線性空間和線性映射

1、第一節(jié)第一節(jié) 線性空間線性空間 一：一： 線性空間的定義與例子線性空間的定義與例子 定義定義 設(shè)設(shè) 是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)非空的集合， 是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)數(shù)域， 在集和在集和 中定義兩種代數(shù)運(yùn)算中定義兩種代數(shù)運(yùn)算, 一種是加法運(yùn)算一種是加法運(yùn)算, 用用 來表示來表示; 另一種是數(shù)乘運(yùn)算另一種是數(shù)乘運(yùn)算, 并且并且 這兩種運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律：這兩種運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律： VF V 第一章第一章 線性空間和線性映射線性空間和線性映射 （1） 加法交換律加法交換律 （2） 加法結(jié)合律加法結(jié)合律 ()() （3） 零元素零元素 在在 中存在一個(gè)元素中存在一個(gè)元素 ，使得對(duì)，使得對(duì) 于任意的于任

2、意的 都有都有 0 0V V （4） 負(fù)元素負(fù)元素 對(duì)于對(duì)于 中的任意元素中的任意元素 都存都存 在一個(gè)元素在一個(gè)元素 使得使得 V 0 1 （5） ()()k lkl（6） （7） ()klkl （8） ()kkk 且這兩種運(yùn)算滿足封閉性，則且這兩種運(yùn)算滿足封閉性，則 稱這樣的稱這樣的 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的線性空間。上的線性空間。VF 例例 1 全體實(shí)函數(shù)集合全體實(shí)函數(shù)集合 構(gòu)成實(shí)數(shù)域構(gòu)成實(shí)數(shù)域 上的上的 線性空間。線性空間。 R RR 例例 2 復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域 上的全體上的全體 型矩陣構(gòu)成型矩陣構(gòu)成 的集合的集合 為為 上的線性空間。上的線性空間。 Cmn C nm C 例例 3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域

3、 上全體次數(shù)小于上全體次數(shù)小于 的多項(xiàng)式集的多項(xiàng)式集 合合 構(gòu)成實(shí)數(shù)域構(gòu)成實(shí)數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 Rn nR xR 例例 4 全體正的實(shí)數(shù)全體正的實(shí)數(shù) 在下面的加法與數(shù)乘的在下面的加法與數(shù)乘的 定義下也構(gòu)成線性空間：定義下也構(gòu)成線性空間： R :, :, k ababa bR kaaa kR 例例 5 實(shí)數(shù)矩陣實(shí)數(shù)矩陣 的核（或零）空間：方程組的核（或零）空間：方程組 的解空間，記為的解空間，記為 nm A )(AN 0AX ()0,(),() mmnnm nm n VxRCAxxR CARC 例例 6 矩陣矩陣 的列空間（或值域）的列空間（或值域） ： 記為記為 )(),(,)(

4、nmnmnnmm CRACRxAxyCRyV nm A )(AR 二：二： 線性空間的基本概念及其性質(zhì)線性空間的基本概念及其性質(zhì) 向量：線性空間的元素稱為向量向量：線性空間的元素稱為向量 定義定義: 線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性 無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩 基本性質(zhì)：基本性質(zhì)： （1）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)； （2）整體無關(guān)）整體無關(guān) 部分無關(guān)；部分相關(guān)部分無關(guān)；部分相關(guān) 整體相整體相 關(guān)；關(guān)； （3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少）如果含有向量多的向

5、量組可以由含有向量少 的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定 線性相關(guān)；線性相關(guān)； （4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關(guān)）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關(guān) 并不唯一；并不唯一； （5）如果向量組（）如果向量組（I）可以由向量組（）可以由向量組（II）線性表）線性表 出，那么向量組（出，那么向量組（I）的秩）的秩 向量組（向量組（II）的秩；）的秩； （6）等價(jià)的向量組秩相同。）等價(jià)的向量組秩相同。 例例 1 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中，函數(shù)組中，函數(shù)組 是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中 為一為一

6、 組互不相同的實(shí)數(shù)。組互不相同的實(shí)數(shù)。 例例 2 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中，函數(shù)組中，函數(shù)組 是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中 為一為一 組互不相同的實(shí)數(shù)。組互不相同的實(shí)數(shù)。 例例 3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中，函數(shù)組中，函數(shù)組 也是線性無關(guān)的。也是線性無關(guān)的。 R R R 12 , nx xx eee 12 , n R R R 12 , n xxx 12 , n R R R 1,cos ,cos2 ,cosxxnx 例例 4 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間空間上的線性空間空間 中，函數(shù)組中，函數(shù)組 與函數(shù)組與函數(shù)組 都是線性相關(guān)的函數(shù)組。都

7、是線性相關(guān)的函數(shù)組。 R R R 2 1,cos,cos2xx 22 sin ,cos ,sin,cos, sin,cos,4. nn xxxx xxn 定理定理1.1.1如果向量組如果向量組 A : a1 , a2 , am 線性無關(guān)，線性無關(guān)， 而向量組而向量組 B:a1 , a2 , am , b 線性相關(guān)線性相關(guān), 那么向量那么向量 b 可可 由向量組由向量組 A 線性表示且表法唯一線性表示且表法唯一. 定義定義 設(shè)設(shè) 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的一個(gè)線性空間。如果在上的一個(gè)線性空間。如果在 中存在中存在 個(gè)線性無關(guān)的向量個(gè)線性無關(guān)的向量 使得使得 中的任意一個(gè)向量中的任意一個(gè)向量 都可以由都可

8、以由 線性表出線性表出 則稱則稱 為為 的一個(gè)基底；的一個(gè)基底； 為向量為向量 在基底在基底 下的坐標(biāo)。此時(shí)我們下的坐標(biāo)。此時(shí)我們 稱稱 為一個(gè)為一個(gè) 維線性空間，記為維線性空間，記為 例例 1 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中向量組中向量組 與向量組與向量組 VF n 12 , n V 12 , n V 1122nn kkk 12 , n V 12 ( ,) T n k kk 12 , n V ndim.Vn R 3 R (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) 第二節(jié)第二節(jié) 線性空間的基底、維數(shù)與坐標(biāo)變換線性空間的基底、維數(shù)與坐標(biāo)變換 都是都是 的基。的基。 是是3維線性空

9、間。維線性空間。 例例 2 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中的向量組中的向量組 與向量組與向量組 都是都是 的基。的基。 是是4維線性空間。維線性空間。 例例 3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中的向量組中的向量組 1011111 1 , 0000101 1 2 2 R 01101111 , 11110110 R 2 2 R (0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) 3 R 3 R 2 2 R R 1 n xR 與向量組與向量組 都是都是 的基底。的基底。 維數(shù)為維數(shù)為 注意：注意： 通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不 唯

10、一，但是維數(shù)是唯一確定的。利用維數(shù)的定義線性唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。利用維數(shù)的定義線性 空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目空間可以分為有限維線性空間和無限維線性空間。目 前，我們主要討論有限維的線性空間。前，我們主要討論有限維的線性空間。 例例 4 在在4維線性空間維線性空間 中，向量組中，向量組 2 1, , n x xx 2 1,2,(2) ,(2) n xxx 1.n 2 2 R 1 n xR 01101111 , 11110110 與向量組與向量組 是其兩組基，求向量是其兩組基，求向量 在這兩組基下的在這兩組基下的 坐標(biāo)。坐標(biāo)。 解：設(shè)向量解：設(shè)向量 在第一組基下的坐標(biāo)

11、為在第一組基下的坐標(biāo)為 1011111 1 , 0000101 1 12 34 A A 1234 (,) T x x x x 于是可得于是可得 解得解得 同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為 12 34 120110 341111 1111 0110 xx xx 1234 7412 , 3333 xxxx 1234 1,1,1,4yyyy 由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相 同的。同的。 基變換與坐標(biāo)變換基變換與坐標(biāo)變換 設(shè)設(shè) （舊的）與（舊的）與 （新的）（新的） 是是 維線性空間維線性空間 的兩組基底，它們之

12、間的關(guān)系為的兩組基底，它們之間的關(guān)系為 12 , n 12 , n V n 1122 1 2 12 ,1,2, iiinin i i n ni aaa a a in a 11121 21222 1212 12 , n n nn nnn aaa aaa aaa 將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式： 稱稱 階方陣階方陣n 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa P aaa 是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，那么上式可是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣，那么上式可 以寫成以寫成 定理：過渡矩陣定理：過渡矩陣 是可逆的。是可逆的。 1212 , n

13、n P P 任取任取 ，設(shè)，設(shè) 在兩組基下的坐標(biāo)分別為在兩組基下的坐標(biāo)分別為 與與 ，那么我們有：，那么我們有： 稱上式為坐標(biāo)變換公式。稱上式為坐標(biāo)變換公式。 例例 1 在在4維線性空間維線性空間 中，向量組中，向量組 V 12 , T n x xx 12 , T n y yy 11 22 nn xy xy P xy 2 2 R 12 34 0110 , 1111 1111 , 0110 12 34 1011 , 0000 111 1 , 101 1 與向量組與向量組 12 34 A 為其兩組基，求從基為其兩組基，求從基 到基到基 的的 過渡矩陣，過渡矩陣， 并求向量并求向量 在這兩組基下的坐

14、標(biāo)。在這兩組基下的坐標(biāo)。 解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式 1234 , 1234 , 1234 7412 , 3333 xxxx 向量向量 第一組基下的坐標(biāo)為第一組基下的坐標(biāo)為 利用坐標(biāo)變換公式可以求得利用坐標(biāo)變換公式可以求得 在第二組基下的坐標(biāo)為在第二組基下的坐標(biāo)為A A 例例 2 教材教材13頁例頁例1.2.6 第三節(jié)第三節(jié) 線性空間的子空間線性空間的子空間 定義定義 設(shè)設(shè) 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的一個(gè)上的一個(gè) 維線性空間，維線性空間， 為為 的一個(gè)非空子集合，如果對(duì)于任意的的一個(gè)非空子集合，如果對(duì)于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有 那么我們稱那么我們稱 為為

15、 的一個(gè)子空間。的一個(gè)子空間。 例例 1 對(duì)于任意一個(gè)有限維線性空間對(duì)于任意一個(gè)有限維線性空間 ，它必有，它必有 兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間 FVn VW ,W , k lF klW VW V 以及線性空間以及線性空間 本身。本身。 例例 2 設(shè)設(shè) ，那么線性方程組，那么線性方程組 的的 全部解為全部解為 維線性空間維線性空間 的一個(gè)子空間，我們稱的一個(gè)子空間，我們稱 其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組 有無窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基有無窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基 礎(chǔ)

16、解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè) 數(shù)。數(shù)。 例例 3 設(shè)設(shè) 為為 維線性空間維線性空間 中的中的 一組向量，那么非空子集合一組向量，那么非空子集合 0V m n AR 0AX n n R 0AX 12 , s n V 12 1122 , s ssi span kkkkF 構(gòu)成線性空間構(gòu)成線性空間 的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生 成子空間，稱成子空間，稱 為該子空間的生成元。為該子空間的生成元。 的基底即為向量組的基底即為向量組 的極大線性無關(guān)組，的極大線性無關(guān)組， 的維數(shù)即為的維數(shù)即為 向量組向量組 的秩。

17、的秩。 例例 4 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 上的線性空間上的線性空間 中全體上三角矩陣中全體上三角矩陣 集合，全體下三角矩陣集合，全體對(duì)稱矩陣集合，全體集合，全體下三角矩陣集合，全體對(duì)稱矩陣集合，全體 反對(duì)稱矩陣集合分別都構(gòu)成反對(duì)稱矩陣集合分別都構(gòu)成 的子空間，的子空間， V 12 , s 12 , s span 12 , s 12 , s span 12 , s n n R R n n R 問題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什么？問題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什么？ 子空間的交與和子空間的交與和 矩陣（或線性變換）的特征值與特征向量矩陣（或線性變換）的特征值與特征向量 定義定義 設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)

18、域 上的線性空間上的線性空間 的一個(gè)線的一個(gè)線 性變換，如果對(duì)于數(shù)域性變換，如果對(duì)于數(shù)域 中任一元素中任一元素 ， 中中 都存在一個(gè)非零向量都存在一個(gè)非零向量 ，使得，使得 那么稱那么稱 為為 的一個(gè)特征值，而的一個(gè)特征值，而 稱為稱為 的的 屬于特征值屬于特征值 的一個(gè)特征向量。的一個(gè)特征向量。 現(xiàn)在設(shè)現(xiàn)在設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的上的 維線性空間，維線性空間， 中取定一個(gè)基中取定一個(gè)基 ，設(shè)線性變換，設(shè)線性變換 在這組基下的矩陣是在這組基下的矩陣是 ，向量，向量 在這組基下的在這組基下的 坐標(biāo)是坐標(biāo)是 ， 。那么我們有。那么我們有 fFV F 0 V 0 ( )f 0 ff 0 VFn V 1

19、2 , n f A X 0 F 由此可得定理：由此可得定理： 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 是是 的屬于的屬于 的特征向量的特征向量 是是 的的 屬于屬于 的特征向量的特征向量 因此，只要將因此，只要將 的全部特征值求出來，它們的全部特征值求出來，它們 就是線性變換就是線性變換 的全部特征值；只要將矩陣的全部特征值；只要將矩陣 的的 屬于屬于 的全部特征向量求出來，分別以它們?yōu)樽娜刻卣飨蛄壳蟪鰜?，分別以它們?yōu)樽?標(biāo)的向量就是標(biāo)的向量就是 的屬于的屬于 的全部特征向量。的全部特征向量。 00 ( )fAXX 0 f 0 A f 0 X A 0 A fA 0 f 0 例例 1

20、 設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的上的3維線性空間，維線性空間， 是是 上上 的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換， 在在 的一個(gè)基的一個(gè)基 下的下的 矩陣是矩陣是 求求 的全部特征值與特征向量。的全部特征值與特征向量。 解：解： 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 VKf fV 123 , 222 214 241 A f V A 2 222 214 241 (3) (6) IA 所以所以 的特征值是的特征值是 （二重）與（二重）與 。 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 ，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組 得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：得到一個(gè)基礎(chǔ)解系： A36 3 (3)0IA X 210,201 TT 從而從而 的屬于的屬于 的極

21、大線性無關(guān)特征向量組是的極大線性無關(guān)特征向量組是 于是于是 的屬于的屬于 的全部特征向量是的全部特征向量是 這里這里 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 中不全為零的數(shù)對(duì)。中不全為零的數(shù)對(duì)。 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 ，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組 得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：得到一個(gè)基礎(chǔ)解系： 3 f 112213 2,2 f 3 1 12212 ,kkk kK 12 ,k kK 6 ( 6)0IA X 122 T 從而從而 的屬于的屬于 的極大線性無關(guān)特征向量組是的極大線性無關(guān)特征向量組是 于是于是 的屬于的屬于 的全部特征向量的全部特征向量 這里這里 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 中任意非零數(shù)。中任意非零數(shù)。 矩陣的相似與相似對(duì)角化

22、矩陣的相似與相似對(duì)角化 相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣的性質(zhì)： 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征 f6 3123 22 3 ,kkK f6 kK 值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡， 有相同的譜。有相同的譜。 矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)： （1） 階矩陣階矩陣 的屬于特征值的屬于特征值 的全部特征向量的全部特征向量 再添上零向量，可以組成再添上零向量，可以組成 的一個(gè)子空間，稱之為矩的一個(gè)子空間，稱之為矩 陣陣 的屬于特征值的屬于特征值 的特征子空間，記為的特征子空

23、間，記為 ，不難，不難 看出看出 正是特征方程組正是特征方程組 的解空間。的解空間。 （2） 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。 An 0 n R A 0 0 V 0 V 0 ()0IA X （3） 設(shè)設(shè) 是是 的的 個(gè)互不同的特征個(gè)互不同的特征 值，值， 的幾何重?cái)?shù)為的幾何重?cái)?shù)為 ， 是對(duì)是對(duì) 應(yīng)于應(yīng)于 的的 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則的所有這個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則的所有這 些特征向量些特征向量 仍然是線性無關(guān)的。仍然是線性無關(guān)的。 （4） 任意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)任意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù) 重?cái)?shù)。重?cái)?shù)。 12 , r Ar

24、 i i q 12 , i iiiq i i q 1 2 11121 21222 12 ,; ,; , r q q rrrq （5）一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。）一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。 矩陣（線性變換）的相似對(duì)角化矩陣（線性變換）的相似對(duì)角化 定義定義 數(shù)域數(shù)域 上的上的 維線性空間維線性空間 的一個(gè)線性的一個(gè)線性 變換變換 稱為可以對(duì)角化的，如果稱為可以對(duì)角化的，如果 中存在一個(gè)基中存在一個(gè)基 底，使得底，使得 在這個(gè)基底下的矩陣為對(duì)角矩陣。在這個(gè)基底下的矩陣為對(duì)角矩陣。 我們?cè)谖覀冊(cè)?中取定一個(gè)基底中取定一個(gè)基底 ，設(shè)，設(shè) 線性變換線性變換 在這個(gè)基下的矩陣為在這個(gè)基下的矩陣為 ，那么可以得，那么可以得 到下面的定理到下面的定理 定理：定理