1.2-解三角形的實際應(yīng)用舉例

1、2021/3/10講解：XX1 BC A 1.什么是正弦定理？運用正弦定理能解怎樣的三 角形？ （1）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所 對角的正弦的比相等，即 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角. （2）正弦定理能解決的三角形類型 已知三角形的任意兩角及其一邊； sinsinsin a ab bc c = = = A AB BC C 2021/3/10講解：XX2 1.2 應(yīng)用舉例 解三角形的實際應(yīng)用舉例 1.距離問題 2021/3/10講解：XX3 2.什么是余弦定理？運用余弦定理能解怎樣的三 角形？ （1）余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于 其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

2、的 余弦的積的兩倍，即 已知三邊求三角； （2）余弦定理能解決的三角形類型： 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊. 222 222 222 2cos 2cos a =bcbcAa =bcbcA； b =acacBb =acacB； c =ababcosC.c =ababcosC. +-2+-2 2021/3/10講解：XX4 實際應(yīng)用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語實際應(yīng)用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語 2021/3/10講解：XX5 2021/3/10講解：XX6 2021/3/10講解：XX7 例1.設(shè)A,B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離. 測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點C，測 出AC的距離是5

3、5cm，BAC51， ACB75， 求A，B兩點間的距離（精確到0.1m）. 探究點1 關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點到一個不可到 達(dá)的點之間的距離的問題 2021/3/10講解：XX8 解：根據(jù)正弦定理，得 答：A,B兩點間的距離為65.7米. oooo oooooooo ABACABAC = = sinsinACBsinACBsinABCABC ACsinACsinACB55sinACB55sinACBACB AB =AB = sinsinABCsinABCsinABCABC 55sin7555sin7555sin7555sin75 =65.7(m)=65.7(m) sin(180 -51 -7

4、5 )sin54sin(180 -51 -75 )sin54 分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形. ABACABAC sinCsinBsinCsinB 2021/3/10講解：XX9 例2 如圖，A，B兩點都在河的對岸(不可到達(dá))， 設(shè)計一種測量A，B兩點間距離的方法. A B 探究點2 關(guān)于測量兩個都不可到達(dá)的點之間的距離 的問題 2021/3/10講解：XX10 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達(dá) 的點之間的距離測量問題. A B 首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C，D兩點. 用例1的方法，可以計算出河的這一岸的一點C到對 岸兩點的距離，再測出BCA的大小，借助于余弦 定

5、理可以計算出A，B兩點間的距離. C CD D 2021/3/10講解：XX11 A B 解：測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，測得CD=a， 并且在C，D兩點分別測得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定 理得 D C sin() sin 180() sin() sin() a AC a 2021/3/10講解：XX12 180 asinasin BC sin()sin() 計算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理 計算出AB兩點間的距離 22 2cosABACBCACBC 2021/3/10講解：XX13 總結(jié)提升 在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定

6、理可以尋 找到多種解決問題的方案，但有些過程較煩瑣， 如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定 理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式. 2021/3/10講解：XX14 我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線， 如例如例1 1中的中的ACAC，例，例2 2中的中的CD.CD. 在測量過程中,要根據(jù)實際需要選取合適的 基線長度,使測量具有較高的精確度. 一般來說,基線越長,測量的精確度越高. 基線：基線： 2021/3/10講解：XX15 2.高度問題 2021/3/10講解：XX16 例3 AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑 物的最高點，

7、設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法. 分析：如圖，求AB長 的關(guān)鍵是先求AE，在 ACE中，如能求出C 點到建筑物頂部A的距 離CA，再測出由C點觀 察A的仰角，就可以計 算出AE的長. 2021/3/10講解：XX17 解: 選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同 一條直線上.由在H,G兩點用測角儀器測得A的仰角 分別是,CD=a，測角儀器的高是h，那么，在 ACD中，根據(jù)正弦定理可得 asinasin AC =AC = sin（sin（-） AB = AE+h = ACsinAB = AE+h = ACsin+h+h asinasinsinsin =+h.=+h. sin（sin（-）

8、2021/3/10講解：XX18 例4 如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的 俯角 =5440，在塔底C處測得A處的俯角 =501 ,已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出 山高CD(精確到1 m). 根據(jù)已知條件,大家能設(shè) 計出解題方案嗎？ 分析: 若在ABD中求BD，則關(guān) 鍵需要求出哪條邊呢？ 那又如何求BD邊呢？ 2021/3/10講解：XX19 解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90- , BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理， BCABBCAB =，=， sin（sin（-） sin（sin（9090） BCsin（BCsin（9090）BCcosBCcos 所所以以A

9、B =AB = sin（sin（-）sin（sin（-） 解解RtRtABD，ABD，得得 BCcBCc + + + + osossinsin BD = ABsinBD = ABsinBAD =.BAD =. sin（sin（-） 2021/3/10講解：XX20 答：山的高度約為150米. 把測量數(shù)據(jù)代入上式，得 CD=BD-BC177.4-27.3150(m). . sin54 sin50 sin54 si 140 401 140 177.4 39n 27.35027.350 = = 27.35027.350 coscos BDBD （5454） coscos = = 4 4 （m m）

10、2021/3/10講解：XX21 思考:有沒有別的解題思 路呢？ 先在ABC中， 根據(jù)正弦定理求得 AC.再在ACD中求 CD即可. 2021/3/10講解：XX22 例5 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正 西行駛,到A處時測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西 偏北15的方向上,行駛5 km后到達(dá)B處,測得此 山頂在西偏北25的方向上,仰角為8,求此山 的高CD(精確到1 m). 2021/3/10講解：XX23 解：在ABC中，A=15, C= 25- 15=10. 根據(jù)正弦定理， CD=BCtanDBCBCtan81 047(m). 答：山的高約為1 047米. 正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 模型 si 7

11、.452 4 n5sin15 sinsin10 ABAB = =， ACAC ABAABA BC=BC= C C （kmkm） BCBC sinsinsinsin 2021/3/10講解：XX24 3.角度問題 2021/3/10講解：XX25 例6 如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航 行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東 32的方向航行54.0 n mile后到達(dá)海島C.如果下次航 行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行, 需要航行的距離是 多少?(角度精確到 0.1,距離精確到 0.01 n mile) 2021/3/10講解：XX26 分析：首先

12、求出AC邊所對的角ABC，即可用余 弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB 邊的夾角CAB. 2021/3/10講解：XX27 解：在 ABC中，ABC1807532 137，根據(jù)余弦定理， 根據(jù)正弦定理, sin BCBC sinsinsinsin ACAC = =， CABABCCABABC BCABCBCABC sin CAB=sin CAB= ACAC 22 22 2cos 67.554.02 67.5 54.0 cos137 113.15 A AC C= = A AB BB BC CA AB BB BC CA AB BC C = = 2021/3/10講解：XX28 0.3

13、25 5，0.325 5， 所所以以，CAB =19.0CAB =19.0 54.0si54.0si ， 7575 - n137n137 = = 1 1 CAB =56CAB =56 13.1513.15 .0.0. . 此此船船沿沿北北偏偏56.056.0的的方方向向航航行行， 需需要要航航行行113.15n m l113.15n m l 答答 e.e. ： i i 應(yīng)應(yīng)該該東東 2021/3/10講解：XX29 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： (1)(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出分析：理解題意，分清已知與未知，畫出 示意圖示意圖. . (2)(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知 量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角 形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué) 模型模型. . 2021/3/10講解：XX30 (3)(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解求解