斷下列函數的奇偶性:(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.【答案】(1) 奇函數;(2) 偶函數;(3) 偶函數;(4) 既是奇函數又是偶函數.【解析】(1)顯然xR,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函數.(2)因為xR,f(x)=sin(+)=-cos,所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),所以函數f(x)=sin(+)是偶函數.(3)顯然xR,f(-x)=si

8、n |-x|=sin |x|=f(x),所以函數f(x)=sin |x|是偶函數. (4)由得cos x=1,所以x=2k(kZ),關于原點對稱,此時f(x)=0,故該函數既是奇函數又是偶函數.解題技巧：(判斷函數奇偶性的方法)判斷函數奇偶性的方法(1)利用定義判斷一個函數f(x)的奇偶性,要考慮兩方面:函數的定義域是否關于原點對稱;f(-x)與f(x)的關系;(2)判斷函數的奇偶性常用方法是:定義法;圖象法. 跟蹤訓練二1.下列函數中,最小正周期為的奇函數是()(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+)(C)y=sin(2x+) (D)y=sin(x+)【答案】B【解析】A中,y

9、=sin(2x+),即y=cos 2x,為偶函數;C,D中,函數為非奇非偶函數;B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函數,T=,故選B.2.定義在R上的函數f(x)既是偶函數，又是周期函數，若f(x)的最小正周期為，且當x時，f(x)sin x，則f 等于 ()A B1 C D【答案】D【解析】因為f(x)的最小正周期為T，所以f f f ，又yf(x)是偶函數，所以f(x)f(x)所以f f f sin.題型三 正、余弦函數的單調性例3 求函數y=sin(x+)的單調區(qū)間.【答案】略.【解析】當-+2kx+2k(kZ)時函數單調遞增,所以函數的單調遞增區(qū)間為-+,+(kZ).當+

10、2kx+2k(kZ)時函數單調遞減,所以函數的單調遞減區(qū)間為+,+(kZ).解題技巧：（求單調區(qū)間的步驟）(1)用“基本函數法”求函數yAsin(x)(A0，0)或yAcos(x)(A0，0)的單調區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數ysin x(或ycos x)的相應單調區(qū)間；第二步：將“x”視為整體替換基本函數的單調區(qū)間(用不等式表示)中的“x”；第三步：解關于x的不等式(2)對于形如yAsin(x)的三角函數的單調區(qū)間問題，當0時，可先用誘導公式轉化為yAsin(x)，則yAsin(x)的單調遞增區(qū)間即為原函數的單調遞減區(qū)間，單調遞減區(qū)間即為原函數的單調遞增區(qū)間余弦函數yAcos(x)的單調

11、性討論同上另外，值得注意的是kZ這一條件不能省略跟蹤訓練三1求函數y2sin的單調增區(qū)間【答案】略.【解析】y2sin2sin，令zx，則y2sin z，求y2sin z的增區(qū)間，即求ysin z的減區(qū)間，所以2kz2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以y2sin的單調增區(qū)間是(kZ)題型四 正弦函數、余弦函數單調性的應用例4 比較下列各組中函數值的大?。?（1）cos與cos；(2)sin 194與cos 160.【答案】（1）coscos；（2）sin 194cos 160.【解析】（1）coscoscos，coscoscos，2，且函數ycos x在，2上單調遞

12、增，coscos，即coscos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，且函數ysin x在0x90時單調遞增，sin 14sin 70.從而sin 14sin 70，即sin 194cos 160.解題方法（比較兩個三角函數值的大?。?(1)比較兩個同名三角函數值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調區(qū)間內的角，再利用函數的單調性比較(2)比較兩個不同名的三角函數值的大小，一般應先化為同名的三角函數，后面步驟同上(3)已知正(余)弦函數的單調性求參數范圍，多用數形結合思想及轉化思想求解跟蹤訓練四1

13、下列結論正確的是 ()Asin 400sin 50Bsin 220cos 200 Dcos(40)cos 310【答案】C.【解析】由cos 130cos(18050)cos 50，cos 200cos(18020)cos 20，因為當0x90時，函數ycos x是減函數，所以cos 50cos 20，即cos 130cos 200.題型五 正、余弦函數的值域與最值問題例5 求下列函數的值域:(1)y=cos(x+),x0,;(2)y=cos2x-4cos x+5. 【答案】（1）-, ；（2）2,10.【解析】(1)由x0,可得x+,函數y=cos x在區(qū)間,上單調遞減,所以函數的值域為-,

14、. (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,則-1t1.y=t2-4t+5=(, 當t=-1時,函數取得t-2)2+1最大值10;t=1時,函數取得最小值2,所以函數的值域為2,10. 解題方法（三角函數的值域問題解題思路） 三角函數的值域問題的兩種類型,一是化為y=Asin(x+)+B的形式,這種類型的值域問題解決方法是利用區(qū)間上的單調性;二是與其他函數相復合,最為常見的是與二次函數復合,利用的是三角函數的有界性和二次函數區(qū)間的最值.其方法是換元法,把問題轉化為二次函數求值域問題.跟蹤訓練五1. 函數y=2cos2x+5sin x-4的值域為. 【答案】-9,1.【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x-)2+.故當sin x=1時,ymax=1;當sin x=-1時,ymin=-9,故y=2cos2x+5sin x-4的值域為-9,1.2.設f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,則g(x)=bsin(ax+)的最大值為.【答案】1.【解析】由題意a0,當a0時,所以此時g(x)=-sin(2x+),其最大值為1.當a0時,所以此時g(x)=