高中數(shù)學解題宜用“添”字訣

1、高中數(shù)學解題宜用“添”字訣 所謂“添”，即往待解問題中添加若干必要的點、線、面、式、參數(shù)、坐標系等要素，使條件更趨于完善、豐滿，以降低思維起點，利于問題的解決。下面舉例說明。一、添加輔助線或圖形例1. 如圖1，四棱錐SABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，求面ASD與面BSC所成二面角的大小。分析：本題是求“無棱”二面角的大小。若已知二面角的一個公共點，又能在二面角的兩個面內(nèi)找到兩條互相平行的直線，則過這個公共點作兩條平行線的平行線，即為二面角的棱。解：作STAD，則ST是面SDA與面BSC的交線。由SD底面ABCD，則SDAD，從而SDST，底面是正方形，BCCD，由三垂

2、線定理有BCSC。又BCADST，從而SCST，故CSD為所求二面角的平面角。在RtSBC中，則在RtSDC中，CSD45，故面ASD與面BSC所成二面角的大小為45。評注：求“無棱”二面角的大小是立體幾何中的一個難點，解決這類問題的策略之一就是添加二面角的棱，其途徑一般有兩種：（1）如上分析所述方法；（2）找出兩個半平面的兩個公共點，由兩點確定一條直線，實現(xiàn)化“無棱”為有棱。例2. 求證：分析：本題若用三角方法來證明。則很難奏效；倘若添加一個單位圓，借助單位圓，利用面積公式，便可得如下簡捷證法。證明：構(gòu)造單位圓如圖2，則由于所以即二、添加直角坐標系直角坐標系實現(xiàn)了數(shù)與形之間的真溝通。添加它，

3、可使我們的解題工作左右逢源。例3. 某人在山坡P處觀看對面山崖頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC80（米），塔所在的山高OB220（米），OA200（米），圖中所示的山坡可視為直線l，且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為，試問，此人距水平地面多遠時，觀看塔的視角BPC最大（不計此人的身高）？解：如圖所示：建立平面直角坐標系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300）。直線l的方程為即設(shè)點P（x，y），則由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式得又由直線PC到直線PB的角的公式得要使達到最大，只須達到最小。由均值不等式得當且僅當時，上式取得等號，故當時，最大。這時，點P的縱坐標y為由此實際問題知，所以最大時，BPC最大。故當此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角BPC最大。三、添加向量例4. 已知求證證明：構(gòu)造由得則所以評注：本題通過巧妙添加向量，賦予題目新的意境，運用解決問題，讓人回味無窮。四、添加函數(shù)函數(shù)是聯(lián)系運動與靜止，變化與定值的有力工具，解題時，若能恰到好處地添加它，會對解題工作帶來很大的幫助。例5. 若則（ ） A. B. C. D. 解：我們引入函數(shù)可得有（1）當時，為增函數(shù)；（2）當時，為減函數(shù)。于是得，刪除A，D，又知于是選C。五、添加輔助等式例