帶電粒子在復(fù)合場中常見的三種運(yùn)動軌跡

1、熱點(diǎn)專題突破系列(七) 帶電粒子在復(fù)合場中常見的 三種運(yùn)動軌跡 【熱點(diǎn)概述】【熱點(diǎn)概述】 帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動是歷屆高考中的壓軸題帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動是歷屆高考中的壓軸題, ,所以研究帶所以研究帶 電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的求解方法電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的求解方法, ,欣賞帶電粒子在復(fù)合場中欣賞帶電粒子在復(fù)合場中 運(yùn)動的軌跡運(yùn)動的軌跡, ,可以激發(fā)學(xué)生在探究中學(xué)會欣賞可以激發(fā)學(xué)生在探究中學(xué)會欣賞, ,在欣賞中促進(jìn)提在欣賞中促進(jìn)提 高。高。 當(dāng)帶電粒子沿不同方向進(jìn)入復(fù)合場時當(dāng)帶電粒子沿不同方向進(jìn)入復(fù)合場時, ,粒子做各種各樣的運(yùn)動粒子做各種各樣的運(yùn)動, , 形成了異彩紛呈的軌跡圖形形成了異彩紛呈的

2、軌跡圖形, ,常見的有常見的有“拱橋拱橋”形、形、“心連心心連心” 形、形、“葡萄串葡萄串”形等。形等。 【熱點(diǎn)透析】【熱點(diǎn)透析】 1.“1.“拱橋拱橋”形：帶電粒子在磁場和電場中交替運(yùn)動形：帶電粒子在磁場和電場中交替運(yùn)動, ,在磁場中在磁場中 的軌跡為半圓的軌跡為半圓, ,進(jìn)入電場時速度方向與電場線平行進(jìn)入電場時速度方向與電場線平行, ,粒子在電場粒子在電場 中做直線運(yùn)動中做直線運(yùn)動, ,如果粒子在電場中做往復(fù)運(yùn)動如果粒子在電場中做往復(fù)運(yùn)動, ,則粒子運(yùn)動的軌則粒子運(yùn)動的軌 跡為跡為“拱橋拱橋”形。形。 【例證【例證1 1】如圖所示如圖所示, ,在在x x軸上方有垂直于軸上方有垂直于xOyx

3、Oy平面的勻強(qiáng)磁場平面的勻強(qiáng)磁場, , 磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,B,在在x x軸下方有沿軸下方有沿y y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場, ,場強(qiáng)為場強(qiáng)為E,E, 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為q q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O O沿著沿著y y軸正方向射出軸正方向射出, , 射出之后射出之后, ,第三次到達(dá)第三次到達(dá)x x軸時軸時, ,它與它與O O點(diǎn)的距離為點(diǎn)的距離為L,L,求此時粒子射求此時粒子射 出時的速度大小和運(yùn)動的總路程出時的速度大小和運(yùn)動的總路程( (重力不計重力不計) )。 【解析】【解析】畫出粒子運(yùn)動軌跡，如圖所示，形成畫出粒子運(yùn)動軌跡，如圖所示，形

4、成“拱橋拱橋”圖形。圖形。 由題可知粒子軌道半徑由題可知粒子軌道半徑R= R= 。由牛頓運(yùn)動定律知粒子運(yùn)動速率。由牛頓運(yùn)動定律知粒子運(yùn)動速率 為為v=v= 設(shè)粒子進(jìn)入電場后沿設(shè)粒子進(jìn)入電場后沿y y軸負(fù)方向做減速運(yùn)動的最大位移為軸負(fù)方向做減速運(yùn)動的最大位移為y y，由，由 動能定理知動能定理知 ，得，得y=y= 所以粒子運(yùn)動的總路程為所以粒子運(yùn)動的總路程為 答案：答案： L 4 BqRBqL m4m 2 1 mvqEy 2 22 qB L 32mE 22 qB L1 sL 16mE2 。 22 BqLqB L1 L 4m16mE2 2.“2.“心連心心連心”形：當(dāng)帶電粒子在相鄰的磁感應(yīng)強(qiáng)度不同

5、的磁場形：當(dāng)帶電粒子在相鄰的磁感應(yīng)強(qiáng)度不同的磁場 中做勻速圓周運(yùn)動時中做勻速圓周運(yùn)動時, ,其半徑不同其半徑不同, ,因此粒子運(yùn)動的軌跡為兩個因此粒子運(yùn)動的軌跡為兩個 半圓的相互交叉半圓的相互交叉, ,稱為稱為“心連心心連心”形。形。 【例證【例證2 2】如圖所示如圖所示, ,一理想磁場以一理想磁場以x x軸為界軸為界, ,下方磁場的磁感應(yīng)下方磁場的磁感應(yīng) 強(qiáng)度是上方磁感應(yīng)強(qiáng)度強(qiáng)度是上方磁感應(yīng)強(qiáng)度B B的兩倍。今有一質(zhì)量為的兩倍。今有一質(zhì)量為m m、電荷量為、電荷量為+q+q 的粒子的粒子, ,從原點(diǎn)從原點(diǎn)O O沿沿y y軸正方向以速度軸正方向以速度v v0 0射入磁場中射入磁場中, ,求此粒

6、子從求此粒子從 開始進(jìn)入磁場到第四次通過開始進(jìn)入磁場到第四次通過x x軸的位置和時間軸的位置和時間( (重力不計重力不計) )。 【解析】【解析】由由r= r= 知粒子在知粒子在x x軸上方做圓周運(yùn)軸上方做圓周運(yùn) 動的軌道半徑動的軌道半徑r r1 1= = ，在，在x x軸下方做圓周運(yùn)軸下方做圓周運(yùn) 動的軌道半徑動的軌道半徑r r2 2= = ，所以，所以r r1 1=2r=2r2 2?，F(xiàn)作出?，F(xiàn)作出 帶電粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，形成帶電粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，形成“心連心連 心心”圖形，所以粒子第四次經(jīng)過圖形，所以粒子第四次經(jīng)過x x軸的位置和時間分別為軸的位置和時間分別為 答案：答案：在在

7、x x軸正方向上距軸正方向上距O O點(diǎn)點(diǎn) 處處 mv Bq 0 mv Bq 0 mv 2Bq 0 1 12 2mv x2r Bq 2 m2 m3 m tTT Bq2BqBq 0 2mv Bq 3 m Bq 3.“3.“葡萄串葡萄串”形：在某一空間同時存在重力場、電場及周期性形：在某一空間同時存在重力場、電場及周期性 變化的磁場變化的磁場, ,若電荷所受電場力與重力平衡時若電荷所受電場力與重力平衡時, ,無磁場時電荷做無磁場時電荷做 勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動, ,有磁場時電荷做圓周運(yùn)動有磁場時電荷做圓周運(yùn)動, ,此時電荷的運(yùn)動軌跡此時電荷的運(yùn)動軌跡 為直線與圓周的結(jié)合為直線與圓周的結(jié)合, ,稱為

8、稱為“葡萄串葡萄串”形。形。 【例證【例證3 3】如圖甲所示如圖甲所示, ,互相平行且水平放置的金屬板互相平行且水平放置的金屬板, ,板長板長 L=1.2m,L=1.2m,兩板距離兩板距離d=0.6m,d=0.6m,兩板間加上兩板間加上U=0.12VU=0.12V恒定電壓及隨時恒定電壓及隨時 間變化的磁場間變化的磁場, ,磁場變化規(guī)律如圖乙所示磁場變化規(guī)律如圖乙所示, ,規(guī)定磁場方向垂直紙規(guī)定磁場方向垂直紙 面向里為正。當(dāng)面向里為正。當(dāng)t=0t=0時時, ,有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m=2.0m=2.01010-6 -6kg kg、電荷量、電荷量 q=+1.0q=+1.01010-4 -4C C的粒

9、子從極板左側(cè)以 的粒子從極板左側(cè)以v v0 0=4.0=4.010103 3m/sm/s的速度沿與的速度沿與 兩板平行的中線兩板平行的中線OOOO射入射入, ,取取g=10m/sg=10m/s2 2、=3.14=3.14。求：。求： 【解析】【解析】(1)(1)由題意知：由題意知：Eq= q=2.0Eq= q=2.01010-5 -5N N 而而mg=2.0mg=2.01010-5 -5N, N,顯然顯然Eq=mgEq=mg 故粒子在故粒子在0 01.01.01010-4 -4s s時間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動 時間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動, , 因?yàn)橐驗(yàn)閠=1.0t=1.01010-4 -4s, s, 所以

10、所以x=vx=v0 0t=0.4mt=0.4m U d (1)(1)粒子在粒子在0 01.01.01010-4 -4s s內(nèi)位移的大小 內(nèi)位移的大小x;x; (2)(2)粒子離開中線粒子離開中線OOOO的最大距離的最大距離h;h; (3)(3)粒子在板間運(yùn)動的時間粒子在板間運(yùn)動的時間t;t; (4)(4)畫出粒子在板間運(yùn)動的軌跡圖。畫出粒子在板間運(yùn)動的軌跡圖。 (2)(2)在在1.01.01010-4 -4 2.02.01010-4 -4s s時間內(nèi) 時間內(nèi), , 電場力與重力平衡電場力與重力平衡, ,粒子做勻速圓周運(yùn)動粒子做勻速圓周運(yùn)動, , 因?yàn)橐驗(yàn)門= =1.0T= =1.01010-4

11、 -4s s 故粒子在故粒子在1.01.01010-4 -4 2.02.01010-4 -4s s時間內(nèi)恰好完成一個周期圓周 時間內(nèi)恰好完成一個周期圓周 運(yùn)動運(yùn)動 由牛頓第二定律得：由牛頓第二定律得：qvqv0 0B=B= R= =0.064mR= =0.064mh=2R=0.128m h=2R=0.128m 。 所以粒子離開中線所以粒子離開中線OOOO的最大距離的最大距離h=0.128mh=0.128m。 2 m qB 2 0 mv R 0 mv qB d 2 (3)(3)板長板長L=1.2m=3xL=1.2m=3x t=2T+3t=5.0t=2T+3t=5.01010-4 -4s s (4

12、)(4)軌跡如圖軌跡如圖 答案：答案：見解析見解析 【熱點(diǎn)集訓(xùn)】【熱點(diǎn)集訓(xùn)】 1.1.在真空中在真空中, ,半徑為半徑為R R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁 場場, ,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,B,在此區(qū)域外圍足夠大空間有垂直紙面在此區(qū)域外圍足夠大空間有垂直紙面 向內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為向內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B B的勻強(qiáng)磁場的勻強(qiáng)磁場, ,一個帶正電粒子從邊一個帶正電粒子從邊 界上的界上的P P點(diǎn)沿半徑向外點(diǎn)沿半徑向外, ,以速度以速度v v0 0進(jìn)入外圍磁場進(jìn)入外圍磁場, ,已知帶電粒子已知帶電粒子 質(zhì)量質(zhì)量m=2m=21010-10 -

13、10kg, kg,帶電荷量帶電荷量q=5q=51010-6 -6C, C,不計重力不計重力, ,磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度 的大小的大小B=1T,B=1T,粒子運(yùn)動速度粒子運(yùn)動速度v v0 0=5=510103 3m/s,m/s,圓形區(qū)域半徑圓形區(qū)域半徑R=0.2m,R=0.2m, 試畫出粒子運(yùn)動軌跡并求出粒子第一次回到試畫出粒子運(yùn)動軌跡并求出粒子第一次回到P P點(diǎn)所需時間點(diǎn)所需時間( (計算計算 結(jié)果可以用結(jié)果可以用表示表示) )。 【解析】【解析】由洛倫茲力提供向心力得：由洛倫茲力提供向心力得：qvqv0 0B=B= 解得：解得：r=0.2m=Rr=0.2m=R 軌跡如圖所示軌跡如圖所示 粒子做

14、圓周運(yùn)動的周期為粒子做圓周運(yùn)動的周期為 T= =8T= =81010-5 -5s s 則粒子第一次回到則粒子第一次回到P P點(diǎn)所需時間為點(diǎn)所需時間為t=2T=16t=2T=161010-5 -5s s。 。 答案：答案：圖見解析圖見解析16161010-5 -5s s 2 0 mv r 0 2 r v 2.(20132.(2013梧州模擬梧州模擬) )如圖所示如圖所示, ,半徑分別為半徑分別為 a a、b b的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電 場和磁場場和磁場, ,中心中心O O處固定一個半徑很小處固定一個半徑很小( (可忽可忽 略略) )的金屬球的金屬球, ,在

15、小圓空間內(nèi)存在沿半徑向在小圓空間內(nèi)存在沿半徑向 內(nèi)的輻向電場內(nèi)的輻向電場, ,小圓周與金屬球間電勢差為小圓周與金屬球間電勢差為 U,U,兩圓之間的空間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場兩圓之間的空間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場, ,設(shè)有一個設(shè)有一個 帶負(fù)電的粒子從金屬球表面沿帶負(fù)電的粒子從金屬球表面沿+x+x軸方向以很小的初速度逸出軸方向以很小的初速度逸出, , 粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量為m,m,電量為電量為q,(q,(不計粒子重力不計粒子重力, ,忽略粒子初速度忽略粒子初速度) )求：求： (1)(1)粒子到達(dá)小圓周上時的速度為多大粒子到達(dá)小圓周上時的速度為多大? ? (2)(2)粒子以粒子以(1)(1

16、)中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場中中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場中, ,當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超 過某一臨界值時過某一臨界值時, ,粒子將不能到達(dá)大圓周粒子將不能到達(dá)大圓周, ,求此最小值求此最小值B B。 (3)(3)若磁感應(yīng)強(qiáng)度取若磁感應(yīng)強(qiáng)度取(2)(2)中最小值中最小值, ,且且b=( +1)a,b=( +1)a,要粒子恰好第要粒子恰好第 一次沿逸出方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn)一次沿逸出方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn), ,粒子需經(jīng)過多少次回粒子需經(jīng)過多少次回 旋旋? ?并求粒子在磁場中運(yùn)動的時間。并求粒子在磁場中運(yùn)動的時間。( (設(shè)粒子與金屬球正碰后電設(shè)粒子與金屬球正碰后電 荷量不變且能以原速率原路返回荷

17、量不變且能以原速率原路返回) ) 2 【解析】【解析】(1)(1)粒子在電場中加速，根據(jù)動能定理得：粒子在電場中加速，根據(jù)動能定理得： 所以所以v=v= (2)(2)粒子進(jìn)入磁場后，受洛倫茲力而做勻速圓粒子進(jìn)入磁場后，受洛倫茲力而做勻速圓 周運(yùn)動，有周運(yùn)動，有 要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大半徑的圓要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大半徑的圓 與大圓周相切，如圖，則有與大圓周相切，如圖，則有 所以所以 聯(lián)立解得聯(lián)立解得B=B= 2 1 qUmv , 2 2qU m 2 v qBvm r 22 arbr 22 ba r 2b 22 2b2mU baq (3)(3)圖中圖中 , ,即即=45=45 則粒子在磁場中轉(zhuǎn)過則粒子在磁場中轉(zhuǎn)過=270=270，然后沿半徑進(jìn)入電場減速到達(dá)，然