第五章平面的投影

1、 a b c a b c 不在同一不在同一 直線上的直線上的 三個點三個點 a b c a b c 直線及線直線及線 外一點外一點 a b c a b c d d 兩平行直線兩平行直線 a b c a b c 兩相交直線兩相交直線 a b c a b c 平面圖形平面圖形 V H P PV PH PV PH V H QV QH QH QV Q 平行平行垂直垂直 傾斜傾斜 投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把實形現(xiàn)投影就把實形現(xiàn) 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-投影類似原平面投影類似原平面 實形性實形性 類似性類

2、似性 積聚性積聚性 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 一般位置平面一般位置平面 特殊位置平面特殊位置平面 垂直于某一投影面，傾垂直于某一投影面，傾 斜于另兩個投影面斜于另兩個投影面 平行于某一投影面，垂平行于某一投影面，垂 直于另兩個投影面直于另兩個投影面 與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面 鉛垂面鉛垂面 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?V W H P PH A B C a c b a b a b b a c c c V W H Q QV a b a b b a c c c A c C a b

3、B V W H SWS C a b A B c a bb b a a c cc a b c a c b c b a 類似性類似性 類似性類似性 積聚性積聚性 鉛垂面鉛垂面 投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該 直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影 面夾角的大小。面夾角的大小。 另外兩個投影面上的投影有類似性。另外兩個投影面上的投影有類似性。 為什么？為什么？ 是什么位置是什么位置 的平面？的平面？ 水平面水平面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?V W H C A Ba b c b a c

4、ab c c abb b a acc V W H c a b b a c b c a b a c a b c b ca C B A V W H a b b b a c c c a b c b a c a b cC A B a a b c a b c a b c 積聚性積聚性 積聚性積聚性 實形性實形性 水平面水平面 投影特性：投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映實形。在它所平行的投影面上的投影反映實形。 另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行 的直線。的直線。 a b c b ac a b a bb a c c b a c C A

5、 B 判斷直線在平判斷直線在平 面內(nèi)的方法面內(nèi)的方法 定定 理理 一一 若一直線過平面若一直線過平面 上的兩點，則此上的兩點，則此 直線必在該平面直線必在該平面 內(nèi)。內(nèi)。 定定 理理 二二 若一直線過平面上的若一直線過平面上的 一點，且平行于該平一點，且平行于該平 面上的另一直線，則面上的另一直線，則 此直線在該平面內(nèi)。此直線在該平面內(nèi)。 平面上取任意直線平面上取任意直線 a b c b c a a b c b c a d m n n m d 例例1：已知平面由直線：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任所確定，試在平面內(nèi)任 作一條直線。作一條直線。 解法一解法一解法二解法二 根據(jù)定理二

6、根據(jù)定理二 根據(jù)定理一根據(jù)定理一 有多少解？有多少解？ 有無數(shù)解。有無數(shù)解。 例例2：在平面：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H面面 的距的距 離為離為10mm。 n m n m 10 c a b c a b 唯一解！唯一解！ 有多少解？有多少解？ 先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線， 然后再在該直線上確定點的位置。然后再在該直線上確定點的位置。 例例1：已知：已知K點在平面點在平面ABC上，求上，求K點的水平投影。點的水平投影。 b a c c a k b k 面上取點的方法：面上取點的方法： 首先面上取線首先面

7、上取線 a b c a b k c d k d 利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解 d d a b c a b c e e b c k a d a d b c a d a d b c k b c 例例3 3：已知：已知ACAC為正平線，補全平行四邊形為正平線，補全平行四邊形 ABCDABCD的水平投影。的水平投影。 解法一解法一 解法二解法二 a b c b a c m n n m 例：在平面例：在平面ABC上取一點上取一點K，使點，使點K在點在點A之下之下 15mm、在點、在點A之前之前20mm處。處。 相對位置包括相對位置包括平行平行、相交

8、相交和和垂直垂直。 一、平行問題一、平行問題 直線與平面平行直線與平面平行 平面與平面平行平面與平面平行 包括包括 直線與平面平行直線與平面平行 定理：定理： 若一直線平行于平面上的某一直若一直線平行于平面上的某一直 線，則該直線與此平面必相互平行。線，則該直線與此平面必相互平行。 n a c b m a b c m n 例例1：過：過M點作直線點作直線MN平行于平面平行于平面ABC。 有無數(shù)解有無數(shù)解 有多少解？有多少解？ 正平線正平線 例例2：過：過M點作直線點作直線MN平行于平行于V面和平面和平 面面ABC。 c b a m a b c m n 唯一解唯一解 n f g f g b a

9、a b c e d e d c 結(jié)論：直線結(jié)論：直線ABAB不平行于定平面不平行于定平面 若一平面上的若一平面上的兩相交直兩相交直 線線對應(yīng)平行于另一平面上對應(yīng)平行于另一平面上 的的兩相交直線兩相交直線，則這兩平，則這兩平 面相互平行。面相互平行。 若兩若兩投影面垂直面投影面垂直面相相 互平行，則它們互平行，則它們具有積聚具有積聚 性性的那組投影必相互平行。的那組投影必相互平行。 f h a b c d e f h a b c d e c f b d e a a b c d e f 例題例題1 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行 f e d e d f c a a c b b m n m

10、 n r r s s 結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行 例題例題2 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。給定。 試過點試過點K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。 e m n m n fe f s r s r d d c a a c b b k k 直線與平面相交直線與平面相交 平面與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交直線與平面相交 直線與平面相交，其直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。交點是直線與平面的共有點。 要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面的交點。交點。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即

11、判別可見性。判別可見性。 我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊 位置的情況位置的情況。 a b cm n c n b a m 平面為特殊位置平面為特殊位置 例：求直線例：求直線MN與平面與平面ABC的交點的交點K并判別可見性。并判別可見性。 空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC是一鉛垂面，其是一鉛垂面，其 水平投影積聚成一條直線，該水平投影積聚成一條直線，該 直線與直線與mn的交點即為的交點即為K點的水點的水 平投影。平投影。 求交點求交點 判別可見性判別可見性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段段 在平面前，故正面投影上在平面前，故正面

12、投影上k n 為可見。為可見。 還可通過重影點判別可見性。還可通過重影點判別可見性。 k 1 (2 ) 作作 圖圖 k 2 1 k m(n) b m n c b a a c 直線為特殊位置直線為特殊位置 空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MN為鉛垂線，其水平為鉛垂線，其水平 投影積聚成一個點，故交點投影積聚成一個點，故交點K的的 水平投影也積聚在該點上。水平投影也積聚在該點上。 求交點求交點 判別可見性判別可見性 點點位于平面上，在前；點位于平面上，在前；點位位 于于MN上，在后。故上，在后。故k 2 為不可見。為不可見。 1 (2 ) k 2 1 作圖作圖 用面上取點用面上取點 法法 兩

13、平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的交線是兩平面的 共有線，共有線，同時同時交線上的點都是兩平面的共有點。交線上的點都是兩平面的共有點。 要討論的問題：要討論的問題： 求求兩平面的兩平面的交線交線 方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個共有點。兩個共有點。 確定確定一個共有點及交線的方向。一個共有點及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置 的情況。的情況。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。判別可見性。 可通過正面投影可通過正面投影 直觀地進行判別。直觀地進行判別。 a

14、b c d e f c f d b e a m (n ) 空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC與與DEF都為都為正正 垂面垂面，它們的正面投影都積，它們的正面投影都積 聚成直線。聚成直線。交線必為一條正交線必為一條正 垂線垂線，只要求得交線上的一只要求得交線上的一 個點便可作出交線的投影。個點便可作出交線的投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 作作 圖圖 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出， 在交線左側(cè)，平面在交線左側(cè)，平面ABC在上，在上， 其水平投影可見。其水平投影可見。 n m 能否不用重能否不用重 影點判別？影點判別？ 能能! 如何判別？如何判別？ 例：求兩平面的交線

15、例：求兩平面的交線 MN并判別可見性。并判別可見性。 b c f h a e a b c e f h 1(2) 空間及投影分析空間及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它是一水平面，它 的正面投影有積聚性。的正面投影有積聚性。a b 與與 e f 的交點的交點m 、 b c 與與f h 的交的交 點點n 即為兩個共有點的正面投即為兩個共有點的正面投 影，故影，故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點點在在FH上，點上，點在在BC 上，上，點點在上，點在上，點在下，故在下，故 fh可見，可見，n2不可見。不可見。 作作 圖圖 m n 2 n m 1 c d

16、 e f a b a b c d e f 投影分析投影分析 N點的水平投影點的水平投影n位位 于于def的外面，說明點的外面，說明點N 位于位于DEF所確定的平面所確定的平面 內(nèi)，但不位于內(nèi)，但不位于DEF這個這個 圖形內(nèi)。圖形內(nèi)。 所以所以ABC和和DEF的的 交線應(yīng)為交線應(yīng)為MK。 n n m k m k 互交互交 重重 點點 掌掌 握握 二、如何在平面上確定直線和點。二、如何在平面上確定直線和點。 三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平 面內(nèi)的面內(nèi)的兩組相交直線對應(yīng)平行。兩組相交直線對應(yīng)平行。 四、直線與平面的交點及平面與平面的交線四、直線與平面的交

17、點及平面與平面的交線 是兩者的共有點或共有線。是兩者的共有點或共有線。 解題思路：解題思路： 空間及投影分析空間及投影分析 目的是找出交點或交線的已知投影。目的是找出交點或交線的已知投影。 判別可見性判別可見性尤其是尤其是如何利用重影點判別。如何利用重影點判別。 一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平尤其是特殊位置平 面的投影特性。面的投影特性。 一、各種位置平面的投影特性一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形類似性類似性。 在其垂直的投影面上的投影

18、積聚成直線在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性積聚性。 另外兩個投影類似。另外兩個投影類似。 在其平行的投影面上的投影反映實形在其平行的投影面上的投影反映實形 實形性實形性。 另外兩個投影積聚為直線。另外兩個投影積聚為直線。 二、平面上的點與直線二、平面上的點與直線 平面上的點平面上的點 一定位于平面內(nèi)的某條直線上一定位于平面內(nèi)的某條直線上 平面上的直線平面上的直線 過平面上的兩個點。過平面上的兩個點。 過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。 三、平行問題三、平行問題 直線與平面平行直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。直線平行于平面內(nèi)

19、的一條直線。 兩平面平行兩平面平行 必須是一個平面上的一對相交直線對應(yīng)平行必須是一個平面上的一對相交直線對應(yīng)平行 于另一于另一 個平面上的一對相交直線。個平面上的一對相交直線。 四、相交問題四、相交問題 求直線與平面的交點的方法求直線與平面的交點的方法 一般位置直線與特殊位置平面求交點，利用交點的共有一般位置直線與特殊位置平面求交點，利用交點的共有 性和平面的積聚性直接求解。性和平面的積聚性直接求解。 投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用交點的共投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用交點的共 有性和直線的積聚性，采取平面上取點的方法求解。有性和直線的積聚性，采取平面上取點的方法求解。 求兩平

20、面的交線的方法求兩平面的交線的方法 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時可找兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時可找 出兩平面的一個共有點，根據(jù)交線的投影特性畫出交線出兩平面的一個共有點，根據(jù)交線的投影特性畫出交線 的投影。的投影。 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平 面的積聚性找出兩平面的兩個共面的積聚性找出兩平面的兩個共 有點，求出交線。有點，求出交線。 特殊位置線面相交特殊位置線面相交 特殊位置線面相交，其交點的投影可利用直線或平面的特殊位置線面相交，其交點的投影可利用直線或平面的積積 聚性投影聚性投影直接求出。直接求出。 （l l）當直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，）當直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時， 交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一