二次根式復(fù)習(xí)專題講義補(bǔ)課用.doc

1、二次根式復(fù)習(xí)專題講義一、二次根式的概念：1.二次根式： 形如a（ a 0）的式子叫做二次根式， “”稱為二次根號。 .式子中，被開方數(shù)(式)必須大于等于零。 . a （ a0）是一個非負(fù)數(shù)。 . （ a ）2 a（a 0）； a2 =a（ a0）2. 二次根式的乘： .一般的，有 a b ab （a 0， b0）. 反過來，有ab a b( a 0 ， b 0)3.二次根式的除： . 一般地，對二次根式的除法規(guī)定：a = a （ a 0， b0），b b . 反過來，a = a （ a 0， b0 ）b b4. 二次根式的加減法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)

2、相同的二次根式進(jìn)行合并。典型例題分析：例 1.下列式子， 哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、 x（ x0）、 0 、 4 2 、-2 、1 、 xy （ x 0，xx yy? 0）分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件： 第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0。解：二次根式有：2、 x （x0）、 0 、 - 2 、 xy （ x 0， y0）；不是二次根式的有：33、1、42、 1。xxy例 2.當(dāng) x 是多少時， 2x3 + 1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？1x1分析： 要使 2x 3 +在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時x1滿足 2x 3 中的 0 和 1中的 x+1 0x1解：依題意，得2

3、x30x10由得： x- 32由得： x-1當(dāng) x - 3 且 x-1時， 2x3 +1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。2x1變式題 1：當(dāng) x 是多少時，3x1 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？分析： 由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于 0，所以 3x-1 0，?3x1才能有意義解：由 3x-10，得： x 1當(dāng) x 1 時， 3x31 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義3變式題 2： .當(dāng) x 是多少時，2x 3 +x2 在實數(shù)范圍內(nèi)有x意義？解：依題意得：2x3 0 ， x32x0x0當(dāng) x- 3 且 x0 時， 2x 3 x2 在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義。2x.若 3x +x 3 有意義，則x 2 =_。.使式子( x

4、 5)2有意義的未知數(shù)x 有（ ）個。例 3. .已知 y= 2x + x 2 +5，求 x 的值 (答案 :2 )y5.若 a1 +b 1 =0，求 a2004+b2004的值 (答案 : 2) .已知 x y 1 + x 3 =0，求 xy 的值（答案 :81）例4. 計算1（ 3 ）22（3 5 ）223（ 5） 24（ 7 ）262分析： 我們可以直接利用（a ） 2=a（ a 0）的結(jié)論解題解：（3 ） 2= 3，（ 35 ） 2 =32（ 5 ） 2=32 5=45，22（52=5，（72( 7)276）62） =224例5. 計算（ x 1） 2（ x0）2（ a2 ） 213（

5、 a22a 1 ） 24（4x2 12x 9 ） 2分析：（1）因為 x 0，所以 x+10 ；（ 2） a2 0；（ 3） a2+2a+1= （ a+1） 2 0；（ 4） 4x2-12x+9= （ 2x） 2-22x 3+32=（ 2x-3） 2 0所以上面的4 題都可以運(yùn)用（a ） 2=a（a 0）的重要結(jié)論解題解：（ 1）因為 x0，所以 x+10（ x 1 ） 2=x+1（ 2） a2 0，（ a2 ） 2=a2（ 3） a2+2a+1= （ a+1）222 0， a22a2又（a+1） 0，a +2a+11 =a +2a+1（ 4） 4x2-12x+9= （ 2x） 2-22x 3

6、+32=（ 2x-3） 2又（ 2x-3） 204x2-12x+9 0，（4 x212x9 ） 2=4x2-12x+9變式題： 計算1.（- 3 2 ）232.(2 3 3 2)(2 3 3 2)例 6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:（ 1）x2-3（ 2） x4-4(3) 2x2-3例7.化簡（1） 9（2）( 4)2（3）25（4）( 3)2分析： 因為（ 1） 9=-32，（ 2）（ -4） 2=42，（3） 25=52，（ 4）（ -3） 2=32 ，所以都可運(yùn)用a2 =a（ a 0） ?去化簡。解：（1） 9= 32（3）25 =52=3（2）=5（ 4）( 4)2( 3)2=4232=

7、4=3例 8. 填空：當(dāng) a 0 時， a2 =_ ；當(dāng) aa，則 a 可以是什么數(shù)？分析： a2 =a（ a0），要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（）2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當(dāng)a 0 時，a2 =( a) 2 ，那么 -a 0（ 1）根據(jù)結(jié)論求條件； （ 2）根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；（ 3）根據(jù)（ 1）、（ 2）可知 a2 = a，而 a要大于 a，只有什么時候才能保證呢？ a0解：（ 1）因為a2 =a，所以a 0；（ 2）因為a2 =-a ，所以a 0；（3）因為當(dāng) a 0 時 a2 =a，要使 a2 不存在；當(dāng) aa，即使 aa 所以 a a，即使

8、-aa ， a0綜上， a2，化簡( x2)2 -(12x)2 例 10先化簡再求值：當(dāng) a=9 時，求 a+ 1 2a a2 的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+乙的解答為：原式=a+(1a)2(1a) 2=a+ （ 1-a ） =1；=a+（a-1 ） =2a-1=1 7兩種解答中，_的解答是錯誤的，錯誤的原因是_變式題 1 若 1995-a + a 2000=a，求 a- 19952 的值（提示：先由a-200 0 0，判斷1995-a? 的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值）變式題 2若 -3 x 2 時，試化簡 x-2 +( x 3)2 + x210x 25 。（答案： 10-

9、x)例 11計算（）57（）1（3） （ 4）12399271 62分析： 直接利用a b ab （ a 0，b 0）計算即可解：（1） 57=35（2） 1 9= 19 = 333（3） 927=927923=93（4） 1 6= 16 = 322例 12. 化簡（1） 9 16（2） 16 81（ 3） 81 100（ 4） 9x2 y2（5） 54分析： 利用ab = a b （ a0，b 0）直接化簡即可解：（ 1） 916 = 9 16 =3 4=12（ 2） 16 81 = 16 81 =49=36（ 3） 81 100 = 81 100 =9 10=90（ 4） 9x2 y2 =

10、 32 x2 y2 =32 x2 y2 =3xy（5） 54= 9 6= 326=36例 13.判斷下列各式是否正確， 不正確的請予以改正：（1） (4)(9)49（ ） 412 25 =4 12 25=412 25 =4 12=8 32252525解：（ 1）不正確改正：( 4)( 9)=4949=23=6（ 2）不正確改正： 412 25 =112 25 = 11225 =112 = 1674 7252525變式題 1：若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為15 cm和 12 cm， ?那么此直角三角形斜邊長是（）變式題2：化簡 a1 的結(jié)果是（）a變式題3： 1014 =_ 1696變式題4

11、：一個底面為 30cm 30cm 長方體玻璃容器中裝滿水， ?現(xiàn)將一部分水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為x，則 x2 10=30 30 20， x2=30 30 2，x= 30 30 2 =302 變式題 5：探究過程：觀察下列各式及其驗證過程（1）22 =2233驗證： 22 =222=2232 =23(232)2333323222)22=2( 21=22222321212121（2）33 =3388驗證： 33233333338 =38 =8=321=3(321)33(321)3

12、= 3332132 132 18同理可得： 444415155555， 2424通過上述探究你能猜測出：aa2a=_（ a0） ,1并驗證你的結(jié)論解： aa=aa1a21a2驗證： aa=a2aa3a21a21a2 1=a3aaa3aa=aa( 21)a1 =aa1 .a21a2 1 a21a21a2a2例 14計算：（1） 12（2） 31（3） 11（4） 643284168分析： 上面 4 小題利用a=a （ a0， b0）便可直接bb得出答案解：（1） 12 =12= 4=233（2） 31=313 83 4= 3=2328282（3） 11=11116 =4 =24164164（4）

13、 64 =64= 8=228 8例 15 化簡：364b29x5x（1） 64（ 2）9a2（ 3）64y 2（4）169 y2分析： 直接利用a =a （a 0， b0）就可以達(dá)到化簡bb之目的解：（1）3 =336464822（2） 64b2=64b8b9a9a23a（3）9x2=9x3x64 y64 y28 y（4）5x 2=5x5x169 y169 y213y例 16已知9x9x，且 x 為偶數(shù)，求（ 1+x）x25x 4x6x6x2 1的值分析： 式子a =a ，只有 a0， b0 時才能成立bb因此得到 9-x 0 且 x-60 ，即 6x9，又因為 x 為偶數(shù)，所以 x=8解：由

14、題意得9x0 ，即 x9x60x6 60， n0）m2mmm2m（2）-33m23n23mn）a22a2（2a2m（ a0）n解：（ 1）原式 - n2n4 5n 3=-n2n4 52m3m2m2mm2mnnn3nnn2=- m2m2m2m n=-m3n（ 2）原式 =-23(mn)(mn)a2a2=-23a2=- 6 a2a2m nmn2例 17.把它們化成最簡二次根式：(1)35 ;(2)x2 y4x4 y2 ; (3) 8x2 y312點評： 二次根式有如下兩個特點：1 被開方數(shù)不含分母；2 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式例 18.

15、 如圖，在 Rt ABC 中， C=90， AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB的長ABC解：因為 AB 2=AC 2+BC 2所以 AB= 2.5262 = ()523616916913 =6.5 （ cm）2442因此 AB的長為 6.5cm例 19. 觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：11= 1(21)1)2 1= 2-1，2(21)(2211=(1( 332)32= 3- 2，3232)(2)32同理可得：1=4 - 3， 43從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算（1+1+1+1）（2002 +1）的21324320022001值分析： 由題意

16、可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡的目的解：原式 =（2 -1+3-2 +4-3+ 2002 -2001）（ 2002 +1）= （ 2002 -1 ）（ 2002 +1）=2002-1=2001練習(xí)：一、選擇題1 如果 x （y0）是二次根式，那么，化為最簡二次y根式是（）A x （ y0）B xy （y0）C xy （ y0）yyD以上都不對2把（ a-1 ）1中根號外的（ a-1 ）移入根號內(nèi)得 （）a 1A a 1 B 1 aC - a 1 D - 1 a3在下列各式中，化簡正確的是（）A 5=3 15B 1=12322C a4b =a2bD x3

17、x2 =xx 14化簡 3 2 的結(jié)果是（）27A- 2B- 2C- 6D- 2333二、填空題1化簡x4x2 y2 =_（ x0）2aa1化簡二次根式號后的結(jié)果是_a2三、綜合提高題1已知 a 為實數(shù)，化簡：a3 -a1，閱讀下面的解答a過程，請判斷是否正確？若不正確，?請寫出正確的解答過程：解：a3 -a1 =a a -a 1a =（ a-1 ）aaa2 若 x、y 為實數(shù)，且 y=x244x21，求 x y x yx2的值答案 :一、 1C 2 D 3.C 4.C二、 1 x x2y2 2 -a 1三、 1不正確，正確解答：a30因為1，所以 a0，a0原式a a2-a a=aa2-a

18、a =-aa + a =(1-a)aa2a22 x240 x-4=0 ， x= 2，但 x+2 0， x=2，4x20y= 1x y x yx2y 24163 .4164例 20.計算（ 1）8+ 18（ 2）16x + 64x分析： 第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并解：（1） 8 + 18 =22 +32 =（2+3） 2 =52（ 2） 16x +64x =4x +8x =（ 4+8） x =12x點評： 二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式， ?再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并例 21 計算（1）348 -91+3 123

19、（2）（ 48 +20 ）+（ 12-5 ）解：（1）3 48 -9 1 +312 =12 3 -33+63=（ 12-3+6 ）33 =153（ 2）（48 +20）+（ 12-5） =48+20+12- 5=43 +25+2 3-5 =63 +5例 22 已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2 x 9x +y2x3 ）3y- （ x21 -5xy ）的值xx分析： 本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（ 2x-1 ）2+（y-3 ）2=0，即 x= 1 ，y=3其次，根據(jù)2二次根式的加減運(yùn)算，先把各項化成最簡二次根式，?再合并同類二次根式，最后代入求值解： 4x2

20、+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y 2-6y+9=0（ 2x-1 ） 2+（ y-3 ） 2=0 x= 1 ，y=32原式 = 2 x9x +y2 x3-x 2 1 +5xy3yxx=2xx +xy -x x +5xy=xx +6xy當(dāng) x= 12， y=3 時，原式=11+6 3= 2+3 62224練習(xí)：一、選擇題1以下二次根式：12 ； 22； 2；27 中，與33 是同類二次根式的是（）A和 B 和C 和 D 和2下列各式：33 +3=63；17=1；72 +6= 8=2 2；24 =22，其中錯誤的有（）3A3個B2個 C 1個 D 0個二、填空題1在 8、175a

21、、 29a 、 125 、 23a3 、3 0.2 、-21 中，33a8與 3a 是同類二次根式的有 _2計算二次根式5a -3b -7a +9b 的最后結(jié)果是_三、綜合提高題1已知 5 2.236 ，求（80 -14）-（31+445 ）的555值（結(jié)果精確到 0.01）2先化簡，再求值（ 6x y + 3xy3 ） - （4xx + 36xy ），其中 x= 3 ， y=27x yy2答案 :一、1C 2 A二、1175a23a326b -2 a3a- 3- 45- 125 = 1 1 2.236 三、 1原式 =4555555550.452原式 =6 xy +3 xy - （ 4 xy

22、 +6 xy ） =xy(3-4x/y)=12.52 例 23 如圖所示的 Rt ABC中， B=90，點 P 從點B 開始沿 BA邊以 1 厘米 /? 秒的速度向點 A 移動；同時，點 Q 也從點 B 開始沿 BC邊以 2 厘米 / 秒的速度向點 C 移動問：幾秒后 PBQ 的面積為 35 平方厘米？ PQ 的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）CQAPB分析：設(shè) x 秒后 PBQ的面積為35 平方厘米， 那么 PB=x，BQ=2x，?根據(jù)三角形面積公式就可以求出x 的值解：設(shè) x 后 PBQ的面積為 35 平方厘米則有 PB=x， BQ=2x依題意，得：1 x 2x=352x2=35

23、x=35所以35秒后 PBQ的面積為35平方厘米PQ=PB2BQ 2x24x25x2535=5 7答：35秒后 PBQ的面積為35 平方厘米， PQ的距離為5 7厘米例 23要焊接如圖所示的鋼架， 大約需要多少米鋼材 （精確到 0.1m）？分析： 此框架是由 AB、 BC、 BD、 AC 組成，所以要求鋼架的鋼材， ?只需知道這四段的長度B2mA4mD 1m C解：由勾股定理，得AB=BC=AD 2BD 2422220=2 5BD2CD222= 521所需鋼材長度為AB+BC+AC+BD=25+ 5 +5+2=35+7 3 2.24+7 13.7 （m）答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要1

24、3.7m 的鋼材例 24 若最簡根式 3a b 4a3b 與根式2ab2b36b2 是同類二次根式，求 a、 b 的值（ ?同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；?事實上，根式 2ab2b36b2不是最簡二次根式，因此把2ab2b36b2 化簡成 |b| 2ab6 ，才由同類二次根式的定義得3a-?b=?2 ， 2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式2ab2b36b2化為最簡二次根式：2ab2b36b2= b2 (2a16)=|b| 2a b 6由題意得4a 3b 2a b 63ab2 2a4b63ab2 a=1， b

25、=1練習(xí)：一、選擇題1已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5 和 5，那么斜邊的長應(yīng)為（）（ ?結(jié)果用最簡二次根式）A52B50C25D以上都不對2小明想自己釘一個長與寬分別為30cm 和 20cm 的長方形的木框，?為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應(yīng)為（）米（結(jié)果同最簡二次根式表示）A13 100B 1300C10 13D5 13二、填空題1 某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的 2 倍，它的面積是 1600m2， ?魚塘的寬是 _m（結(jié)果用最簡二次根式）2已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為2 ，?那么這個等腰直角三角形的周長是_（結(jié)果用最簡二次根式）三、綜合

26、提高題1 若最簡二次根式23m22 與 n2 1 4m210 是同類二次根3式，求 m、 n 的值2同學(xué)們， 我們以前學(xué)過完全平方公式a22ab+b2=（ a2 b），你一定熟練掌握了吧! 現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個數(shù)的平方，如3=（3 ） 2， 5=（5 ） 2，你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：（2-1 ）2=（ 2）2-2 12 +12=2-2 2 +1=3-2 2反之， 3-2 2 =2-2 2 +1=（2-1 ）2 3-22=（ 2-1）232 2= 2-1求：（1）322；（ 2） 423；（ 3）你會算 4 12 嗎？ ( 3-1)（

27、 4）若 a 2 b = m n ，則 m、n 與 a、b 的關(guān)系是什么？并說明理由答案 :一、 1A 2 C二、 120 22 2+2 2三、 1依題意，得3m22 4m2 10 ， m28 ， m 2 2n2 12n23n3所以 m 2 2 或 m2 2 或 m 2 2 或 m 2 2n3n3n3n32（1） 3 2 2= ( 2 1)2= 2+1（2）423=( 3 1)2=3 +1（3） 412= 42 3(31 )2 =3 -1（ 4） m na理由：兩邊平方得a 2 b =m+n2 mnmnb所以amnb mn例 25計算 :（1）（6+8）3（2）（4 6-32）22分析： 剛才

28、已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律， ?所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律解：（1）（6+8）3=63+83= 18+ 24=3 2+2 6解：（4 6-3 2）2 2=4 62 2-3 22 2 =2 3-32例 26 計算（1）（5 +6）（3-5 ）（2）（ 10 + 7 ）（ 10 -7 ）分析： 剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立解：（ 1）（5 +6）（ 3-5 ）=35 - （ 5 ）2+18-65=13-35（2）（ 10+ 7）（ 10-7）=（ 10）2- （ 7 ）2=10-7=3例 27已知 xb =2- x a ，其中 a、b 是實數(shù)，

29、且 a+b 0，ab化簡x 1x +x 1x ，并求值。x 1xx 1x分析： 由于（x 1 + x ）（ x 1 -x ） =1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x 的值，代入化簡得結(jié)果即可解：原式=( x 1x)2+( x 1 x ) 2( x 1x )( x 1x ) ( x 1 x )( x 1 x)= ( x 1x )2+ ( x 1x)2( x 1)x( x1)x= （x+1） +x-2 x( x1) +x+2x( x1)=4x+2 x b =2- xaab b（ x-b ） =2ab-a （ x-a ） bx-b 2=2ab-ax+a 2（ a+b） x=a2+2ab+b 2（ a+b） x=（ a+b） 2 a+b 0 x=a+b原式 =4x+2=4（ a+b）+2練習(xí)：一、選擇題1（ 24-3 15 +222 ）2 的值是（）3A 203-3 30B 330- 2333C 230- 23D 203 -30332 計算（ x + x1 ）（ x -x 1）的值是（）A 2B3C4D1二、填空題1 （ - 1 + 3 ） 2 的計算結(jié)果（用最簡根式表示）是22_2（ 1-2 3 ）（1+23）-（23 -1 ）