電子科技大學(xué)電氣測(cè)量2013第二章

1、University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 現(xiàn)代測(cè)試技術(shù) 第二章第二章 測(cè)量誤差及其分析測(cè)量誤差及其分析 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 測(cè)量誤差的基本概念；測(cè)量誤差的基本概念； 系統(tǒng)誤差的消除；系統(tǒng)誤差的消除； 隨機(jī)誤差的處理；隨機(jī)誤差的處理； 粗大誤差的剔除；粗大誤差的剔除； 測(cè)量結(jié)果的估計(jì)；測(cè)量結(jié)果的估計(jì)； 測(cè)量結(jié)果的表示；測(cè)量結(jié)果的表示； 微小誤差準(zhǔn)則與對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)的選取微小誤差準(zhǔn)則與對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)的選取 本章主要

2、內(nèi)容 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.12.1測(cè)量誤差基本概念測(cè)量誤差基本概念 2.1.1 2.1.1 測(cè)量誤差的幾個(gè)名詞術(shù)測(cè)量誤差的幾個(gè)名詞術(shù)語 1、真值：真值：被測(cè)量本身客觀存在的實(shí)際值。真值是客觀 存在，但是不可測(cè)量的。在實(shí)際計(jì)量和測(cè)量中，經(jīng) 常使用“約定真值”、“理論真值”和“相對(duì)真 值”。 約定真值：按照國際公認(rèn)的單位定義，利用科學(xué)技術(shù)發(fā)展的最高水平所 復(fù)現(xiàn)的單位基準(zhǔn)。以法律形式規(guī)定的?？梢院雎缘摹?理論真值：理論上推導(dǎo)分析出來的。 相對(duì)真值（實(shí)際值）：是在滿足規(guī)定準(zhǔn)確度時(shí)用來代替真

3、值使用的值。 （儀表校準(zhǔn)） University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2、標(biāo)稱值：計(jì)量或測(cè)量器具上標(biāo)注的量值。 3、示值：由測(cè)量?jī)x器給出的量值，也稱測(cè)量值。 4、準(zhǔn)確度：表示測(cè)量結(jié)果與真值的一致程度，是一個(gè) 定性概念。與其相近的另一個(gè)概念是不確定度。 5、重復(fù)性：在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次連 續(xù)測(cè)量所得結(jié)果之間的一致性。 6、誤差公理：一切測(cè)量都具有誤差，誤差自始自終存 在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)之中。 University of Electronic Science and Technology of Ch

4、ina (UESTC) 2.1.2 2.1.2 測(cè)量誤差的表示測(cè)量誤差的表示 1 1 絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差： A=Ax-A0 絕對(duì)誤差的負(fù)值稱之為修正值修正值，也叫補(bǔ)值補(bǔ)值，一般用c表示，即c=-A=A0-Ax 儀器的修正值一般是計(jì)量部門檢定給出。示值加上修正值可獲得真值，即實(shí)際值。 2 2 相對(duì)誤差：相對(duì)誤差： 因真值A(chǔ)0是無法知道，往往用測(cè)量值代替，即 在實(shí)際測(cè)量中，相對(duì)誤差常常用來評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，相對(duì)誤差越小準(zhǔn)確度愈高。 0 0 100% A A 100% x A A 絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差 引用誤差 容許誤差 University of Electronic Science and T

5、echnology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 3 3 引用誤差：引用誤差：絕對(duì)誤差與測(cè)量?jī)x表量程之比，用百分 數(shù)表示，即 最大引用誤差：最大引用誤差： 確定測(cè)量?jī)x表的準(zhǔn)確度等級(jí)應(yīng)用最大引用誤差。 電測(cè)量?jī)x表的準(zhǔn)確度等級(jí)指數(shù)準(zhǔn)確度等級(jí)指數(shù)a a分為：0.1、 0.2、 0.5、1.0 1.5、 2.5、 5.0等7級(jí)。 最大引用誤差不能超過儀表準(zhǔn)確度等級(jí)指數(shù)a的百分?jǐn)?shù)，即 電測(cè)量?jī)x表在使用時(shí)所產(chǎn)生的最大可能誤差可由下式求出 ： 100% n m A A | 1

6、00% m nm m A A % nm a % mm AA a(/) % xmx AAa University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例 某1.0級(jí)電壓表，量程為300V,當(dāng)測(cè)量值分別為 U1=300V,U2=200V， U3=100V時(shí)，試求出測(cè)量值的(最大)絕對(duì)誤 差和示值相對(duì)誤差。 解解： UU1 1=U=U2 2=U=U3 3= =3003001.0%=1.0%=3V3V U U1 1=(U=(U1 1U U1 1) )100%=(100%=(3/300)3/300)100%=100%=1.0%1.0

7、% U U2 2=(U=(U2 2U U2 2) )100%=(100%=(3/200)3/200)100%=100%=1.5%1.5% U U3 3=(U=(U3 3U U3 3) )100%=(100%=(3/100)3/100)100%=100%=3.0%3.0% 測(cè)量?jī)x表產(chǎn)生的示值測(cè)量誤差測(cè)量?jī)x表產(chǎn)生的示值測(cè)量誤差x x不僅與所選儀表等級(jí)指不僅與所選儀表等級(jí)指 數(shù)數(shù)a a有關(guān)，而與所選儀表的量程有關(guān)。一般不小于滿度值的有關(guān)，而與所選儀表的量程有關(guān)。一般不小于滿度值的 2/32/3。 University of Electronic Science and Technology of C

8、hina (UESTC) 課堂練習(xí)題 用最大量限為用最大量限為30A30A，準(zhǔn)確度等級(jí)為，準(zhǔn)確度等級(jí)為1.5 1.5 級(jí)的安培表，級(jí)的安培表， 在規(guī)定工作條件下測(cè)得某電流為在規(guī)定工作條件下測(cè)得某電流為10A10A，求測(cè)量時(shí)可，求測(cè)量時(shí)可 能出現(xiàn)的最大相對(duì)誤差？能出現(xiàn)的最大相對(duì)誤差？ 檢定一個(gè)檢定一個(gè)1.5 1.5 級(jí)級(jí)100mA 100mA 的電流表，發(fā)現(xiàn)在的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA50mA處的處的 誤差最大，為誤差最大，為1.4mA,1.4mA,其他刻度處的誤差均小于其他刻度處的誤差均小于 1.4mA,1.4mA,問這個(gè)電流表是否合格？問這個(gè)電流表是否合格？ University of Ele

9、ctronic Science and Technology of China (UESTC) 作業(yè)（1） 1.欲測(cè)一250V 的電壓，要求測(cè)量的相對(duì)誤差不 超過 那么應(yīng)選其準(zhǔn)確度等級(jí)為哪一級(jí)？ 如果選用量程為300V和500V的電壓表，則其 準(zhǔn)確度等級(jí)又應(yīng)選用哪一級(jí)？ 2.檢定量程為100A的2.0級(jí)電流表，在50 A刻 度上，標(biāo)準(zhǔn)表讀數(shù)為49 A，問此電流表是否 合格？ %5 . 0 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 指測(cè)量?jī)x器在使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍，可用 工作誤差、固有誤差、影響誤

10、差、穩(wěn)定性誤差工作誤差、固有誤差、影響誤差、穩(wěn)定性誤差來描述。 容許誤差通常用絕對(duì)誤差表示： = =(A(Ax x%+A%+Am m%)%) 模擬儀表使用，例：電位差計(jì) 可忽略 = =(A(Ax x%+n%+n個(gè)字個(gè)字) ) 數(shù)字式儀表 一般常用 式中式中 A Ax x 測(cè)量值或示值；測(cè)量值或示值； A Am m 量限或量程值；量限或量程值； 誤差的相對(duì)項(xiàng)系數(shù)；誤差的相對(duì)項(xiàng)系數(shù)； 固定項(xiàng)系數(shù)。固定項(xiàng)系數(shù)。 當(dāng)當(dāng)5 5 項(xiàng)可忽略項(xiàng)可忽略 “n個(gè)字”所表示的誤差值是數(shù)字儀表在給定量限下的分辨力的 n倍，即末位一個(gè)字所代表的被測(cè)量量值的n倍。 例如，某例如，某3 3位數(shù)字電壓表，當(dāng)位數(shù)字電壓表，當(dāng)n

11、 n為為5 5，在，在1V1V量限時(shí)，量限時(shí)，“n n個(gè)字個(gè)字” 表示的電壓誤差是表示的電壓誤差是5mV5mV，而在，而在10V10V量限時(shí)量限時(shí),n,n個(gè)字個(gè)字”表示的電壓誤表示的電壓誤 差是差是50mV50mV。 4 容許誤差： University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例：某四位半數(shù)字電壓表，量程為2V，工作誤差為= 0.025%UX 1個(gè)字， 用該表測(cè)量時(shí)，讀數(shù)分別為0.0012V和1.9888V，試求兩種情況下的絕對(duì)誤 差和相對(duì)誤差。 解：四位半表 分辨率為0.0001V .9999 4 1 4

12、1 1 1 4 2 4 2 2 2 (0.025%0.00120.00011)1.003010 1.003010 100%100%8.36% 0.0012 (0.025%1.98880.00011)5.972010 5.972010 100%100%0.030% 1.9888 x x V A V A University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.1.3 測(cè)量誤差的分類 1 1 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 ：大小、方向恒定不變或按一定規(guī)律變化，可預(yù)知、 可修正。 2 2 隨機(jī)誤差：隨機(jī)誤差：誤差是隨機(jī)的、可變的，不可預(yù)

13、知、不可修正， 但可用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法處理。 3 3 粗大誤差：粗大誤差：明顯偏離真值（異常值、壞值），應(yīng)剔除。 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 粗大誤差粗大誤差 基本誤差:測(cè)量設(shè)備不準(zhǔn)確或準(zhǔn)確度等級(jí)不高。 附加誤差:超過正常工作范圍帶來的誤差。 理論誤差（方法誤差）:測(cè)量方法、理論不完善所帶來的誤差 人員誤差：試驗(yàn)人員疏忽大意、測(cè)量素質(zhì)不高產(chǎn)生的人員誤差。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 1.系統(tǒng)誤差 n定義：在同一測(cè)量條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，測(cè)量 誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變，或在測(cè)量條件

14、改變時(shí)按 一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤 差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。 n 產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素 （溫度、濕度、電源等）影響，測(cè)量原理中使用近似計(jì)算公式，測(cè)量 人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。 n 系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)測(cè)量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小， 測(cè)量就越準(zhǔn)確。 n 系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多 次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。即 0 xA University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.隨機(jī)誤差 隨

15、機(jī)誤差主要由對(duì)測(cè)量值影響微小但卻互不相關(guān)的 大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁 場(chǎng)微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動(dòng)、 大地微震、測(cè)量人員感官的無規(guī)律變化等。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例：對(duì)一不變的電壓在相同情況下，多次測(cè)量得 到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V， 1.235V，1.237V。 n 單次測(cè)量的隨差沒有規(guī)律; n 但多次測(cè)量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律; n 可通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來處理,即求算術(shù)平均 值。 u隨機(jī)誤差定義：測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)

16、性條件下，對(duì)同隨機(jī)誤差定義：測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同 一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差 ii xx()n University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 3.3.粗大誤差：粗大誤差： n 定義：粗大誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。 n 產(chǎn)生粗差的原因有： 測(cè)量操作疏忽和失誤 如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn) 條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。 測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤 如用普通萬用表電壓檔直接測(cè) 高內(nèi)阻電源的開路電壓 測(cè)量環(huán)境條件的突然變化 如電源電壓突然增高或

17、降 低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測(cè)量?jī)x器示值的劇烈 變化等。 n 含有粗差的測(cè)量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng) 剔除掉。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.1.4 2.1.4 有效數(shù)字有效數(shù)字 1 1 數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則數(shù)據(jù)的舍入規(guī)則 小于5舍去； 大于5進(jìn)1； 等于5則應(yīng)用偶數(shù)法則，末位是偶數(shù)，則末位不變； 末位是奇數(shù)，則末位增加1。 例如，將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。 25.325 025.32 （0.005 0=0.005，末位為偶數(shù)舍去） 17.695 517.70 （0.005 5=

18、0.005，末位為奇數(shù)進(jìn)1） 123.105123.10 （0.005 0=0.005，末位為0，按偶數(shù)處理，舍去） 2 2 有效數(shù)字有效數(shù)字 若截取得到的近似數(shù)，其截取或舍入誤差的絕對(duì)值不超過近似數(shù)末 位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)字為 止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。 3 3 測(cè)量結(jié)果有效數(shù)字位數(shù)的確定測(cè)量結(jié)果有效數(shù)字位數(shù)的確定 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 數(shù)據(jù)記錄、運(yùn)算的準(zhǔn)確性要和數(shù)據(jù)記錄、運(yùn)算的準(zhǔn)確性要和 測(cè)量的準(zhǔn)確性相適應(yīng)！測(cè)量的準(zhǔn)確性相適應(yīng)！ cm674.

19、1 xcm04. 0 x cm04. 067. 1 x 測(cè)量值的末位數(shù)與誤差的末位數(shù)對(duì)齊測(cè)量值的末位數(shù)與誤差的末位數(shù)對(duì)齊 有效數(shù)字有效數(shù)字: :所有準(zhǔn)確數(shù)字和一位欠準(zhǔn)確數(shù)字所有準(zhǔn)確數(shù)字和一位欠準(zhǔn)確數(shù)字 cm?04. 0674. 1 x University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 數(shù)學(xué)：2500. 025. 0 物理測(cè)量：cm00.25m25.0 有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量精度越高有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量精度越高 University of Electronic Science and Technology of C

20、hina (UESTC) 數(shù)字取舍規(guī)則數(shù)字取舍規(guī)則 ,m/s755. 9 2 g如如 2 9.74500m/s ,g 如 2 9.74501m/s ,g 如 2 9.74m/s ,g 2 9.75m/s ,g 2 9.76 m/s ,g 運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果( (測(cè)量值測(cè)量值) )的末位數(shù)應(yīng)與誤差的末位數(shù)對(duì)齊的末位數(shù)應(yīng)與誤差的末位數(shù)對(duì)齊。 p 小于5舍去； p 大于5進(jìn)1； p 等于5則應(yīng)用偶數(shù)法則，末位是偶數(shù)，則末位不變； 末位是奇數(shù)，則末位增加1。 25.325 025.3217.695 517.70 University of Electronic Science and Technolog

21、y of China (UESTC) 作業(yè)（2） 3.將下列各數(shù)據(jù)根據(jù)舍入原則保留四位有效數(shù)字 3.14159 2.71729 4.51050 3.21550 6.378501 7.691499 5.43460 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.2 2.2 系統(tǒng)誤差的消除系統(tǒng)誤差的消除 2.2.1 2.2.1 從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源上消除從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源上消除 q基本誤差：選擇準(zhǔn)確度等級(jí)高的儀器設(shè)備； q附加誤差：使儀器設(shè)備工作在其規(guī)定的工作條件下， 使用前正確調(diào)零、預(yù)熱以消除儀器設(shè)備的； q

22、方法誤差和理論誤差：選擇合理的測(cè)量方法，設(shè)計(jì) 正確的測(cè)量步驟； q人員誤差：提高測(cè)量人員的測(cè)量素質(zhì)，改善測(cè)量條件 (選用智能化、數(shù)字化儀器儀表等)。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.2 2.2 系統(tǒng)誤差的消除系統(tǒng)誤差的消除 2.2.2 2.2.2 利用修正的方法來消除利用修正的方法來消除 C稱為修正值，由計(jì)量部門檢定時(shí)給出 2.2.3 2.2.3 利用特殊的測(cè)量方法消除利用特殊的測(cè)量方法消除 u 替代法； u 差值法； u 正負(fù)誤差補(bǔ)償法； u 對(duì)稱觀測(cè)法 ； u 迭代自校法 0 0 Ax x

23、 CAA AAC University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 替代法替代法 在測(cè)量條件不變的情況下，用一已知的標(biāo)準(zhǔn)量去替 代未知的被測(cè)量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而保持替代前后 儀器的示值不變，標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測(cè)量值。 替替 代代 法法 的的 測(cè)測(cè) 量量 原原 理理 xs 0 0 - - v v+ + v v 2 2 K KK K1 1 （ b b ) ) 零零 示示 法法 ( ( a a ) ) 偏偏 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 法法 xs 0 0 - - v v+ + v v 2 2 K KK K1 1 r r University o

24、f Electronic Science and Technology of China (UESTC) 交換法交換法 p 通過交換被測(cè)量和標(biāo)準(zhǔn)量的位置，從前后兩次換位測(cè)量結(jié) 果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差。 p 特別適用于平衡對(duì)稱結(jié)構(gòu)的測(cè)量裝置中，并通過交換法可 檢查其對(duì)稱性是否良好。 第一次平衡第一次平衡 第二次平衡第二次平衡 上兩式相乘、開方得：上兩式相乘、開方得： 1212 1 () 2 x WWWWW 11 2x W lW l 22 1x W lW l ( (a a) ) 天天平平稱稱重重 x W W 1 l1l2 x W W 2 l1l2 University of Electro

25、nic Science and Technology of China (UESTC) 例：在電橋中采用交換法測(cè)電阻 1212 1 () 2 xssss RRRRR University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 正負(fù)誤差補(bǔ)償法 補(bǔ)償法測(cè)電阻消除熱電勢(shì)的影響 x E N E N R N U 1x U 1N U x R x U I xxx EUU 1 NNN EUU 1 第一次第一次 第二次第二次 xxx EUU 2 NxN EUU 2 2/ )( 21xxx UUU2/ )( 21NNN UUU N N x x

26、R U U R University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 對(duì)稱觀測(cè)法 工作電流下降曲線 I 1 I 2 I 3 I 1 t 2 t 3 tt xx RIU 11 第一步，第一步，t1t1時(shí)刻時(shí)刻 第二步，第二步，t2t2時(shí)刻時(shí)刻 NN RIU 22 第三步，第三步，t3t3時(shí)刻時(shí)刻 xx RIU 33 xxxx RIUUU 2312 2/ )( N N x x R U U R 2 2 III 21 III 23 University of Electronic Science and Technology

27、of China (UESTC) 迭代自校正法 迭代自校正法測(cè)量框圖 測(cè)量環(huán)節(jié)測(cè)量環(huán)節(jié)處理環(huán)節(jié)處理環(huán)節(jié) 逆向環(huán)節(jié)逆向環(huán)節(jié) 輸出輸出 輸入輸入 X Y x 0 x y xAy)( xy)1 ( University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 輸入xxy)1 ( 0 存儲(chǔ)y0 y0 x0 輸入x0 xy)1 ( 0 0 0 )1 (xy 求差值 00 yyy 迭代求解 xy)1 ( 2 1 測(cè)量環(huán)節(jié)測(cè)量環(huán)節(jié)處理環(huán)節(jié)處理環(huán)節(jié) 逆向環(huán)節(jié)逆向環(huán)節(jié) 輸出輸出 輸輸 入入 X Y x 0 x y iiii i xy) 1()

28、1(1 1 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.3 2.3 隨機(jī)誤差的處理隨機(jī)誤差的處理 2.3.1 2.3.1 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性和概率分布隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性和概率分布 1 測(cè)量誤差的數(shù)學(xué)表達(dá) 根據(jù)誤差理論，任何一次測(cè)量中，一般都含有系統(tǒng)誤差 和隨機(jī)誤差，即 A=+=Ax-A0 在一般工程測(cè)量中，在一般工程測(cè)量中，系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差，即 ，相對(duì)來講隨機(jī)誤差可以忽略不計(jì)，此時(shí)只需處 理和估計(jì)系統(tǒng)誤差即可。 在精密測(cè)量中，在精密測(cè)量中，系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除或小得可以忽略不計(jì) 時(shí)，即0。 Univer

29、sity of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性 )( xf x 1 lim 0 n i n i x University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （1）正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，其概率密度函數(shù) 式中 和2隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差和方差 22 / 2() 1 () ()2 e 3 隨機(jī)誤差的概率分布 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 特點(diǎn)特

30、點(diǎn)：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)域外隨機(jī)誤差出現(xiàn) 的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)()為 式中 a隨機(jī)誤差的極限值。 )|(|0 )( 2 1 )( a aa a 儀器度盤刻度差引起的誤差；儀器度盤刻度差引起的誤差； 儀器最小分辨率限制引起的誤儀器最小分辨率限制引起的誤 差差 數(shù)字儀表的量化數(shù)字儀表的量化( (1)1)誤差誤差 數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差 對(duì)于一些只知道誤差出現(xiàn)的大對(duì)于一些只知道誤差出現(xiàn)的大 致范圍，而不知其分布規(guī)律的致范圍，而不知其分布規(guī)律的 誤差，在處理時(shí)經(jīng)常按均勻分誤差，在處理時(shí)經(jīng)常按均勻分 布的誤差對(duì)待。布的誤差對(duì)待。 （2）均勻分

31、布均勻分布 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 主要用來處理小樣本(即測(cè)量數(shù)據(jù)比較少)的測(cè)量數(shù)據(jù)。正態(tài) 分布理論只適合于大樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)。 t分布的概率密度函數(shù)(t)為 ： 2 2 2 () 2 ( ,)(1) () 2 n k t t k k k k 和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形類似； 特點(diǎn)是分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 無關(guān)，但與自由度(n-1)有關(guān)； 當(dāng)n較大(n30)時(shí)，t分布和正 態(tài)分布的差異就很小了，當(dāng) n時(shí)，兩者就完全相同了。 （3 3）t t分布分布 University of Electronic

32、Science and Technology of China (UESTC) 隨機(jī)變量通常有兩個(gè)重要特征參數(shù)，即數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差( (標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差) )。 數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)了隨機(jī)變量分布中心的位置； 方差反映了隨機(jī)變量對(duì)分布中心的離散程度。 1 1 測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望 式中 n測(cè)量次數(shù)； Ai第i次的測(cè)量讀數(shù). 2 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)偏差（簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差）： n i i nA n AM 1 )( 1 )( 222 11 11 ()()() nn ii ii AAMAn nn )( 1 )( 1 2 n n A n i i 4 隨機(jī)變量

33、中幅值的特征參量 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 1 1 算術(shù)平均值原理算術(shù)平均值原理 測(cè)量列的算術(shù)平均值測(cè)量列的算術(shù)平均值是最佳可信賴值，是被測(cè)量A數(shù)學(xué)期望(真 值)M(A)的最佳估計(jì)，這一原理被稱之為算術(shù)平均值原理。 算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)表達(dá)為 ： 算術(shù)平均值具有以下特點(diǎn)： 一致性一致性: :隨著測(cè)量次數(shù)隨著測(cè)量次數(shù)n n的增加，趨于被測(cè)參數(shù)的的增加，趨于被測(cè)參數(shù)的 無偏性：估計(jì)值無偏性：估計(jì)值A(chǔ) A圍繞圍繞M(A)M(A)擺動(dòng)，且擺動(dòng)，且 有效性有效性:A:A擺動(dòng)幅度比單個(gè)測(cè)量值??；擺動(dòng)幅度比單

34、個(gè)測(cè)量值??； 充分性：充分性：A A包含了樣本包含了樣本( (測(cè)量列測(cè)量列) )的全部信息的全部信息 n i i A n A 1 1 )()(AMAM )(AM 2.3.2 2.3.2 隨機(jī)誤差的估計(jì)隨機(jī)誤差的估計(jì) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2 2 標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)：標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)： 式中 i剩余誤差，其定義是 (i=1,2,n) 方差估計(jì)值的實(shí)用算法和遞推公式分別為： n i i v n 1 2 2 1 1 n i i v n 1 2 1 1 AAv ii )( 1 1 1 2 11 2 n

35、 i i n i i A n A n 2 1 2 1 2 )( 1 1 2 n n nnAA nn n University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 3 3 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)一般取1020次。若要進(jìn)一步提高測(cè)量 準(zhǔn)確度，需從選擇更高準(zhǔn)確度的測(cè)量?jī)x器、更合理的測(cè)量方法、更 好的控制測(cè)量條件等方面入手。 ( )( )/AAn nA/)( 22 算術(shù)平均值的方差估計(jì)值 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值 University of Electronic Science and Tech

36、nology of China (UESTC) 【例】【例】 用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得1111個(gè)測(cè)量值個(gè)測(cè)量值 的序列（見下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。的序列（見下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 解：解：平均值平均值 用公式用公式 計(jì)算各測(cè)量值殘差列于上表中計(jì)算各測(cè)量值殘差列于上表中 實(shí)驗(yàn)偏差實(shí)驗(yàn)偏差 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 )( 1 .530)531530532530529533531527529531528( 11 11 1 Cx n x o n i i xxi i )(767.1 1 1 )( 1 2 C n xs o n i i )(

37、53.0 11 767.1)( )(C n xs xs o University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 4 4 測(cè)量結(jié)果的置信度測(cè)量結(jié)果的置信度 （1 1）置信度的概念）置信度的概念表征測(cè)量數(shù)據(jù)或結(jié)果可信賴程度的一個(gè)參數(shù) 置信區(qū)間 M(A)-K(A),M(A)+K(A) K置信因子 置信概率 Ai在置信區(qū)間中的概率P。 置信概率 可信度 （2 2）置信度的幾何意義：）置信度的幾何意義： 在同一分布下，置信區(qū)間愈寬，置信概率(概率曲線、置信 區(qū)間和橫軸圍成的圖形面積)也就愈大，反之亦然。 在不同的分布下當(dāng)置信區(qū)

38、間給定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差愈小，置信因子 和相應(yīng)的置信概率也就愈大，反映出測(cè)量數(shù)據(jù)的可信度就愈高。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 置信概率是圖中置信概率是圖中 陰影部分面積陰影部分面積 內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率 k ()xM Ak University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （3）正態(tài)分布的置信概率 當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定 正態(tài)分布,當(dāng)k=3時(shí) 置信因子k置信概率Pc 10.

39、68269 20.95450 30.99730 k k dpkPkxExP)()( 997.0) 2 exp( 2 1 )()3( 2 2 3 3 3 3 ddpP 區(qū)間越寬，區(qū)間越寬， 置信概率越大置信概率越大 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （4） t分布的置信限 ut分布與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)n足夠大時(shí)，t分 布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限 分布。 u給定置信

40、概率和測(cè)量次數(shù)n，查表得置信因 子kt。 自由度：v=n-1 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （5）非正態(tài)分布的置信因子 由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為 誤差極限 ，即誤差的置信區(qū)間為 置信 概率為100。 （P=1) 反正弦 均勻三角分布 23 6 k k a 3 a 3 a kka 3 k - -a aa a P P( (x x) ) x x 0 0

41、University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例 對(duì)某電容進(jìn)行了8次等精度、無系差、獨(dú)立測(cè)量，測(cè)量值如下(單位為 F): Ci 75.01, 75.04, 75.07, 75.03, 75.09, 75.06, 75.02, 75.08 試求被測(cè)電容的估計(jì)值和當(dāng)P=0.99時(shí)被測(cè)電容真值的置信區(qū)間。 解：根據(jù)平均值原理，被測(cè)電容的估計(jì)值是測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值，即 測(cè)量列的方差估計(jì)值為

42、 測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為 n i n i CC n CC n C 1 1 )( 11 F05.75 05. 000.75 )08. 002. 006. 009. 003. 007. 004. 001. 0( 8 1 00.75 2222 8 1 2 2 )02. 0()02. 0()01. 0()04. 0( 7 1 1 1 )( i v n C 2 2222 851000.0 )03.0()03.0()01.0()04.0( F FCc029. 0)()( 2 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 測(cè)

43、量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為 當(dāng)P=0.99,k=7,由表2-2查得Kt=3.50,于是可得被測(cè)電容置信區(qū)間為 故被測(cè)電容真值C0以0.99的置信概率可能處在75.0175.09F范圍內(nèi)。 09.75,01.75 01.050.305.75,01.050.305.75 )(),( FF CKCCKC tt F n C 01.0)( University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （6）計(jì)算：要會(huì)通過查表由K求P，或由P求K 在正態(tài)分布下，n20次。 K=1 P=68.27% K=2 P=95.45% K=3 P=9

44、9.73% 表示： K3時(shí) 區(qū)間內(nèi)置信率為99.73%。( )3 ( )M AA University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.4 2.4 粗大誤差的剔除粗大誤差的剔除 p大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分 析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的測(cè) 量值剔除。 p 1. 粗大誤差產(chǎn)生原因 測(cè)量人員的主觀原因： 操作失誤或錯(cuò)誤記錄； 客觀外界條件的原因： 測(cè)量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測(cè) 量?jī)x器偶然失效等。 University of Electronic Science and Technolog

45、y of China (UESTC) 2. 2. 粗大誤差的判別準(zhǔn)則粗大誤差的判別準(zhǔn)則 統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的 置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予 以剔除。以剔除。 拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則 格羅布斯準(zhǔn)則格羅布斯準(zhǔn)則 3 i m ax0 (,)gn a University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) （1 1） 拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則 拉依達(dá)準(zhǔn)則：設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)中，測(cè)量值A(chǔ)

46、k的隨機(jī)誤差為K，當(dāng) K3(A) 時(shí)，則測(cè)量值A(chǔ)K是含有粗大誤差的異常值，應(yīng)予以剔除。 在實(shí)際應(yīng)用中，則使用剩余誤差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，即 （2 2）格羅布斯）格羅布斯(Grubbs)(Grubbs)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 格羅布斯準(zhǔn)則是由數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)出的比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論， 具有明確的概率意義。當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)中，測(cè)量值A(chǔ)K的剩余誤差 K滿足 則測(cè)量值A(chǔ)k是含有粗大誤差的異常值，應(yīng)予以剔除。 )(3|Av K )(),(| 0 AangvK University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 3 應(yīng)注意的問題 所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬

47、定的，至今 無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測(cè)量次數(shù) 少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。 若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信 區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。 若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。 在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反 之，說明系統(tǒng)工作不正常。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 粗大誤差剔除的小結(jié)：粗大誤差剔除的小結(jié)： 無系統(tǒng)誤差（準(zhǔn)確度較高的表）等精度多次測(cè)量得Ai , i=1,2,3n （1）求平均值： （2）求標(biāo)準(zhǔn)差： （3）剔除粗大誤差A(yù)K，若有重復(fù)（1）、（2）； （4）計(jì)算其

48、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： （5）給出置信概率下結(jié)果： 單位 n i i A n A 1 1 2 1 i v n ()/AAn ()AkA University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 例：用準(zhǔn)確度較高的測(cè)量?jī)x器對(duì)某電阻進(jìn)行16次等精度測(cè)量，測(cè)量結(jié)果： 34.86, 35.21, 34.97, 35.14, 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 35.71, 35.94, 35.63, 35.65, 35.70, 35.24, 35.36，求被測(cè)量電阻的測(cè)量結(jié)果。 解：a. 無系統(tǒng)誤差

49、； b. c. d.第13次，36.65-35.30=1.35 該值應(yīng)剔除。 e.重新計(jì)算15次測(cè)量的 f. i 35.30 , v i RAA 2 0 .4 4 3 1 i v n 35.21 ( ) 0.34RR 0.34 ( )/0.09 15 R=3 ( )35.210.27 Rn RR 測(cè)量結(jié)果： )(3R University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 【例】 對(duì)某電壓進(jìn)行了16次等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)中已記入修 正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。 1205.300.090.0992

50、05.710.410.410.50.5 2204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.51 3205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.44 -0.35-0.35 4205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.14 5206.651.351.3513205.21-0.09-0.09 0 6204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.02-0.02 7205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-

51、0.09 0 8205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11 殘殘 差差殘殘 差差測(cè)量值測(cè)量值序號(hào)序號(hào)殘殘 差差 殘殘 差差序號(hào)序號(hào)測(cè)量值測(cè)量值 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.5 2.

52、5 測(cè)量結(jié)果誤差的估計(jì)測(cè)量結(jié)果誤差的估計(jì) 2.5.1 2.5.1 直接測(cè)量結(jié)果的誤差估計(jì)直接測(cè)量結(jié)果的誤差估計(jì) 1.已知儀表的量程和準(zhǔn)確度等級(jí)，測(cè)量結(jié)果表示： A=aAm% 式中 A，A測(cè)量結(jié)果Ax的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，Ax為測(cè)量結(jié)果； a, Am分別為儀器儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)和量程。 %a A A x m A University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.已知儀器儀表的基本誤差或允許誤差的測(cè)量結(jié)果(數(shù)字表)： A= =(Ax%+n個(gè)字) A=(/Ax)100% 式中 儀器儀表的基本誤差或允許誤差 3.若進(jìn)行了

53、多次測(cè)量，則還應(yīng)考慮隨機(jī)誤差的影響。若多次測(cè) 量的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值為，則測(cè)量誤差為 A=(aAm%+K) A=(+K) 式中 K置信因子。 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2.5.2 2.5.2 間接測(cè)量結(jié)果的誤差估計(jì)間接測(cè)量結(jié)果的誤差估計(jì)（誤差合成誤差合成） 問題：?jiǎn)栴}： 用間接法測(cè)量電阻消耗的功率時(shí)，需測(cè)量電阻R、端電壓 V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的 誤差來推算功率的誤差呢？ 1 1 誤差合成的一般公式誤差合成的一般公式 設(shè)測(cè)量結(jié)果y是n個(gè)獨(dú)立變量A1,A2，An的函

54、數(shù)，即y=f(A1,A2,An) 絕對(duì)誤差： 相對(duì)誤差： * * 重點(diǎn)是要確定傳遞函數(shù)重點(diǎn)是要確定傳遞函數(shù)C和C。 i Fy i Fy 函數(shù)總誤差等于各誤差分量的代數(shù)和 University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) University of Electronic Science and Technology of China (UESTC) 2 2 誤差傳遞系數(shù)的確定誤差傳遞系數(shù)的確定 確定誤差傳遞系數(shù)是誤差合成的關(guān)鍵。傳遞系數(shù)確定的常用方法有微分微分 確定法確定法、計(jì)算機(jī)仿真確定法計(jì)算機(jī)仿真確定法和實(shí)驗(yàn)確定法。實(shí)驗(yàn)確定法。 (1)(1)微分確定法微分確定法 條件：適合于確切知道函數(shù)的關(guān)系式，已知y=f(A1,A2,An) 。 結(jié)論：結(jié)論： （2）計(jì)算機(jī)仿真確定法計(jì)算機(jī)仿真確定法 （3 3）實(shí)驗(yàn)確定法。）實(shí)驗(yàn)確定法。 i A f C i i i A f AC i ln 變量Ai對(duì)函數(shù)y的絕對(duì)誤差傳遞系數(shù)等于y y 對(duì)對(duì)A Ai