數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)綜合問(wèn)題集錦

1、1、藥物吸收問(wèn)題設(shè)表示時(shí)刻體內(nèi)藥量，藥物經(jīng)口服吸收而進(jìn)入血內(nèi)，因代謝而逐步消除藥物(排泄). 已知在t = 0時(shí)口服含X(克)劑量的藥物后血內(nèi)藥物劑量 (納克) (1納克=克)與時(shí)間t (小時(shí))的關(guān)系為，其中為未知的吸收速度常數(shù)，F(xiàn)為未知的吸收比例常數(shù)，K為未知的消除速度常數(shù).現(xiàn)有一體重60千克的人在t =T1= 0時(shí), 第一次口服某藥(含劑量X=0.1(克)，測(cè)得不同時(shí)間的血藥濃度數(shù)據(jù)如下:0.511.522.5357304.7508.75639.04715.6753.54763.94666.95509.51013151820312.83185.64130.2676.3953.37注:血藥濃

2、度 (納克/毫升), V表示未知血液容積(毫升). 問(wèn)題：設(shè)相同體重的人的藥物代謝的情況相同.1. 問(wèn)一體重60千克的人第一次服藥X=X1=0.1克劑量后的最高血藥濃度Cmax(納克/毫升);2. 為保證藥效, 在血藥濃度降低到437.15納克/毫升時(shí)應(yīng)再次口服藥物, 其劑量應(yīng)使最高濃度等于Cmax(納克/毫升). 求第二次口服的時(shí)間與第一次口服的時(shí)間的間隔T2(小時(shí))和劑量X2(克).3. 畫(huà)出符合2的二次服藥情況下在24小時(shí)之內(nèi)的血藥濃度曲線(將所要求的三個(gè)量Cmax, T2，X2的數(shù)值的最后結(jié)果皆舍入到4位數(shù)字, 且要保證4位數(shù)字都是有效數(shù)字).2、 消防車(chē)的合理調(diào)度 某市消防中心同時(shí)接

3、到三處火警報(bào)告,根據(jù)當(dāng)前火勢(shì),三處火警地點(diǎn)分別需要2輛、2輛和3輛消防車(chē)前往滅火。三處火警地點(diǎn)的損失將依賴(lài)于消防車(chē)到達(dá)的及時(shí)程度：記tij為第j輛消防車(chē)到達(dá)火警地點(diǎn)i的時(shí)間，則三處火警地點(diǎn)的損失分別為6t11+4t12，7t21+3t22，9t31+8t32+5t33。目前可供消防中心調(diào)度的消防車(chē)輛正好有7輛，分別屬于三個(gè)消防站（可用消防車(chē)數(shù)量分別為3輛、2輛和2輛）。消防車(chē)從三個(gè)消防站到三個(gè)火警地點(diǎn)所需的時(shí)間如下表所示。該中心應(yīng)如何調(diào)度消防車(chē)，才能使總損失最?。肯勒镜饺齻€(gè)火警地點(diǎn)所需要的時(shí)間時(shí)間火警地點(diǎn)1火警地點(diǎn)2火警地點(diǎn)3消防站1679消防站25811消防站36910 如果三處火警地點(diǎn)的

4、損失分別為4t11+6t12，3t21+7t22，5t31+8t32+9t33，調(diào)度方案是否需要改變？3、貨物集散碼頭建設(shè)費(fèi)用的合理分擔(dān)沿江有三個(gè)城市，都在為地處下游的某外商提供同一種生產(chǎn)原料，它們的地理位置如圖所示。為了盡快運(yùn)出各自的產(chǎn)品，需要建立專(zhuān)用的貨物集散碼頭。三城市既可以單獨(dú)建立貨物集散碼頭，也可以聯(lián)合建立貨物集散碼頭。如果聯(lián)合建立，需要建設(shè)專(zhuān)用通道將產(chǎn)品集中到碼頭再外運(yùn)。用Q表示產(chǎn)品外運(yùn)量（萬(wàn)噸/天），L 表示城市之間距離，即需要建設(shè)專(zhuān)用通道的長(zhǎng)度（千米）。按照經(jīng)驗(yàn)公式，貨物集散碼頭的建設(shè)費(fèi)用CT = 730Q0.712（萬(wàn)元），專(zhuān)用通道的建設(shè)費(fèi)用CP = 6.6Q0.51L（萬(wàn)元

5、），L 的數(shù)值如圖所示，三城市的貨物外運(yùn)量分別為Q1 = 5 萬(wàn)噸/天，Q2 = 3 萬(wàn)噸/天，Q3 = 5 萬(wàn)噸/天。(1) 從節(jié)約總投資的角度，三城市應(yīng)該聯(lián)合建設(shè)貨物集散碼頭，試說(shuō)明理由。(2) 如果三城市聯(lián)合建設(shè)貨物集散碼頭，對(duì)于各城市如何分擔(dān)費(fèi)用有人提出如下建議：碼頭建設(shè)費(fèi)用按照貨物外運(yùn)量之比分擔(dān)；專(zhuān)用通道建設(shè)費(fèi)用根據(jù)誰(shuí)用誰(shuí)投資的原則，聯(lián)合使用的則按照貨物外運(yùn)量之比分擔(dān)。你認(rèn)為這個(gè)建議能被采納嗎？說(shuō)明理由。(3) 請(qǐng)你給出一個(gè)更合理的費(fèi)用分擔(dān)方案。4、航空公司的費(fèi)用及利潤(rùn)問(wèn)題當(dāng)前金融危機(jī)沖擊了航空公司，乘客數(shù)在減少，但航空公司為了保持住盈利，決定擴(kuò)大業(yè)務(wù)員隊(duì)伍到各類(lèi)企業(yè)，事業(yè)單位去提供

6、預(yù)訂飛機(jī)票的服務(wù)。一架飛機(jī)一次飛行的總費(fèi)用主要有燃料費(fèi)，飛行員，空姐和地勤的工資等，收入則來(lái)自乘客支付的機(jī)票費(fèi)。航空公司當(dāng)然希望飛機(jī)能夠滿座，那么訂票策略就顯得至關(guān)重要。假定航空公司向顧客提供的機(jī)票分成高價(jià)票和低價(jià)票兩種，持高價(jià)票的旅客允許遲到可以改簽機(jī)票坐下一趟航班，而持低價(jià)票的旅客不能改簽，只能作廢。當(dāng)預(yù)定機(jī)票數(shù)超過(guò)座位數(shù)時(shí)，繼續(xù)訂票稱(chēng)為超定，可能導(dǎo)致一部分旅客由于滿員而不能乘坐飛機(jī)。此時(shí)，航空公司就要付出一定的賠償費(fèi)。假定飛機(jī)客量為300座，旅客未到可能性為0.05，有60%的乘客上座率（以低價(jià)票測(cè)算）航空公司就不賠錢(qián)，且超定的賠償費(fèi)定為票價(jià)的20%，提供150個(gè)座位給低價(jià)票且票價(jià)是高價(jià)

7、票的75折。試建立航空公司的利潤(rùn)模型，并計(jì)算什么時(shí)候航空公司的期望理論最大。5、人力計(jì)劃問(wèn)題某公司正在進(jìn)行改革，由于引進(jìn)新機(jī)器，對(duì)不熟練工人的需求相對(duì)減少，對(duì)熟練和半熟練工人的需求相對(duì)增加。另外，公司預(yù)測(cè)下一年度的貿(mào)易量將下降，從而減少對(duì)各類(lèi)人力的需求?，F(xiàn)有人數(shù)及對(duì)未來(lái)三年內(nèi)人力需求的估計(jì)數(shù)如表：分類(lèi)不熟練半熟練熟練現(xiàn)在人數(shù)200015001000第一年需求100014001000第二年需求50020001500第三年需求025002000除公司解雇外，由于工人自動(dòng)離職以及其他原因，還存在著自然減員的問(wèn)題。有很多人受雇不滿一年便自動(dòng)離職，干滿一年后，離職的情況便很少發(fā)生，自然減員情況如下表分類(lèi)

8、不熟練半熟練熟練工作不滿一年25%20%10%工作一年以上10%5%5%公司現(xiàn)有工人皆已受雇一年以上，為了公司的生存及發(fā)展，董事會(huì)在招工，再培訓(xùn)，解雇，超員雇傭及半日工等問(wèn)題上制定下列策略：招工：每年新召的熟練工及不熟練工不超過(guò)500名，半熟練工不超過(guò)800名。再培訓(xùn)：每年可培訓(xùn)200名不熟練工成為半熟練工，其費(fèi)用400元/名；培訓(xùn)半熟練工成為熟練工，費(fèi)用為500元/名。培訓(xùn)人數(shù)不能超過(guò)熟練工人數(shù)的1/4?？蓪⒐と私档统潭鹊燃?jí)使用，但這樣的工人因待遇問(wèn)題將有50%離職。解雇：解雇一名不熟練工需支付其200元，解雇一名半熟練或熟練工需支付其500元。超員雇用：公司可超需要雇用150人，額外費(fèi)用為

9、每年；不熟練工1500元/人；半熟練工2000元/人；熟練工3000元/人。半日工：各等級(jí)工人可各有不超過(guò)50名作為半日工，完成半個(gè)人的生產(chǎn)任務(wù)。公司支付其費(fèi)用為每年：不熟練工300元/人，半熟練工及熟練工400元/人。 請(qǐng)你為該公司未來(lái)三年制定一個(gè)招工，人員再培訓(xùn)，解雇和超員雇傭及半日工的計(jì)劃方案，以使解雇人員最少。6、寵物銷(xiāo)售問(wèn)題 背景：一家寵物店賣(mài)某種寵物（比如狗或貓）。這家店每天需要在每只寵物身上花費(fèi)12元錢(qián)，因此寵物店不想在店里存儲(chǔ)太多的寵物。通過(guò)調(diào)查研究，在給定的天數(shù)x內(nèi)，所賣(mài)出的寵物的數(shù)量服從泊松分布(=0.1)。 寵物店每十天平均能賣(mài)出一只寵物，而每賣(mài)出一只寵物的利潤(rùn)是1000

10、元。當(dāng)一個(gè)顧客來(lái)到寵物店里時(shí)，如果店里沒(méi)有寵物賣(mài)，那么該顧客就會(huì)到別的寵物店去。如果寵物店預(yù)定寵物的話,則所預(yù)定的寵物需要到5天后才能到店里。現(xiàn)在該寵物店正在考慮一種預(yù)定寵物的最好策略。 策略A：每賣(mài)出一只寵物，寵物店就新預(yù)定一只。這個(gè)策略意味著每次店里只有一個(gè)寵物，因此寵物店就不會(huì)花費(fèi)太多在寵物身上。 策略B：寵物店每隔10天就預(yù)定一只新的寵物，該寵物5天后到。使用這個(gè)策略后,如果顧客連續(xù)幾個(gè)星期沒(méi)有光顧寵物店，則寵物店必須花大量的錢(qián)在小狗上。 問(wèn)題： 1、編寫(xiě)程序,來(lái)模擬這兩種策略，并比較哪一種策略好。2、嘗試提出第三種更好的策略，并加以驗(yàn)證。7、深洞的估算 假如你站在洞口且身上僅帶著一只

11、具有跑秒功能的計(jì)算器，你出于好奇心想用扔下一塊石頭聽(tīng)回聲的方法來(lái)估計(jì)洞的深度，假定你撿到一塊質(zhì)量是1KG的 石頭，并準(zhǔn)確的測(cè)定出聽(tīng)到回聲的時(shí)間T=10S，就下面給定情況，分析這一問(wèn)題，給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并估計(jì)洞深。1、不計(jì)空氣阻力；2、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度成正比，比例系數(shù)k1=0.06；3、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度的平方成正比，比例系數(shù)k2=0.002；4、在上述三種情況下，如果再考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。8、居民區(qū)供水問(wèn)題 某居民區(qū)的民用自來(lái)水是由圓柱形水塔提供,水塔高12.2米,直徑17.4米.水塔是由水泵根據(jù)水塔內(nèi)水位高低自動(dòng)加水,一般每天水泵工作

12、兩次.現(xiàn)在需要了解居民區(qū)用水規(guī)律與水泵的工作功率.按照設(shè)計(jì),當(dāng)水塔的水位降至最低水位,約8.2米,水泵自動(dòng)啟動(dòng)加水;當(dāng)水位升高到一個(gè)最高水位, 約10.8米,水泵停止工作. 可以考慮采用用水率(單位時(shí)間的用水量)來(lái)反映用水規(guī)律,并通過(guò)間隔一段時(shí)間測(cè)量水塔里的水位來(lái)估算用水率,表1是某一天的測(cè)量記錄數(shù)據(jù),測(cè)量了28個(gè)時(shí)刻,但是由于其中有3個(gè)時(shí)刻遇到水泵正在向水塔供水,而無(wú)水位記錄(表1中用/表示). 試建立合適的數(shù)學(xué)模型,推算任意時(shí)刻的用水率,一天的總用水量和水泵工作功率. 表1 原始數(shù)據(jù)(單位:時(shí)刻(小時(shí)),水塔中水位(米)時(shí)刻t00.9211.8432.9493.8714.9785.900水

13、位9.6779.4799.3089.1258.9828.8148.686時(shí)刻t7.0067.9288.9679.981110.92510.95412.032水位8.5258.3888.220/10.82010.500時(shí)刻t12.95413.87514.98215.90316.82617.93119.037水位10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662時(shí)刻t19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位8.4338.220/10.82010.59710.35410.1809、導(dǎo)彈攻擊 某軍一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120千米處海

14、上有一艘敵艇以90千米/小時(shí)的速度向正東方向行駛.該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艇,導(dǎo)彈速度為450千米/小時(shí),自動(dòng)導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對(duì)準(zhǔn)敵艇。 試問(wèn)導(dǎo)彈在何時(shí)何地?fù)糁袛惩? 如果當(dāng)基地發(fā)射導(dǎo)彈的同時(shí),敵艇立即儀器發(fā)現(xiàn).假定敵艇即刻以135千米/小時(shí)的速度向與導(dǎo)彈方向垂直方向逃逸,問(wèn)導(dǎo)彈何時(shí)何地?fù)糁袛惩? 敵艇與導(dǎo)彈方向成何夾角逃逸最好?結(jié)論中有何啟示?10.超市收費(fèi)系統(tǒng) 一小超級(jí)市場(chǎng)有 4 個(gè)付款柜，每個(gè)柜臺(tái)為一位顧客計(jì)算貨款數(shù)的時(shí)間與顧客所購(gòu)商品件數(shù)成正比（大約每件費(fèi)時(shí)1s），20%的顧客用支票或信用卡支付，這需要1.5min，付款則僅需0.5min 。有人倡議設(shè)一個(gè)快速服務(wù)臺(tái)專(zhuān)為

15、購(gòu)買(mǎi)8個(gè)或8個(gè)以下商品的顧客服務(wù)，指定另外兩個(gè)為“現(xiàn)金支付柜”。 請(qǐng)你建立一個(gè)模擬模型，用于比較現(xiàn)有系統(tǒng)和倡議的系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)。假設(shè)顧客到達(dá)平均間隔時(shí)間是 0.5min ，顧客購(gòu)買(mǎi)商品件數(shù)按如下頻率表分布。 件數(shù) 919 2029 3039 4049 相對(duì)頻率 0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12 【設(shè)計(jì)任務(wù)】 根據(jù)題目要求建立模型并求解。 附錄計(jì)算機(jī)模擬方法介紹1步驟（1）分析問(wèn)題，收集資料。需要搞清楚問(wèn)題要達(dá)到的目標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)收集有關(guān)隨機(jī)性因素的資料。這里用得較多的知識(shí)為概率統(tǒng)計(jì)方面。在這個(gè)階段，還應(yīng)當(dāng)估計(jì)一下待建立的模擬系統(tǒng)的規(guī)模和條件，說(shuō)明哪些是可以控制的變量，

16、哪些是不可控制的變量。（2）建立模擬模型，編制模擬程序。按照一般的建模方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。也就是說(shuō)，模擬模型未必要將被模擬系統(tǒng)的每個(gè)細(xì)節(jié)全部考慮。模擬模型的優(yōu)劣將通過(guò)與實(shí)際系統(tǒng)有關(guān)資料的比較來(lái)評(píng)價(jià)。如果一個(gè)“粗糙”的模擬模型已經(jīng)比較符合實(shí)際系統(tǒng)的情況，也就沒(méi)有必要建立費(fèi)時(shí)、復(fù)雜的模型。當(dāng)然，如果開(kāi)始建立的模型比較簡(jiǎn)單，與實(shí)際系統(tǒng)相差較大，那么可以在建立了簡(jiǎn)單模型后，逐步加入一些原先沒(méi)有考慮的因素，直到模型達(dá)到預(yù)定的要求為止。編寫(xiě)模擬程序之前，要現(xiàn)畫(huà)出程序框圖或?qū)懗鏊惴ú襟E。然后選擇合適的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，編寫(xiě)模擬程序。（3）運(yùn)行模擬程序，計(jì)算結(jié)果。為了減小模擬結(jié)果的隨機(jī)性偏差，一般要多次運(yùn)行

17、模擬程序，還有就是增加模擬模型的時(shí)段次數(shù)。（4）分析模擬結(jié)果，并檢驗(yàn)。模擬結(jié)果一般說(shuō)來(lái)反映的是統(tǒng)計(jì)特性，結(jié)果的合理性、有效性，都需要結(jié)合實(shí)際的系統(tǒng)來(lái)分析，檢驗(yàn)。以便提出合理的對(duì)策、方案。以上步驟是一個(gè)反復(fù)的過(guò)程，在時(shí)間和步驟上是彼此交錯(cuò)的。比如模型的修改和改進(jìn)，都需要重新編寫(xiě)和改動(dòng)模擬程序。模擬結(jié)果的不合理，則要求檢查模型，并修改模擬程序。2控制模擬時(shí)間的方法：（1）固定時(shí)間增量法，是選用一段合適的時(shí)間作單位，然后每隔一個(gè)單位時(shí)間就計(jì)算一次有關(guān)參數(shù)的值，到達(dá)預(yù)定的模擬時(shí)間后，模擬程序結(jié)束。在編寫(xiě)這種程序時(shí)，一般可以建立一個(gè)“模擬時(shí)鐘”變量。程序的主體框架一般是個(gè)大的循環(huán)，循環(huán)變量，則為模擬時(shí)間

18、；在每個(gè)循環(huán)體內(nèi)，就是對(duì)每個(gè)時(shí)段作處理。例如，有些排隊(duì)論模型，可能就是以每隔一段時(shí)間（一天或者一個(gè)月）進(jìn)行處理。（2）可變時(shí)間增量法，模擬也有一個(gè)“模擬時(shí)鐘”變量，但它是在一個(gè)事件發(fā)生時(shí)，“模擬時(shí)鐘”才向前推進(jìn)。需要注意的是，該模擬方法每一步經(jīng)過(guò)的時(shí)間是可變的，而且會(huì)自動(dòng)尋找下一個(gè)最早使系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化的事件。整個(gè)模擬直到“模擬時(shí)鐘”到達(dá)指定的時(shí)間長(zhǎng)度為止?？梢詤⒖加嘘P(guān)離散系統(tǒng)仿真的內(nèi)容。參考案例：渡口模型一個(gè)渡口的渡船營(yíng)運(yùn)者擁有一只甲板長(zhǎng)32米，可以并排停放兩列車(chē)輛的渡船。他在考慮怎樣在甲板上安排過(guò)河車(chē)輛的位置，才能安全地運(yùn)過(guò)最多數(shù)量的車(chē)輛。分析：怎樣安排過(guò)河車(chē)輛，關(guān)心一次可以運(yùn)多少輛各類(lèi)車(chē)

19、。準(zhǔn)備工作： 觀察數(shù)日，發(fā)現(xiàn)每次情況不盡相同，得到下列數(shù)據(jù)和情況： (1) 車(chē)輛隨機(jī)到達(dá)，形成一個(gè)等待上船的車(chē)列；(2) 來(lái)到車(chē)輛，轎車(chē)約占40，卡車(chē)約占55,摩托車(chē)約占5；(3) 轎車(chē)車(chē)身長(zhǎng)為3.55.5米，卡車(chē)車(chē)身長(zhǎng)為810米。問(wèn)題分析這是一個(gè)機(jī)理較復(fù)雜的隨機(jī)問(wèn)題，是遵循“先到先服務(wù)”的隨機(jī)排隊(duì)問(wèn)題。解決方法：采用模擬模型方法。因此需考慮以下問(wèn)題：(1) 應(yīng)該怎樣安排摩托車(chē)？ (2) 下一輛到達(dá)的車(chē)是什么類(lèi)型？(3) 怎樣描述一輛車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)度？ (4) 如何安排到達(dá)車(chē)輛加入甲板上兩列車(chē)隊(duì)中的哪一列中去？本實(shí)驗(yàn)主要模擬裝載車(chē)輛的情況，暫時(shí)不考慮渡船的安全。模型建立設(shè)到達(dá)的卡車(chē)、轎車(chē)長(zhǎng)度分別為

20、隨機(jī)變量。結(jié)合實(shí)際，這里不妨假設(shè)卡車(chē)、轎車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)度均服從正態(tài)分布。由于卡車(chē)車(chē)身長(zhǎng)為810m，所以卡車(chē)車(chē)長(zhǎng)的均值為m，由概率知識(shí)中的“”原則，其標(biāo)準(zhǔn)差為，所以得到。同理可得。模擬程序設(shè)計(jì)由以上的分析，程序設(shè)計(jì)時(shí)的應(yīng)劃分的主要模塊（函數(shù)）如下：（1） 確定下一輛到達(dá)車(chē)輛的類(lèi)型；（2） 根據(jù)車(chē)的類(lèi)型確定到達(dá)車(chē)輛的長(zhǎng)度；（3） 根據(jù)一定的停放規(guī)則，確定放在哪一列。模擬程序function sim_dukou%渡口模型的模擬n=input(輸入模擬次數(shù)：);if isempty(n) | (n500) n=500;endN=zeros(1,3);%依次為摩托車(chē)數(shù)量、卡車(chē)數(shù)量、轎車(chē)數(shù)量for i=1:n

21、 isfull=0; L=0 ,0;%第一列長(zhǎng)度,第二列長(zhǎng)度 while isfull t=rand; %模擬下一輛到達(dá)車(chē)的類(lèi)型if t=0.55, id=1; %到達(dá)卡車(chē)elseif tL(2) if L(1)+newlen32 pos=1; elseif L(2)+newlen32 pos=2; else full=1; endelse if L(2)+newlen32 pos=2; elseif L(1)+newlen32 pos=1; else full=1; end end模型求解結(jié)果及分析（一）運(yùn)行結(jié)果程序名為sim_dukou，運(yùn)行程序，輸出結(jié)果如下：sim_dukou輸入模擬次

22、數(shù)：1000平均每次渡船上的車(chē)數(shù)mean_n = 5.4840 3.9180 0.5160（二）結(jié)果分析上面為運(yùn)行一次模擬程序，模擬次數(shù)為1000次的模擬結(jié)果。從模擬結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？發(fā)現(xiàn)摩托車(chē)的平均數(shù)量不到1輛，因此從另外一方面看，忽略摩托車(chē)的長(zhǎng)度是合理的。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示平均每次渡口時(shí)船上卡車(chē)、轎車(chē)、摩托車(chē)數(shù)量分別為5.484、3.918、0.516輛。11.高速公路問(wèn)題A城和B城之間準(zhǔn)備建一條高速公路，B城位于A城正南20公里和正東30公里交匯處，它們之間有東西走向連綿起伏的山脈。公路造價(jià)與地形特點(diǎn)有關(guān)，圖4.2.4給出了整個(gè)地區(qū)的大致地貌情況，顯示可分為三條沿東西方向的地形帶。你的任

23、務(wù)是建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，在給定三種地形上每公里的建造費(fèi)用的情況下，確定最便宜的路線。圖中直線AB顯然是路徑最短的，但不一定最便宜。而路徑ARSB過(guò)山地的路段最短，但是否是最好的路徑呢？你怎樣使你的模型適合于下兩個(gè)限制條件的情況呢？1. 當(dāng)?shù)缆忿D(zhuǎn)彎時(shí)，角度至少為140度。2. 道路必須通過(guò)一個(gè)已知地點(diǎn)（如P）。問(wèn)題分析在建設(shè)高速公路時(shí)，總是希望建造費(fèi)用最小。如果要建造的起點(diǎn)、終點(diǎn)在同一地貌中，那么最佳路線則是兩點(diǎn)間連接的線段，這樣費(fèi)用則最省。因此本問(wèn)題是一個(gè)典型的最優(yōu)化問(wèn)題，以建造費(fèi)用最小為目標(biāo)，需要作出的決策則是確定在各個(gè)地貌交界處的匯合點(diǎn)。變量說(shuō)明：記為第i個(gè)匯合點(diǎn)上的橫坐標(biāo)（以左下角為直角坐

24、標(biāo)原點(diǎn)），i1，2，4；x530（指目的地B點(diǎn)的橫坐標(biāo)），記為第i段南北方向的長(zhǎng)度（i1，2，5）；為第i段上所建公路的長(zhǎng)度（i1，2，5）；由問(wèn)題分析可知，C1：平原每公里的造價(jià)（單位：萬(wàn)元/公里）C2：高地每公里的造價(jià)（單位：萬(wàn)元/公里）C3：高山每公里的造價(jià)（單位：萬(wàn)元/公里）模型假設(shè)1、 假設(shè)在相同地貌中修建高速公路，建造費(fèi)用與公路長(zhǎng)度成正比；2、 假設(shè)在相同地貌中修建高速為直線。在理論上，可以使得建造費(fèi)用最少，當(dāng)然實(shí)際中一般達(dá)不到。模型建立在A城與B城之間建造一條高速公路的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為下面的非線性規(guī)劃模型。優(yōu)化目標(biāo)是在A城與B城之間建造高速公路的費(fèi)用。模型求解(Matlab最優(yōu)化函

25、數(shù)求解)這里采用Matlab編程求解。模型求解時(shí)，分別取Ci如下。平原每公里的造價(jià)C1：400（單位：萬(wàn)元）高地每公里的造價(jià)C2：800（單位：萬(wàn)元）高山每公里的造價(jià)C3：1200（單位：萬(wàn)元）（注意：實(shí)際建模時(shí)必須查找資料來(lái)確定參數(shù)或者題目給定有數(shù)據(jù)）主程序：function x=model_road clear allglobal C LC=400 800 1200;L=4 4 4 4 4; x=fmincon(objfun_road,1,1,1,1,zeros(1,4),.ones(1,4)*30,mycon_road);optans=objfun_road(x)C=ones(3,1);

26、len = objfun_road(x)模型中描述目標(biāo)函數(shù)的Matlab程序function obj=objfun_road(x)global C Lobj= C(1)*sqrt(L(1)2+x(1)2) + C(2)*sqrt(L(2)2+(x(2)-x(1)2).+ C(3)*sqrt(L(3)2+(x(3)-x(2)2) + C(2)*sqrt(L(4)2+(x(4)-x(3).2)+ C(1)*sqrt(L(5)2+(30-x(4)2);模型中描述約束條件的Matlab函數(shù)function c,ceq=mycon_road(x)c(1)=x(1)-x(2);c(2)=x(2)-x(3)

27、;c(3)=x(3)-x(4);c(4)=x(4)-30;ceq=;程序運(yùn)行結(jié)果：輸入主程序model_road.m，運(yùn)行結(jié)果如下：model_roadoptans = 2.2584e+004len = 38.9350ans = 12.1731 14.3323 15.6677 17.8269模型結(jié)果及分析通過(guò)求解可知，為了使得建造費(fèi)用最小。建造地點(diǎn)的選擇宜采取下列結(jié)果。x(1)=18.1229；x(2)=0.5607；x(3)=28.1015；x(4)=24.4806。建造總費(fèi)用為2.2584億元，總長(zhǎng)度為38.9350公里。學(xué)生訓(xùn)練題：飛機(jī)在飛行過(guò)程中，能夠收到地面上各個(gè)監(jiān)控臺(tái)發(fā)來(lái)的關(guān)于飛機(jī)

28、當(dāng)前位置的信息，根據(jù)這些信息可以比較精確地確定飛機(jī)的位置。如下圖所示，高頻多向?qū)Ш皆O(shè)備（VOR）能夠得到飛機(jī)與該設(shè)備連線的角度信息；距離測(cè)量裝置（DME）能夠得到飛機(jī)與該設(shè)備的距離信息。圖中飛機(jī)接收到來(lái)自3個(gè)VOR給出的角度和1個(gè)DME給出的距離（括號(hào)內(nèi)是相應(yīng)設(shè)備測(cè)量的精度，即絕對(duì)誤差限），并已知這4種設(shè)備的x，y坐標(biāo)（假設(shè)飛機(jī)和這些設(shè)備在同一平面上）。請(qǐng)你根據(jù)這些信息確定當(dāng)前飛機(jī)的位置，要求建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并給出解答。提示：對(duì)角度信息進(jìn)行處理時(shí)，可以考慮使用MATLAB的 atan2 函數(shù)。0yxVOR2x=629, y=375309.00 (1.30)861.3(2.0)飛機(jī)x=?, y

29、=?VOR1x=764, y=1393161.20 (0.80)DMEx=155, y=987VOR3x=1571, y=25945.10 (0.60)北DMEx=155, y=987飛機(jī)與監(jiān)控臺(tái)（圖中坐標(biāo)和測(cè)量距離的單位是“公里”）參考解答：數(shù)學(xué)模型為 得到飛機(jī)的坐標(biāo)為（978.117，723.5586）。附主要程序示例： function e=fun(x)X=746 629 1571 155;Y=1393 375 259 987;theta=161.2,45.1,309.0-360*2*pi/360; % 角度轉(zhuǎn)換sigma=0.8,0.6,1.3*2*pi/360;d4=864.3; s

30、igma4=2;e=0;for i=1:3; e=e+(atan2(x(1)-X(i),x(2)-Y(i)-theta(i)/sigma(i)2;ende=e+(d4-sqrt(x(1)-X(4)2+(x(2)-Y(4)2)/sigma4)2;主程序：x0=900,700; % 初值x,norm,res,exit,out=lsqnonlin(fun,x0)12.火箭發(fā)射小型火箭初始質(zhì)量為900千克，其中包括600千克燃料?；鸺Q直向上發(fā)射時(shí)燃料以15千克/秒的速率燃燒掉，由此產(chǎn)生30000牛頓的恒定推力。當(dāng)燃料用盡時(shí)引擎關(guān)閉。設(shè)火箭上升的整個(gè)過(guò)程中，空氣阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)為0.4（

31、千克/米）。重力加速度取9.8米/秒2.A. 建立火箭升空過(guò)程的數(shù)學(xué)模型（微分方程）；B. 求引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度、速度、及火箭到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間和高度。參考解答: 小型火箭初始質(zhì)量為900千克，其中包括600千克燃料。 模型分兩段：1） m=900-15t , t1 =600/15=40秒為引擎關(guān)閉時(shí)刻。2） ，m=300Matlab 程序function dx=diff1(t,x)k=0.4;T=30000;g=9.8;m=900-15*t;dx=x(2);(-k*x(2)2+T-m*g)/m;x0=0;0;tspan=0,40;t,x=ode45(diff1,tspan,x0) ;fun

32、ction dx=diff2(t,x)k=0.4;g=9.8;m=300;dx=x(2);(-k*x(2)2 -m*g)/m;x0=8323;259;tspan=0,40;t,x=ode45(diff2,tspan,x0) ;引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度8323米，速度259米/秒，加速度0.7709米/秒2， 99.2291米/秒2；到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間51秒，高度9192米。學(xué)生訓(xùn)練題：一個(gè)二級(jí)火箭的總重量為2800公斤。第一級(jí)火箭的重量為1000公斤，其中燃料為800公斤。第一級(jí)火箭燃料燃燒完畢后自動(dòng)脫落，第二級(jí)火箭立即繼續(xù)燃燒。第二級(jí)火箭中的燃料為600公斤。假設(shè)火箭垂直向上發(fā)射，兩級(jí)火箭中的燃

33、料同質(zhì)，燃燒率為15公斤/秒，產(chǎn)生的推力為30000牛頓?；鸺仙龝r(shí)空氣阻力正比于速度的平方，比例系數(shù)為0.4公斤/米。（1）建立第一級(jí)火箭燃燒時(shí)火箭運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型，并求第一級(jí)火箭脫落時(shí)的高度、速度和加速度；（2）建立第二級(jí)火箭燃燒時(shí)火箭運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型，并求火箭所有燃料燃燒完畢瞬間的高度、速度、和加速度。（提示：牛頓第二定律f=ma，其中f為力，m為質(zhì)量，a為加速度。重力加速度9.8米/平方秒。）答案：第一級(jí)火箭：模型建立設(shè)時(shí)間變量t，高度為h(t)。第一級(jí)火箭模型為令：，則有計(jì)算結(jié)果：第一級(jí)火箭燃燒完畢瞬間：t=53.333秒，高度：2620.0(米)，速度：114.6米/秒，加速度：5.2

34、米/平方秒。第二級(jí)火箭：模型建立設(shè)時(shí)間變量t，高度為h(t)。第二級(jí)火箭模型為令：，則有計(jì)算結(jié)果：第二級(jí)火箭燃燒完畢瞬間：t=93.333秒，高度：9400.2米，速度：205.2米/秒，加速度： -2666.0米/平方秒?；鸺淖畲蟾叨龋耗Ｐ徒⒃O(shè)時(shí)間變量t，高度為h(t)。第二級(jí)火箭模型為計(jì)算結(jié)果：達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)間t=93.333+15.31=108.643秒，高度： 10733米。13.數(shù)據(jù)處理設(shè)計(jì)題目 某地區(qū)作物生長(zhǎng)所需的營(yíng)養(yǎng)素主要是氮（ N ）、鉀（ K ）、磷（ P ）。某作物研究所在某地區(qū)對(duì)土豆與生菜做了一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下列表所示，其中 ha 表示公頃， t 表示噸， kg 表示公斤。當(dāng)一個(gè)營(yíng)養(yǎng)素的施肥量變化時(shí)，總將另兩個(gè)營(yíng)養(yǎng)素的施肥量保持在第七個(gè)水平上，如對(duì)土豆產(chǎn)量關(guān)于 N 的施肥量做實(shí)驗(yàn)時(shí)， P 與 K 的施肥量分別取為 196kg ha 與 372kg ha 。若氮（ N ）、鉀（ K ）、磷（ P ）和土豆、生菜的市場(chǎng)價(jià)格如表1所示：表1 市場(chǎng)價(jià)格（元/噸）商品 N PK 土豆生菜 價(jià)格350 320