高中絕對(duì)值不等式 (精華版) 適合高三復(fù)習(xí)用可直接打印

1、高中絕對(duì)值不等式 (精華版) 適合高三復(fù)習(xí)用 可直接打印絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式，基本的絕對(duì)值不等式：|a|-|b|ab|a|+|b| y=|x-3|+|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函數(shù)的最小值是5，沒(méi)有最大值 |y|=|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y|5得-5y5即函數(shù)的最小值是-5，最大值是5也可以從幾何意義上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2這兩點(diǎn)的距離之和，顯然當(dāng)-2x3時(shí)，距離之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2這兩點(diǎn)的距離之差，當(dāng)x-2時(shí)，取最小值-

2、5，當(dāng)x3時(shí)，取最大值5 變題1解下列不等式：(1)|+1|2；(2)|26|3思路利用f(x)g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)2或+1或無(wú)解，所以原不等式的解集是|(2)原不等式等價(jià)于3263即26所以原不等式的解集是|2x2-3x-4；（2）1解：（1）分析一 可按解不等式的方法來(lái)解.原不等式等價(jià)于：x-x2-2x2-3x-4或x-x2-2-(x2-3x-4)解得：1-x-3故原不等式解集為xx-3分析二 x-x2-2x2-x+2而x2-x+2(x-)2+0所以x-x2-2中的絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉.故原不等式等價(jià)于x2-x+2x2-3x-4解得：x-3 原不

3、等式解集為x-3（2）分析 不等式可轉(zhuǎn)化為-11求解，但過(guò)程較繁，由于不等式1兩邊均為正，所以可平方后求解.原不等式等價(jià)于19x2(x2-4)2 (x2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x4或x-4注意：在解絕對(duì)值不等式時(shí)，若f(x)中的f(x)的值的范圍可確定(包括恒正或恒非負(fù)，恒負(fù)或恒非正)，就可直接去掉絕對(duì)值符號(hào)，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程.第2變 含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式變題2解不等式（1）|1|5.思路（1）題由于兩邊均為非負(fù)數(shù)，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)。（2）題可采用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值求解。解題（1）由于|1|0，|+|0，所以兩邊平

4、方后有：|1|+|即有2+11當(dāng)2+20即1時(shí)，不等式的解為(1)；當(dāng)2+2=0即=1時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)2+20即1時(shí)，不等式的解為5.解：當(dāng)x-3時(shí)，原不等式化為(2-x)-(x+3)5-2x6x-3.當(dāng)-3x555無(wú)解.當(dāng)x2時(shí)，原不等式為(x-2)+(x+3)52x4x2.綜合得：原不等式解集為xx2或x0且1)解析：易知11，換成常用對(duì)數(shù)得：于是11011(1)00解得012不等式|x+3|-|2x-1|2 當(dāng)-3x時(shí)4x+22故填。3求不等式的解集.解：因?yàn)閷?duì)數(shù)必須有意義，即解不等式組，解得又原不等式可化為 (1)當(dāng)時(shí)，不等式化為即 綜合前提得：。(2)當(dāng)10時(shí)，進(jìn)一步化為，依題意有

5、，此時(shí)無(wú)解。當(dāng)=0時(shí)，顯然不滿足題意。當(dāng)0時(shí)，依題意有綜上，=2。第4變 含參絕對(duì)值不等式有解、解集為空與恒成立問(wèn)題變題4若不等式|4|+|3|0時(shí)，先求不等式|4|+|3|有解時(shí)的取值范圍。令4=0得=4，令3=0得=3 當(dāng)4時(shí)，原不等式化為4+3，即271 當(dāng)34時(shí)，原不等式化為4+31 當(dāng)3時(shí)，原不等式化為4+3即721綜合可知，當(dāng)1時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng)01時(shí)，|4|+|3|4|+|3|4+3|=1當(dāng)1時(shí)，|4|+|3|恒成立，求的取值范圍。思維點(diǎn)撥：要使|+1|2|對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到1的距離，|2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到

6、2的距離，|+1|2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到1與2的距離的差，其最小值可求。此題也可把不等式的左邊用零點(diǎn)分段的方法改寫(xiě)成分段函數(shù)，通過(guò)畫(huà)出圖象，觀察的取值范圍。解法一 根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)，1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、A、B，則原不等式即求|PA|PB|成立|AB|=3，即|+1|2|3故當(dāng)恒成立，從圖象中可以看出，只要3即可。故a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：經(jīng)過(guò)分析轉(zhuǎn)化，實(shí)質(zhì)上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a應(yīng)比最小值小。解： 由絕對(duì)值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)0, 即時(shí)取等號(hào)。故a0,不等式|x-4|+|

7、x-3|a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求a的取值范圍分析（一）|x-4|+|x-3|x-4(x-3)|=1 當(dāng)|x-4|+|x-3|1（二）如圖，實(shí)數(shù)x、3、4在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、A、B則有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1數(shù)按題意只須a1 A B P 0 3 4 x （四）考慮|z-4|+|z-3|1.變題：1、若不等式|x-4|+|x-3|a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范圍第5變 絕對(duì)值三角不等式問(wèn)題變題5已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：；，則當(dāng)時(shí)，求證：。思路本題中所給條件并不足以確

8、定參數(shù)，的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用 、來(lái)表示,。因?yàn)橛梢阎獥l件得，。解題證明：(1)由，從而有(2)由 從而 將以上三式代入，并整理得請(qǐng)你試試451已知函數(shù)f(x)=，a,bR，且，求證|f(a)-f(b)|”“=”合成的，故不等式可轉(zhuǎn)化為 或。 解得：原不等式的解集為2、.解：+，用根軸法（零點(diǎn)分段法）畫(huà)圖如下： 原不等式的解集為。3、解：原式等價(jià)于 ，即 注：此為關(guān)鍵原不等式等價(jià)于不等式組解得：4、解：當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為

9、，得 綜合上面各式，得原不等式的解集為：5、關(guān)于的不等式的解集為，求的解集。解：由題意得：，且 則不等式與不等式組同解 得所求解集為6、已知且，關(guān)于的不等式的解集是，解關(guān)于的不等式的解集。解：關(guān)于的不等式的解集是，或 原不等式的解集是。三、證明題2、設(shè),為偶數(shù),證明 證： . 當(dāng)時(shí), ,0 , 0 ,故 ; 當(dāng)有一個(gè)負(fù)值時(shí),不妨設(shè),且,即 . 為偶數(shù)時(shí),0 ,且0 ,故 . 綜合可知,原不等式成立 注：必須要考慮到已知條件，分類(lèi)討論，否則不能直接得出0 3、求證： 證：設(shè)向量 ,由 ,得 注意：當(dāng)時(shí)，即，、方向相同，取等號(hào)。當(dāng)利用公式證明時(shí)，會(huì)得： 的錯(cuò)誤結(jié)論，因?yàn)檫@里取等號(hào) 的條件是，且、方向相反，根據(jù)題設(shè)條件，時(shí)，方向相同，故取不到等號(hào)， 計(jì)算的結(jié)果也使不等式范圍縮小了。4、求證： （）證一：（） 原不等式成立，證畢。證二：當(dāng)時(shí)，原不等式為：，顯然成立； 假設(shè)當(dāng)取-1時(shí)，原不等式成立，即成立，則 ，即取時(shí)原不等式也成立。 綜上，對(duì)于任意（）原不等式成立，證畢。 注意：此類(lèi)證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法 5、設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，求證：證：=當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，綜合式情況，原不等式成立。證畢注：式的最后一步省略了對(duì)的詳