求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式和求和的常用方法

1、求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式和求和的常用方法 求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，高考也往往通過考查遞推數(shù)列來考查學(xué)生對知識(shí)的探索能力，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項(xiàng)的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問題化為中學(xué)中所研究的等差或等比數(shù)列，下面就求遞推數(shù)列通向公式的常用方法舉例一二，供參考：一 公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例一 已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？【解析】： ， ， ，又， .反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本

2、題求解的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.二 歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例二 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：，猜測，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（略）反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.跟蹤訓(xùn)練2.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對于所有自然數(shù)，與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.三 累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.例三 已知無窮數(shù)列的的通項(xiàng)公

3、式是，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：,=1+=.反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練3.已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.四 累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如: 的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).例四 已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解析】：,又有=1=,當(dāng)時(shí)，滿足，.反思: 用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列滿足,.則的通項(xiàng)公式是.五 構(gòu)造新數(shù)列: 將遞推公式（為常數(shù)，）通過與原遞推公式恒等變成的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.例五 已知數(shù)列中, ,求的通項(xiàng)公式.【解析】:利用,求得,是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,即,反思

4、:.構(gòu)造新數(shù)列的實(shí)質(zhì)是通過來構(gòu)造一個(gè)我們所熟知的等差或等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練5.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.六 倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成 的形式的方法叫倒數(shù)變換.例六 已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】:將取倒數(shù)得: ,是以為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列. ,.反思:倒數(shù)變換有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項(xiàng),公差或公比變化了.跟蹤訓(xùn)練6.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.小結(jié):求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法很多,以上只是提供了幾種常見的方法,如果我們想在求遞推數(shù)列中游刃有余,需要在平時(shí)的練習(xí)中多觀察,多思考,還要不斷的總結(jié)經(jīng)驗(yàn)甚至教訓(xùn).參考答案:1. 證明：

5、由已知可得：，當(dāng)時(shí)，時(shí)，滿足上式. 的通項(xiàng)公式,時(shí)為常數(shù),所以為等比數(shù)列.2. 解:由已知可求,猜測.(用數(shù)學(xué)歸納法證明).3. 由已知,= .4.時(shí), ,作差得: ,.5. 6. 數(shù)列一、 求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式基礎(chǔ)類型 類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即 所以，類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，例3:已知， ，求。解： 。變式:（2004，全國I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n

6、2)，則an的通項(xiàng) 解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，即，又，將以上n個(gè)式子相乘，得類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_（key:）類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩

7、邊乘以得：令，則,解之得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解 (特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例6: 數(shù)列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故練習(xí):已知數(shù)列中，,，求。變式:（2006，福建,文,22）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（I）解： 類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。例7：數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的

8、關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4（其中p，q均為常數(shù)，）的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以類型7 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例8：已知數(shù)列中，求數(shù)列解：由兩邊取對數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例9：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，變式:（2006，江西,理,22）已知數(shù)列an滿足：a1，且an 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：（1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從

9、而1，據(jù)此得an（n1）類型9周期型解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例10：若數(shù)列滿足，若，則的值為_。變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列滿足，則=（ ）A0BCD二、數(shù)列的求和：(1)公式法：必須記住幾個(gè)常見數(shù)列前n項(xiàng)和 ； ； 10（遼寧卷）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求q的值；（）若a1與a5的等差中項(xiàng)為18，bn滿足，求數(shù)列的bn前n項(xiàng)和. ()解法一：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),.是等差數(shù)列,4分解法二：當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.又,所以,得.4分()解：,.又,8分又得.,即是等比數(shù)列.所以數(shù)列的前項(xiàng)和 (2)分組求和：如：求1+1,的前n項(xiàng)和（注：） (3)裂項(xiàng)法：如求Sn 常用的裂項(xiàng)有； ； （湖北卷）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要