1078傅里葉級數(shù)正弦余弦

1、1 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) ( (傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)Fourier series) 問題的提出問題的提出 第七第七 八節(jié)八節(jié) 傅里葉傅里葉( (Fourier) )級數(shù)級數(shù) 正弦級數(shù)或余弦級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 2 上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項(xiàng)級數(shù): : 冪級數(shù)冪級數(shù). . 下面研究另一種重要的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)下面研究另一種重要的函數(shù)項(xiàng)級數(shù): : 這種級數(shù)是由于這種級數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而研究周期現(xiàn)象的需要而 產(chǎn)生產(chǎn)生的的. 它在電

2、工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很 重要的應(yīng)用重要的應(yīng)用. 傅里葉傅里葉(Fourier,1768-1830) 法國數(shù)學(xué)家和法國數(shù)學(xué)家和 物理學(xué)家物理學(xué)家. 法國科學(xué)院院士法國科學(xué)院院士,英國皇家學(xué)會會員英國皇家學(xué)會會員. 傅里葉傅里葉 級數(shù)級數(shù). . 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 3 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 1757年年, ,法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引 起的攝動時起的攝動時, , 1759年年, ,拉格朗日在對聲學(xué)的研究中也使用拉格朗日在對聲學(xué)的研究中也使用 了了三角級數(shù)三角級數(shù). . 用三角函數(shù)的正交性得到了將

3、函數(shù)表示成三角用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角 1777年年, ,歐拉在研究天文學(xué)的時候歐拉在研究天文學(xué)的時候, , 級數(shù)時的系數(shù)級數(shù)時的系數(shù), , 也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù)也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù) 的系數(shù)的系數(shù). . 大膽地采用了大膽地采用了 歷史朔源歷史朔源 三角級數(shù)三角級數(shù)表示函數(shù)表示函數(shù): : 4 微分方程是分不開的微分方程是分不開的. . 析學(xué)的發(fā)展析學(xué)的發(fā)展. . 形所采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理形所采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理, , 1753年年, , 的解表示為三角級數(shù)的形式的解表示為三角級數(shù)的形式, ,這為函數(shù)的傅里葉這為函數(shù)的傅里葉 展開這個純數(shù)學(xué)問題奠

4、定了物理基礎(chǔ)展開這個純數(shù)學(xué)問題奠定了物理基礎(chǔ), ,促進(jìn)了分促進(jìn)了分 在歷史上在歷史上, , 丹丹 貝努利首先提出將弦振動方程貝努利首先提出將弦振動方程 1822年年, ,傅里葉在傅里葉在熱的解析理論熱的解析理論一書中一書中 對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的，對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的， 特殊的情特殊的情 發(fā)展成發(fā)展成 一般理論一般理論. . 三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解與求解 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 5 一、問題的提出一、問題的提出 在自然界和人類的生產(chǎn)實(shí)踐中在自然界和人類的生產(chǎn)實(shí)踐中, 周而復(fù)始周而復(fù)始 的現(xiàn)象的現(xiàn)象, 周期運(yùn)動是常見的周期運(yùn)動是常見的

5、. 如行星的飛轉(zhuǎn)如行星的飛轉(zhuǎn),飛輪的旋轉(zhuǎn)飛輪的旋轉(zhuǎn),蒸氣機(jī)活塞的蒸氣機(jī)活塞的 往復(fù)運(yùn)動往復(fù)運(yùn)動,物體的振動物體的振動,聲、光、電的波動等聲、光、電的波動等. 數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上,用周期函數(shù)來描述它們用周期函數(shù)來描述它們.最簡單最基本最簡單最基本 的周期函數(shù)是的周期函數(shù)是 諧函數(shù)諧函數(shù) 周期周期 振幅振幅時間時間 角頻率角頻率 初相初相 簡諧波簡諧波 簡諧振動簡諧振動 正弦型函數(shù)正弦型函數(shù) 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 6 如矩形波如矩形波 不同頻率正弦波不同頻率正弦波 除了正弦函數(shù)外除了正弦函數(shù)外,常遇到的是常遇到的是非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù), 較復(fù)雜的較復(fù)雜的 周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象 逐個

6、疊加逐個疊加分解分解 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 7 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 8 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 9 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 10 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 11 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 12 設(shè)想設(shè)想 一個較復(fù)雜的周期運(yùn)動一個較復(fù)雜的周期運(yùn)動(如矩形波如矩形波)分解分解 為簡諧振動的迭加為簡諧振動的迭加.會給分析問題帶來方便會給分析問題帶來方便. 是把一個復(fù)雜的是把一個復(fù)雜的周期函數(shù)周期函數(shù) f(t)反映在數(shù)學(xué)上反映在數(shù)學(xué)上, 的迭加的迭加,表示為各類表示為各類正弦函數(shù)正弦函數(shù) 諧波分析諧波分析

7、 或再利用三角恒等式或再利用三角恒等式,變形為變形為 即即 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 13 三角級數(shù)三角級數(shù) 函數(shù)函數(shù) f (t) 滿足什么條件滿足什么條件, 系數(shù)系數(shù) 才能展為才能展為 如何確定如何確定? 為簡便計(jì)為簡便計(jì),先來討論以先來討論以 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù) f(x), 解決上述問題起著關(guān)鍵作用的是解決上述問題起著關(guān)鍵作用的是: 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性(orthogonality). 三角級數(shù)三角級數(shù)? 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 14 三角函數(shù)系三角函數(shù)系 二、三角函數(shù)系的正交性 的的正交性正交性是指是指:其中任何兩個其中任何兩個不同的函

8、數(shù)的乘積不同的函數(shù)的乘積 在一個周期長的區(qū)間在一個周期長的區(qū)間 而任而任 一個函數(shù)的自乘一個函數(shù)的自乘(平方平方)在在 即有即有 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) orthogonality 15 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 16 1.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) (Fourier coefficient) 利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性 兩邊積分兩邊積分 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 17 利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 18 利用三角函數(shù)系的正交性利

9、用三角函數(shù)系的正交性 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 19 則則 希望自己證明希望自己證明 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 20 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 由由這些這些系數(shù)系數(shù)作成的三角級數(shù)作成的三角級數(shù) 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 21 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f(x)(誘導(dǎo)出誘導(dǎo)出)的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù), f(x) 注注 f(x)的傅里葉級數(shù)不見得收斂；的傅里葉級數(shù)不見得收斂； 即使收斂，即使收斂， 級數(shù)的和也不一定是級數(shù)的和也不一定是 f(x).不能無條件的不能無條件的 下面的下面的傅里葉級數(shù)收斂定理傅里葉級數(shù)收斂定理回答了我們回答了我們. 所以所以, 把符號把符號

10、 “ ” 它的傅里葉級數(shù)收斂，它的傅里葉級數(shù)收斂， 記為記為 當(dāng)當(dāng) f(x)滿足什么條件時，滿足什么條件時， 并收斂于并收斂于f(x)本身本身. 換為換為 “=”. 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 22 2. 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件(收斂定理收斂定理) 狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859 定義 若只有有限個單調(diào)區(qū)間, 則稱逐段單調(diào). 即,只有有限個極值點(diǎn). 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 23 2. 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件(收斂定理收斂定理) 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 24 傅里葉傅里葉(Fo

11、urier)級數(shù)級數(shù) 當(dāng)當(dāng)x是是f (x)的連續(xù)點(diǎn)時的連續(xù)點(diǎn)時 當(dāng)當(dāng)x是是f (x)的間斷點(diǎn)時的間斷點(diǎn)時 當(dāng)當(dāng) 時時 傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f(x)的關(guān)系的關(guān)系 由定理可知由定理可知: 在在 f(x)的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處,都收斂到都收斂到 f(x)自身自身 即使有間斷點(diǎn)即使有間斷點(diǎn),函數(shù)也有傅氏級數(shù)函數(shù)也有傅氏級數(shù), 間斷點(diǎn)上級數(shù)不收斂到函數(shù)值間斷點(diǎn)上級數(shù)不收斂到函數(shù)值, 只不過在只不過在 而是收斂到而是收斂到 間斷點(diǎn)處左右極限的算術(shù)平均值間斷點(diǎn)處左右極限的算術(shù)平均值 25 (1)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成 (2) 周期函數(shù)的三角

12、級數(shù)展開是唯一的周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的,就是就是 常說把常說把 f (x)在在 上展開成傅氏級數(shù)上展開成傅氏級數(shù). (3) 要注明要注明傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f (x)相等相等 注注 冪級數(shù)的條件低冪級數(shù)的條件低得得多多; 其其傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù), 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 的區(qū)域的區(qū)域. 就是函數(shù)就是函數(shù) 在一個周期內(nèi)的平均值在一個周期內(nèi)的平均值; 26 解解 可以將可以將f (x)展開為傅氏級數(shù)展開為傅氏級數(shù). 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以, 其傅氏級數(shù)在其傅氏級數(shù)在 處收斂于處收斂于( ). 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)以以 為周期為周期,且且 傅里葉傅里葉(

13、Fourier)級數(shù)級數(shù) 27 周期函數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)解題程序傅里葉級數(shù)解題程序: : 并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件 (畫圖目的畫圖目的: 驗(yàn)證狄氏條件驗(yàn)證狄氏條件;由圖形寫出收斂域由圖形寫出收斂域; 易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量); (2) 求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù); (3) 寫出傅氏級數(shù)寫出傅氏級數(shù), 并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于f (x). 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) (1) 畫出畫出 f (x)的圖形的圖形, 28 解解 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù) 例例1 1 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)

14、將將 f (x) 展開為傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù). f (x) 的圖象的圖象 29 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 30 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 故故 f (x)的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù) 31 由于由于f (x)滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件,由 由收斂定理收斂定理得得 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 32 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 33 上有定義上有定義; (3) F(x)可展為傅氏級數(shù)可展為傅氏級數(shù); 注注 作作 法法 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 對于非周期函數(shù)對于非周期函數(shù),如果如果 f (x)只在區(qū)間只在區(qū)間 上有定

15、義上有定義, 并且滿足狄氏充分條件并且滿足狄氏充分條件,也可展開成 也可展開成 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù). (1) f (x) 在在 (周期延拓周期延拓); 級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于 34 解解 例例2 將函數(shù)將函數(shù) 展開為傅氏級數(shù)展開為傅氏級數(shù). 拓廣的周期函數(shù)拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在的傅氏級數(shù)展開式在 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù) 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 所給函數(shù)在區(qū)間所給函數(shù)在區(qū)間滿足狄氏充要條件滿足狄氏充要條件, 收斂于收斂于 f (x). 35 偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 36 所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為 利用傅氏

16、展開式求級數(shù)的和利用傅氏展開式求級數(shù)的和 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 37 為周期的傅氏級數(shù)的為周期的傅氏級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)S(x)在在 上的上的 解解 S(x) = 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 表達(dá)式表達(dá)式. 例例3 38 由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì) 系數(shù)的公式系數(shù)的公式,易得下面的結(jié)論易得下面的結(jié)論. 和傅里葉和傅里葉 此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為 (sine series) 正弦級數(shù)正弦級數(shù), 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) sine series and cosine series 四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、正弦級數(shù)和余

17、弦級數(shù) 它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 39 此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為 注注 將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時, 先要考查函數(shù)先要考查函數(shù) 是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, (cosine series)余余弦級數(shù)弦級數(shù), 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 40 解解 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 奇函數(shù)奇函數(shù) 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 設(shè)設(shè) f (x)是周期為是周期為 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在例例4 4 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為將將 f (x)展開成傅氏級數(shù)

18、展開成傅氏級數(shù). f (x)的圖形的圖形 41 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象 42 正弦級數(shù)正弦級數(shù) 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 43 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 44 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓 兩種兩種: 正弦級數(shù)正弦級數(shù). 偶函數(shù)偶函數(shù), 奇函數(shù)奇函數(shù), 余弦級數(shù)余弦級數(shù); 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 因而展開成因而展開成 因而展開成因而展開成 45 上有定義上有定義. 作法作法 3. F(x)可展開為傅氏級數(shù)可展開為傅氏級數(shù), 這個級數(shù)必定是這個級數(shù)必定是 得到得到 f (x)的的正弦級數(shù)正弦級數(shù) 的展開式的展開式.

19、(偶函數(shù)偶函數(shù))的的奇函數(shù)奇函數(shù) 正弦級數(shù)正弦級數(shù)(余弦級數(shù)余弦級數(shù)) (余弦級數(shù)余弦級數(shù)) 注注 其實(shí)也不必真正實(shí)施這一手續(xù)其實(shí)也不必真正實(shí)施這一手續(xù). 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件1. f (x)在在 2. 在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)補(bǔ)充定義內(nèi)補(bǔ)充定義,得到定義在得到定義在 上的函數(shù)上的函數(shù)F(x),使它成為使它成為 在上在上 46 解解(1) 求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .奇延拓奇延拓, 正弦級數(shù)正弦級數(shù) 分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù). 例例 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 47 (2) 求余弦級數(shù)求余弦級數(shù). .

20、 注注 又可展成余弦級數(shù)又可展成余弦級數(shù), 既可展成正弦級數(shù)既可展成正弦級數(shù), 其傅氏級數(shù)不唯一其傅氏級數(shù)不唯一. 余余弦級數(shù)弦級數(shù) 偶延拓偶延拓, 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù), 但同一形式的展式是唯一的但同一形式的展式是唯一的. 48 1。周期為。周期為2l的周期函數(shù)的周期函數(shù) 對于周期為對于周期為2l的周期函數(shù)，可利用函數(shù)系的周期函數(shù)，可利用函數(shù)系 將它展開為將它展開為Fourier級數(shù)，即有下列定理級數(shù)，即有下列定理 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 五、任意區(qū)間上的五、任意區(qū)間上的Fourier級數(shù)級數(shù) 49 2. 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件 狄利