【教案】選修1-1橢圓的定義 及其標準方程

1、2.1.1橢圓的定義與標準方程 知識與技能目標理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義、會用橢圓的定義解決實際問題；理解橢圓標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；了解求橢圓的動點的伴隨點的軌跡方程的一般方法 過程與方法目標（1）預習與引入過程當變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當截面不與圓錐的軸線或圓錐的母線平行時，截口曲線是橢圓，再觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；第二、你能舉出現(xiàn)實生活中圓錐曲線的例子當學生把上述兩個問題回答清楚后，要引導學生一起探

2、究P41頁上的問題（同桌的兩位同學準備無彈性的細繩子一條（約10cm長，兩端各結(jié)一個套），教師準備無彈性細繩子一條（約60cm，一端結(jié)個套，另一端是活動的），圖釘兩個）當套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是橢圓啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆?。▌狱c）滿足的幾何條件是什么？板書211橢圓及其標準方程（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到橢圓的定義板書把平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓（ellipse）其中這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩定點間的距離叫做橢圓的焦距即當動點設為時，橢圓即為點集（ii）橢圓標準方程的推導過程提問：已知圖形，建立直角坐

3、標系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關系 無理方程的化簡過程是教學的難點，注意無理方程的兩次移項、平方整理 設參量的意義：第一、便于寫出橢圓的標準方程；第二、的關系有明顯的幾何意義 類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的橢圓的標準方程（iii）例題講解與引申例1 已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，并且經(jīng)過點，求它的標準方程分析：由橢圓的標準方程的定義及給出的條件，容易求出引導學生用其他方法來解另解：設橢圓的標準方程為，因點在橢圓上，則例2 如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？分析：點在圓上運動，由點移動引

4、起點的運動，則稱點是點的伴隨點，因點為線段的中點，則點的坐標可由點來表示，從而能求點的軌跡方程引申：設定點，是橢圓上動點，求線段中點的軌跡方程解法剖析：（代入法求伴隨軌跡）設，；（點與伴隨點的關系）為線段的中點，；（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），點的軌跡方程為；伴隨軌跡表示的范圍例3如圖，設，的坐標分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程分析：若設點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關系式，即得到點的軌跡方程解法剖析：設點，則，；代入點的集合有，化簡即可得點的軌跡方程引申：如圖，設的兩個頂點，頂點在移動，且，且，試求動點的軌跡方程

5、引申目的有兩點：讓學生明白題目涉及問題的一般情形；當值在變化時，線段的角色也是從橢圓的長軸圓的直徑橢圓的短軸 情感、態(tài)度與價值觀目標通過作圖展示與操作，必須讓學生認同：圓、橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線，是因它們都是平面與圓錐曲面相截而得其名；必須讓學生認同與體會：橢圓的定義及特殊情形當常數(shù)等于兩定點間距離時，軌跡是線段；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學生用對稱的美學思維來體現(xiàn)數(shù)學的和諧美；讓學生認同與領悟：例1使用定義解題是首選的，但也可以用其他方法來解，培養(yǎng)學生從定義的角度思考問題的好習慣；例2是典型的用代入法求動點的伴隨點的軌跡，培養(yǎng)學生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點解決問題；通過例3培養(yǎng)學生的對問題引申、分段討論的思維品質(zhì)能力目標（1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是橢圓、雙曲線和拋物線的實際例子，能用數(shù)學符號或自然語言的描述橢圓的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學術語和數(shù)學符號表示（2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力（3） 實踐能力：培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力（4） 數(shù)學活動能力：培養(yǎng)學生觀察、實驗