濃度問題之十字交叉法

1、濃度問題之十字交叉法濃度問題一個好玩的故事熊喝豆?jié){黑熊領(lǐng)著三個弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過了狐貍開的豆?jié){店。只見店門口張貼著廣告：“既甜又濃的豆?jié){每杯0.3元?！焙谛鼙阏泻舻艿軅冃_，一起來喝豆?jié){。黑熊從狐貍手中接過一杯豆?jié){，給最小的弟弟喝掉，加滿水后給老三喝掉了，再加滿水后，又給老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。狐貍開始收錢了，他要求黑熊最小的弟弟付出0.30.05(元)；老三0.30.1(元)；老二與黑熊付的一樣多，0.30.15(元)。兄弟一共付了0.45元。兄弟們很驚訝，不是說，一杯豆?jié){0.3元，為什么多付0.450.30.15元？肯定是黑熊再敲詐我們。不服氣的

2、黑熊嚷起來：“多收我們堅(jiān)決不干?！薄安唤o，休想離開?！爆F(xiàn)在，說說為什么會這樣呢？專題簡析：溶質(zhì)：在溶劑中的物質(zhì)。溶劑：溶解溶質(zhì)的液體或氣體。溶液：包含溶質(zhì)溶劑的混合物。在小升初應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題，即濃度問題。我們知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液糖+水）二者質(zhì)量的比值決定的。這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者質(zhì)量的比值叫酒精含量。因而濃度就是溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量的比值，通常用百分?jǐn)?shù)表示，即，濃度100100相關(guān)演化公式溶質(zhì)的

3、重量溶劑的重量溶液的重量 溶質(zhì)的重量溶液的重量100%濃度溶液的重量濃度溶質(zhì)的重量 溶質(zhì)的重量濃度溶液的重量解答濃度問題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問題時，根據(jù)題意列方程解答比較容易，在列方程時，要注意尋找題目中數(shù)量問題的相等關(guān)系。濃度問題變化多，有些題目難度較大，計算也較復(fù)雜。要根據(jù)題目的條件和問題逐一分析，也可以分步解答。例題1有含糖量為7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，在7的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度，糖的質(zhì)量增加了，糖水的質(zhì)量也增加了，但水的質(zhì)量并沒有改變。因此，可以先根據(jù)原來糖水中的濃度求出水的質(zhì)量，再根據(jù)后來糖水中的濃度

4、求出現(xiàn)在糖水的質(zhì)量，用現(xiàn)在糖水的質(zhì)量減去原來糖水的質(zhì)量就是增加的糖的質(zhì)量。 解: 原來糖水中水的質(zhì)量：600（17）558（克） 現(xiàn)在糖水的質(zhì)量 ：558（110）620（克） 加入糖的質(zhì)量 ：62060020（克） 答：需要加入20克糖。練習(xí)11、現(xiàn)在有濃度為20的糖水300克，要把它變成濃度為40的糖水，需要加糖多少克？2、有含鹽15的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20，需加鹽多少千克？3、有甲、乙兩個瓶子，甲瓶里裝了200毫升清水，乙瓶里裝了200毫升純酒精。第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多？十字交叉法十字交

5、叉法可用于溶液濃度的計算，例如溶液的稀釋、濃縮或混合等計算題。使用此法，使解題過程簡便、快速、正確。下面通過例題介紹十字交叉法的原理：同一物質(zhì)的甲、乙兩溶液的百分比濃度分別為a、b（ab），現(xiàn)用這兩種溶液配制百分比濃度為c的溶液。問取這兩種溶液的質(zhì)量比應(yīng)是多少？ 同一物質(zhì)的溶液，配制前后溶質(zhì)的質(zhì)量相等，利用這一原理可列式求解。設(shè)甲、乙兩溶液各取m1、m2克，兩溶液混合后的溶液質(zhì)量是（m1m2）克。列式m1am2b=（m1 m2）c，把此式整理得：m1：m2=（c-b）/（a-c），m1：m2就是所取甲、乙兩溶液的質(zhì)量比。 為了便于記憶和運(yùn)算，若用C濃代替a，C稀代替b，C混代替C 如圖 把上式

6、寫成十字交叉法的一般形式，在運(yùn)用十字交叉法進(jìn)行計算時要注意，斜找差數(shù)，橫看結(jié)果。 例題2 將20的鹽水與5的鹽水混合，配成15的鹽水600克，需要20的鹽水和5的鹽水各多少克？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，將20的鹽水與5的鹽水混合配成15的鹽水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質(zhì)量和與混合后鹽水中鹽的質(zhì)量是相等的?？筛鶕?jù)這一數(shù)量間的相等關(guān)系列方程解答。 解：設(shè)20的鹽水需x克，則5的鹽水為600x克，那么 20x+（600x）560015 X 400 600400200（克） 答：需要20的鹽水400克，5的鹽水200克。方法二解：用十字交叉法：15%20鹽水5鹽水20%5%10%5%10%5%=2：1配成

7、15的鹽水600克，所需20的鹽水與5的鹽水比例為2：1，即需要20的鹽水600(2/3）=400克，需要5的鹽水600(1/3）=200克，（或者600400200克） 答：需要20的鹽水400克，5的鹽水200克。練習(xí)21、兩種鋼分別含鎳5和40，要得到140噸含鎳30的鋼，需要含鎳5的鋼和含鎳40的鋼各多少噸？2、甲、乙兩種酒各含酒精75和55，要配制含酒精65的酒3000克，應(yīng)當(dāng)從這兩種酒中各取多少克？例題3現(xiàn)有濃度為10的鹽水20千克。再加入多少千克濃度為30的鹽水，可以得到濃度為22的鹽水？【思路導(dǎo)航】這是一個溶液混合問題?；旌锨?、后溶液的濃度改變了，但總體上溶質(zhì)及溶液的總質(zhì)量沒有

8、改變。所以，混合前兩種溶液中溶質(zhì)的和等于混合后溶液中的溶質(zhì)的量。解: 20千克10的鹽水中含鹽的質(zhì)量 20102（千克） 混合成22時，20千克溶液中含鹽的質(zhì)量 2022404（千克） 需加30鹽水溶液的質(zhì)量 （4.42）（3022）30（千克） 答：需加入30千克濃度為30的鹽水，可以得到濃度為22的鹽水。方法二解：用十字交叉法：練習(xí)31、在100千克濃度為50的硫酸溶液中，再加入多少千克濃度為5的硫酸溶液就可以配制成25的硫酸溶液？2、濃度為70的酒精溶液500克與濃度為50的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？3、在20的鹽水中加入10千克水，濃度為15。再加入多少千克鹽

9、，濃度為25？例題4一種35的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35的農(nóng)藥加多少千克水，才能配成1.75的農(nóng)藥800千克？【思路導(dǎo)航】把濃度高的溶液經(jīng)添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^程稱為稀釋。在這種稀釋過程中，溶質(zhì)的質(zhì)量是不變的。這是解這類問題的關(guān)鍵。解: 800千克1.75的農(nóng)藥含純農(nóng)藥的質(zhì)量為 8001.7514（千克） 含14千克純農(nóng)藥的35的農(nóng)藥質(zhì)量為 143540（千克） 由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為 80040760（千克） 答：用40千克的濃度為35的農(nóng)藥中添加760千克水，才能配成濃度為1.75的農(nóng)藥800千克。方法二解：用十字交叉法：練

10、習(xí)41、用含氨0.15的氨水進(jìn)行油菜追肥。現(xiàn)有含氨16的氨水30千克，配置時需加水多少千克？2、倉庫運(yùn)來含水量為90的一種水果100千克。一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80。現(xiàn)在這批水果的質(zhì)量是多少千克？3、一容器內(nèi)裝有10升純酒精，倒出2.5升后，用水加滿；再倒出5升，再用水加滿。這時容器內(nèi)溶液的濃度是多少？例題5 甲、乙、丙3個試管中各盛有10克、20克、30克水。把某種質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中?，F(xiàn)在丙管中的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.5。最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？混合后甲、乙、丙3個試管中應(yīng)有的鹽水分別是20克、30

11、克、40克。根據(jù)題意，可求出現(xiàn)在丙管中鹽的質(zhì)量。又因?yàn)楸苤性瓉碇挥?0克的水，它的鹽是從10克鹽水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克鹽水中鹽的質(zhì)量。而乙管里的鹽又是從10克鹽水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克鹽水中鹽的質(zhì)量。而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管中鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。 丙管中鹽的質(zhì)量：（30+10）0.502（克） 倒入乙管后，乙管中鹽的質(zhì)量：0.2【（20+10）10】0.6（克） 倒入甲管，甲管中鹽的質(zhì)量：0.6【（10+10）10】1.2（克） 1.21012 答：最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是12。練習(xí)51、從裝滿100克80的鹽水中倒

12、出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？2、甲容器中又8的鹽水300克，乙容器中有12.5的鹽水120克。往甲、乙兩個容器分別倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的濃度一樣。每個容器應(yīng)倒入多少克水？3、甲種酒含純酒精40，乙種酒含純酒精36，丙種酒含純酒精35。將三種酒混在一起得到含酒精38.5的酒11千克。已知乙種酒比丙種酒多3千克，那么甲種酒有多少千克？十字交叉法的其他應(yīng)用數(shù)學(xué)統(tǒng)計某班一次數(shù)學(xué)測試，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，則女生人數(shù)是男生人數(shù)的多少倍?( ) A. 0.5 B. 1 C. 1

13、.5 D. 2 生活問題一公斤雞蛋有18個，一公斤鴨蛋有12個，一公斤雞蛋和鴨蛋共有15個，則一公斤雞蛋和鴨蛋中雞蛋對鴨蛋個數(shù)比多大？較復(fù)雜的利潤問題例2、某商店花10000進(jìn)了一批商品，按期望獲得相當(dāng)于進(jìn)價25%的利潤來定價。結(jié)果只銷售了商品總量的30%。為盡快完成資金周轉(zhuǎn)，商店決定打折銷售，這樣賣完全部商品后，虧本1000元。問商店是按定價打幾折銷售的？A、九折B、七五折C、六折D、四八折解析：該題屬于利潤問題，根據(jù)條件，這批商品分兩個部分出售：30%的商品按25%的利潤來定價出售，70%的商品打折后出售，最后總虧本1000元，即總利潤為-10%。設(shè)打折后出售的70%的商品的利潤率為x，可

14、用十字交叉法表示如下：得方程：，解得x=-25%。則：106答案選C。濃度問題的方法總結(jié)基本公式濃度100100相關(guān)演化公式的重量的重量溶液的重量的重量的重量100%濃度 的重量濃度溶質(zhì)的重量 溶液的重量十字交叉法的方法總結(jié)濃度之十字交叉質(zhì)量之十字交叉作 業(yè) 題 “稀釋”問題：特點(diǎn)是加“溶劑”，解題關(guān)鍵是找到始終不變的量（溶質(zhì)）。1、 要把30克含鹽16%的鹽水稀釋成含鹽0.15%的鹽水，須加水多少克？2、現(xiàn)有燒堿35克，配制成濃度為28%的燒堿溶液，須加多少水？ “濃縮”問題：特點(diǎn)是減少溶劑，解題關(guān)鍵是找到始終不變的量（溶質(zhì)）。2、 在含鹽0.5%的鹽水中蒸去了236千克水，就變成了含鹽30%的鹽水，問原來的鹽水是多少千克？4、要從含鹽12.5%的鹽水40千克中蒸去多少水分才能制出含鹽20%的鹽水？ “加濃”問題：特點(diǎn)是增加溶質(zhì)，解題關(guān)鍵是找到始終不變的量（溶劑）。5、有含鹽8%的鹽水40千克，要配制成含鹽20%的鹽水，須加鹽多少千克？配制問題：是指兩種或兩種以上的不同濃度的溶液混合配制成新溶液（成品），解題關(guān)鍵是分析所取原溶液的溶質(zhì)與成品溶質(zhì)不變及溶液前后質(zhì)量不變，找到兩個等量關(guān)系。6、把含鹽5%的食鹽水與含鹽8%的食鹽水混合制成含鹽6%的食鹽水600克，分別應(yīng)取兩種食鹽水各多少千克?7、在濃度為