等比數(shù)列前n項(xiàng)和第二課時(shí)

1、2021/3/111 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5 2021/3/112 一、實(shí)例探究 例例1. 如圖，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為如圖，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形，再的正方形，再 將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第二個(gè)正將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第二個(gè)正 方形，依此類(lèi)推，這樣一共畫(huà)了方形，依此類(lèi)推，這樣一共畫(huà)了10個(gè)正方形個(gè)正方形. 求：求： （1）第）第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；個(gè)正方形的邊長(zhǎng)； （2）第）第10個(gè)正方形的面積；個(gè)正方形的面積； （3）這）這10個(gè)正方形的面積之和個(gè)正方形的面積之和. 2021/3/11 3 問(wèn)題1：第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)有 什么關(guān)系？你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？ 問(wèn)

2、題2：第一個(gè)正方形的面積和第二個(gè)正方形的面積有 什么關(guān)系？你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？ 設(shè)這10個(gè)正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成數(shù)列 ，則數(shù)列 是等比數(shù)列 設(shè)這10個(gè)正方形的面積構(gòu)成數(shù)列 ，則數(shù)列 是等比數(shù)列 n a n a n b n b 問(wèn)題3：怎樣求這10個(gè)正方形的面積之和？ 這10個(gè)正方形的面積之和就是數(shù)列 的前10項(xiàng)的和. n b 2021/3/114 復(fù)習(xí)回顧 等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與項(xiàng)起，每一項(xiàng)與 它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列 叫做等比數(shù)列叫做等比數(shù)列. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比

3、數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 1 1 nn m nm aa qa q 1 11 ,(1) (1) ,(1) 11 n n n naq S aa qaq q qq 2021/3/11 5 解：（1）設(shè)這10個(gè)正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成數(shù)列 ， n a 第五個(gè)正方形的邊長(zhǎng) 4 4 51 21 2 22 aa q 第10個(gè)正方形的面積 9 9 101 11 4 2128 bbq （2）設(shè)這10個(gè)正方形的面積構(gòu)成數(shù)列 ，且 則數(shù)列 是等比數(shù)列，且 n b 2 nn ba n b 22 11 1 4, 2 baqq （3）這10個(gè)正方形的面積之和即數(shù)列 n b的前10項(xiàng)之和 10 1

4、 10 1 1 bq S q 如圖，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為如圖，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形，再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連的正方形，再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連 得到第二個(gè)正方形，依此類(lèi)推，這樣一共畫(huà)了得到第二個(gè)正方形，依此類(lèi)推，這樣一共畫(huà)了10個(gè)正方形個(gè)正方形.求：求： （1）第）第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)；個(gè)正方形的邊長(zhǎng)； （2）第）第10個(gè)正方形的面積；個(gè)正方形的面積； （3）這）這10個(gè)正方形的面積之和個(gè)正方形的面積之和. n a則數(shù)列 是等比數(shù)列， 1 2 2, 2 aq且 10 1 4 1 2 1 1 2 10 1 81 2 1023 128 2021/3/11 6 公式再應(yīng)用 例2.求和： 2 12

5、 n aaan 問(wèn)題問(wèn)題4：能看成等比數(shù)列的前：能看成等比數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？項(xiàng)和嗎？ l等比數(shù)列中不能有等比數(shù)列中不能有“0”這樣的項(xiàng)；這樣的項(xiàng)； l等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式需要對(duì)公比項(xiàng)和公式需要對(duì)公比q是否等于是否等于1進(jìn)行進(jìn)行 分類(lèi)討論分類(lèi)討論. 2021/3/11 7 例2.求和： 2 12 n aaan 解： 22 121 2 nn aaana aan （1）當(dāng) 時(shí)， 0a 1 2 n n （2）當(dāng) 時(shí)， 1a 1 2 n n （3）當(dāng) 時(shí)， 10aa且 綜上，當(dāng) 時(shí)，原式 1a1 2nn 1 2 n n 當(dāng) 時(shí)，原式1a 1 1 12 n aa n n a 1 2n 原式

6、1 2nn 原式 1 1 12 n aa n n a 原式 分組求和 2021/3/118 公式的實(shí)際應(yīng)用 例例3.某商場(chǎng)今年銷(xiāo)售計(jì)算機(jī)某商場(chǎng)今年銷(xiāo)售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)臺(tái).如果平如果平 均每年的銷(xiāo)售量比上一年的銷(xiāo)售量增加均每年的銷(xiāo)售量比上一年的銷(xiāo)售量增加10 ，那么從今年起，大約幾年可使總銷(xiāo)售，那么從今年起，大約幾年可使總銷(xiāo)售 量達(dá)到量達(dá)到30000臺(tái)（結(jié)果保留到個(gè)位）？臺(tái)（結(jié)果保留到個(gè)位）？ 問(wèn)題問(wèn)題5：怎樣理解：怎樣理解“平均每年的銷(xiāo)售量比上一年的銷(xiāo)售量平均每年的銷(xiāo)售量比上一年的銷(xiāo)售量 增加增加10”？ 如果把每年的銷(xiāo)售量看成一個(gè)數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列如果把每年的銷(xiāo)售量看成一個(gè)數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列 是

7、一個(gè)等比數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列. 2021/3/119 例3.某商場(chǎng)今年銷(xiāo)售計(jì)算機(jī)5000臺(tái).如果平均每年的銷(xiāo)售量比上 一年的銷(xiāo)售量增加10，那么從今年起，大約幾年可使總銷(xiāo)售 量達(dá)到30000臺(tái)（結(jié)果保留到個(gè)位）？ 解：根據(jù)題意，每年銷(xiāo)售量比上一年增加的百分率相同. 1 5000,1 101.1,30000 n aqS 于是得到 5000 1 1.1 30000 1 1.1 n 整理得：1.1 1.6 n 兩邊取對(duì)數(shù)，得lg1.1lg1.6n 由計(jì)算器算得 答：大約5年可使總銷(xiāo)售量達(dá)到30000臺(tái) 1, , , , nn a q a n S 知三求二 n a所以，從今年起，每年的銷(xiāo)售量組成一個(gè)等比

8、數(shù)列 其中 0.202 0.041 n （年）5 lg1.6 lg1.1 n 即 2021/3/11 10 類(lèi)比推理，歸納性質(zhì) 例例4.如果一個(gè)等比數(shù)列前如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于項(xiàng)的和等于10，前，前10項(xiàng)的和項(xiàng)的和 等于等于50，求它的前，求它的前15項(xiàng)的和項(xiàng)的和. 當(dāng)當(dāng) 1q 時(shí)，時(shí)，5 111 51052Saaa此時(shí)，此時(shí)， 101 102050Sa 故故1q n S解：設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為解：設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為 1 a，公比為，公比為q，前，前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 5 1 5 1 10 1 aq S q 兩式相除得：兩式相除得： 10 1 10 1 50 1 aq S q 10 5

9、1 5 1 q q 5 15q 5 4q 15 1 3 15 1 10 1 4210 13 aq S q 1 10 13 a q 用整體思 想求解 2021/3/1111 為其前為其前n項(xiàng)和，則項(xiàng)和，則問(wèn)題問(wèn)題6：在等差數(shù)列：在等差數(shù)列 n a中，中， n S 232 , nnnnn SSSSS 具有怎樣的性質(zhì)？具有怎樣的性質(zhì)？ 232 , nnnnn SSSSS也成等差數(shù)列也成等差數(shù)列 問(wèn)題問(wèn)題7：你能類(lèi)比在等比數(shù)列中，也有類(lèi)似的性質(zhì)嗎？：你能類(lèi)比在等比數(shù)列中，也有類(lèi)似的性質(zhì)嗎？ 并用該性質(zhì)重新解答例題并用該性質(zhì)重新解答例題4 當(dāng)當(dāng) 1q 時(shí)，時(shí)， 2321nnnnn SSSSSna 顯然是

10、等比數(shù)列；顯然是等比數(shù)列； 當(dāng)當(dāng)1q 時(shí)，時(shí)， 12nn Saaa 1 1 1 n aq q 2122nnnnn SSaaa 1 1 1 n n aq q 3221223nnnnn SSaaa 21 1 1 n n aq q 2 1121nn aa a 232 , nnnnn SSSSS 是等比數(shù)列是等比數(shù)列 232 , nnnnn SSSSS 是等比數(shù)列是等比數(shù)列 2021/3/11 12 例例4.如果一個(gè)等比數(shù)列前如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于項(xiàng)的和等于10，前，前10項(xiàng)的和項(xiàng)的和 等于等于50，求它的前，求它的前15項(xiàng)的和項(xiàng)的和. 另解：另解： 5105 10,50 1040SSS而而 51051510 ,S SS SS也成等比數(shù)列也成等比數(shù)列 2 1510 40 160 10 SS 1551051510 SSSSSS1040 160210 練：已知一個(gè)等比數(shù)列前練：已知一個(gè)等比數(shù)列前6項(xiàng)的和與前項(xiàng)的和與前3項(xiàng)的和的比等項(xiàng)的和的比等 于于3，求前，求前6項(xiàng)的和與前項(xiàng)的和與前12項(xiàng)的和的比項(xiàng)的和的比.1:5 2021/3/1113 錯(cuò)位相減法求和 2021/3/1114