2006年廣州地區(qū)高中競(jìng)賽+數(shù)列

1、由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式一準(zhǔn)備知識(shí)所謂數(shù)列，簡(jiǎn)單地說就是有規(guī)律的（有限或無限多個(gè)）數(shù)構(gòu)成的一列數(shù)，常記作an，an的公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式常用的數(shù)列有等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義數(shù)列an的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差anan1為常數(shù)d數(shù)列an的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)q（q0）專有名詞d為公差q為公比通項(xiàng)公式an=a1+（n1）dan=a1qn1前n項(xiàng)和Sn=Sn=數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系是：an=SnSn1（n2）有些數(shù)列不是用通項(xiàng)公式給出，而是用an與其前一項(xiàng)或前幾項(xiàng)的關(guān)系來給出的，例如：an1=2an+3，這樣的公式稱為數(shù)列的遞推公式由數(shù)列的遞推公式我們可以求出其通項(xiàng)公式

2、數(shù)列問題中一個(gè)很重要的思想是把數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推公式變形，然后將它看成新數(shù)列（通常是等差或等比數(shù)列）的通項(xiàng)公式或遞推公式，最后用新數(shù)列的性質(zhì)解決問題二例題精講例1（裂項(xiàng)求和）求Sn= 解：因?yàn)閍n=所以Sn=1例2（倒數(shù)法）已知數(shù)列an中，a1=，an+1=，求an的通項(xiàng)公式解：是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，即+2（n1）=an=練習(xí)1已知數(shù)列an中，a1=1，Sn=，求an的通項(xiàng)公式解：是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列=1+2（n1）=2n1，即Sn=an=SnSn1=an=例3（求和法，利用公式an=SnSn1，n2）已知正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=，求an的通項(xiàng)公式解：S1=a1=，

3、所以a1=1an=SnSn1 2Sn=SnSn1+Sn+Sn1=，即Sn2Sn12=1是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列Sn2=n，即Sn=an=SnSn1=（n2）an=例4（疊加法）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn2=3（）n1（n3），且S1=1，S2=，求an的通項(xiàng)公式解：先考慮偶數(shù)項(xiàng)有：S2nS2n2=3S2n2S2n4=3S4S2=3將以上各式疊加得S2nS2=3，所以S2n=2+再考慮奇數(shù)項(xiàng)有：S2n1S2n1=3S2n1S2n3=3S3S1=3將以上各式疊加得S2n1=2所以a2n+1=S2n+1S2n=43，a2n=S2nS2n1=4+3綜上所述an=，即an=（1）n1

4、例5（an+1=pan+r類型數(shù)列）在數(shù)列an中，an+1=2an3，a1=5，求an的通項(xiàng)公式解：an+13=2（an3）an3是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列an3=2nan=2n+3練習(xí)2在數(shù)列an中，a1=2，且an+1=，求an的通項(xiàng)公式解：an+12=an2+an+121=（an21）an+121是以3為首項(xiàng)，公比為的等差數(shù)列an+121=3，即an=例6（an+1=pan+f（n）類型）已知數(shù)列an中，a1=1，且an=an1+3n1，求an的通項(xiàng)公式解：（待定系數(shù)法）設(shè)an+p3n=an1+p3n1則an=an12p3n1，與an=an1+3n1比較可知p=所以是常數(shù)列，且a1

5、=所以=，即an=練習(xí)3已知數(shù)列an滿足Sn+an=2n+1，其中Sn是an的前n項(xiàng)和，求an的通項(xiàng)公式解：an=SnSn1Sn+SnSn1=2n+12Sn=Sn1+2n+1（待定系數(shù)法）設(shè)2（Sn+pn+q）=Sn1+p（n1）+q化簡(jiǎn)得：pnpq=2n+1，所以，即2（Sn2n+1）=Sn2（n1）+1，又S1+a1=2+1=3，S1=，S12+1=Sn2n+1是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列S n2n+1=，即Sn=+2n1，an=2n+1Sn=2例7（an+1=panr型）（2005年江西高考題）已知數(shù)列an各項(xiàng)為正數(shù)，且滿足a1=1，an+1=（1）求證：anan+10，所以log2（2an+1）=log2（2an）2=2log2（2an）1log2（2an+1）1=2log2（2an）1即log2（2an）1是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列l(wèi)og2（2an）1=12n1化簡(jiǎn)得an=2練習(xí)4（2006年廣州二模）已知函數(shù)（）在數(shù)列中，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：，從而有，由