(完整word版)二階系統.doc

1、34二階系統用二階微分方程描述的系統，稱二階系統。它在控制系統中應用極為廣泛。例如，R L C 網絡、忽略電樞電感后的電動機、彈簧質量阻尼器系統、扭轉彈簧系統等等。此外，許多高階系統，在一定條件下，往往可以簡化成二階系統。因此，詳細研究和分析二階系統的特性，具有重要的實際意義。以圖 1-7、圖 2-21 所示隨動系統為例進行研究。這里把圖2-21 進一步簡化成圖 3-9(a)。圖中 KK 1 K 2 K m i ，系統閉環(huán)傳遞函數為C ( s)K（ 3-9）R( s)Tm s2s K為了使研究的結論具有普遍性，將上式寫成典型形式或標準形式C (s)1R(s)T 2 s22 Ts1C(s)2或n

2、（ 3R(s)s22n s2n-10）圖 3-9(b) 為二階系統的一般結構圖形式。式中T1Tm ； 2 T1；1nKK2KTm可見，二階系統的響應特性完全可以由阻尼比和自然頻率n (或時間常數 T )兩個參數確定。一般形式的閉環(huán)特征方程為22n s20sn方程的特征根 (系統閉環(huán)極點 )為s1, 221nn當阻尼比較小，即01時，方程有一對實部為負的共軛復根s1, 2njn 12系統時間響應具有振蕩特性，稱為欠阻尼狀態(tài)。當1 時，系統有一對相等的負實根s1,2n系統時間響應開始失去振蕩特性，或者說， 處于振蕩與不振蕩的臨界狀態(tài)，故稱為臨界阻尼狀態(tài)。當阻尼比較大，即1 時，系統有兩個不相等的負

3、實根s1, 221nn這時系統時間響應具有單調特性，稱為過阻尼狀態(tài)。當0 時，系統有一對純虛根，即s1,2jn ，稱為無阻尼狀態(tài)。系統時間響應為等幅振蕩，其幅值取決于初始條件，而頻率則取決于系統本身的參數。上述各種情況對應的閉環(huán)極點分布及對應的脈沖響應，如圖3-10 所示。下面分別研究欠阻尼和過阻尼兩種情況的響應及其性能指標。一、二階系統的階躍響應1、欠阻尼二階系統的單位階躍響應二階系統中， 欠阻尼二階系統最為常見。由于這種系統具有一對實部為負的共軛復根，時間響應呈現衰減振蕩特性，故又稱振蕩環(huán)節(jié)。當阻尼比 01時，二階系統的閉環(huán)特征方程有一對共軛復根，即s1,2njn12nj d式中dn 12

4、 ，稱為有阻尼振蕩角頻率，且dn 。當輸入信號為單位階躍函數時，輸出的拉氏變換式由式(3-10) 可得21C( s)n22n sn2 ss1snns( sn )22(sn )22dd對上式進行拉氏反變換，得欠阻尼二階系統的單位階躍響應，并用h(t) 表示，即h(t ) 1 en tcos d tsind tt012en t1sin(d t)（ 3-11）12式中由圖 3-11 所示。arctan12或arccos由式 (3-11)可見，系統的響應由穩(wěn)態(tài)分量與瞬態(tài)分量兩部分組成，穩(wěn)態(tài)分量值等于1，瞬態(tài)分量是一個隨著時間t 的增長而衰減的振蕩過程。振蕩角頻率為d ，其值取決于阻尼比及無阻尼自然頻率

5、n 。我們采用無因次時間n t 作為橫坐標，這樣，時間響應僅僅為阻尼比 的函數，如圖3-12 所示。由圖可見，阻尼比越大，超調量越小，響應的振蕩越弱，系統平穩(wěn)性越好。反之，阻尼比越小，振蕩越強烈，平穩(wěn)性越差。當0.707時，系統階躍響應h(t) 不出現峰值 ( % 0) ，單調地趨于穩(wěn)態(tài)值。當0.707時， h(t p ) 1.04h( ) ，調節(jié)時間最小，% 4% ，若按 5%的誤差帶考慮，可認為%0 。當0.707 時，% 隨減小而增大。過渡過程峰值和調節(jié)時間也隨減小而增大。當0時 (即90 ， 表示系統具有一對純虛根)，方程式 (3-11) 就成為h(t) 1 cosn tt 0（3-1

6、2）顯然，這時響應具有頻率為n 的等幅振蕩，即無阻尼振蕩。此外，當過大時，系統響應滯緩，調節(jié)時間t s 很長，系統快速性差；反之，過小，雖然響應的起始速度較快，但因為振蕩強烈， 衰減緩慢， 所以調節(jié)時間t s 亦長，快速性也差。由圖3-12 可見，對于5%的誤差帶，當0.707 時，調節(jié)時間最短，即快速性最好，這時超調量%5% ，故平穩(wěn)性也是很好的，所以把0.707 稱為最佳阻尼比。關于穩(wěn)態(tài)精度： 由于隨時間 t 的增長， 瞬態(tài)分量趨于零， 而穩(wěn)態(tài)分量恰好與輸入量相等，因此穩(wěn)態(tài)時系統是無差的。欠阻尼二階系統性能指標的計算如下：延遲時間 t d ：根據定義，令式(3-11) 等于 0.5，即 h

7、(t) =0.5 ，整理后可得12 sin( 12nt darccos )nt dln12取n td 為不同值，可以計算出相應的值，然后繪出 nt d 與 的關系曲線，如圖 3-13 所示。利用曲線擬合方法，可得延遲時間的近似表達式10.60.22td1（ 3-13）n10.721(3-14)或 td0n上述兩式表明， 增大n 或減小，都可以減小延遲時間t d ?；蛘哒f， 當阻尼比不變時，閉環(huán)極點離 s平面的坐標原點越遠，系統的延遲時間越短；而當自然頻率不變時，閉環(huán)極點離 s平面的虛軸越近，系統的延遲時間越短。上升時間 t r ： 根據定義，令式（3-11）等于 1。即 h(t )1 ，可得也

8、有定義 h(t ) 上升到穩(wěn)態(tài) 10%所需要的時間 td也有定義 h(t ) 從穩(wěn)態(tài)的 10%上升到 90%所需要的時間；也有用h(t) 穩(wěn)態(tài)值的90%所需要的時間作為 t r 。1 en t r cos d t rsind t r112因為n tre0所以cos d trsind t r012則有21tand tr11trarctand2由圖 3 11 可見1arctan所以2tr（ 3-15）d顯然，當阻尼比不變時，角也不變。如果無阻尼振蕩頻率n 增大，即增大閉環(huán)極點到坐標原點的距離，那么上升時間 tr 就會縮短， 從而加快了系統的響應速度；阻尼比越小( 越大 ) ，上升時間就越短。峰值時

9、間 t p ：將式 (3-11)對時間求導并令其為零，可得峰值時間dh(t) |t t p0dt將上式整理得tantan(d t p)則有 d t p0 ， ，2 ， 3， 。根據峰值時間的定義，t p 是指 h(t ) 越過穩(wěn)態(tài)值，到達第一個峰值所需要的時間，所以應取d t p。因此峰值時間的計算公式為t p或（ 3-16）dn 12上式表明， 峰值時間等于阻尼振蕩周期一半。當阻尼比不變時， 極點離實軸的距離越遠，系統的峰值時間越短，或者說，極點離坐標原點的距離越遠，系統的峰值時間越短。超調量% ：將峰值時間式 (3-16) 代入式 (3-11) ，得輸出量的最大值h(t p )e12h(t

10、 p ) 1sin()12由圖 3-11 可知sin()12代入上式，則h(t p )1e12根據超調量的定義式，并在h( ) 1條件下，可得12% e100%（3-17 ）顯然，超調量僅與阻尼比有關，與自然頻率n 的大小無關。 圖 3-14 表示了超調量%與阻尼比的關系曲線。 由圖可見， 阻尼比越大 (越小 )，超調量越小； 反之亦然。 或者說，閉環(huán)極點越接近虛軸，超調量越大。通常，對于隨動系統取阻尼比為0.4 0.8 ，相應的超調量為 25.4% 1.5% 。調節(jié)時間 t s ： 寫出調節(jié)時間ts 的準確表達式是相當困難的。在初步分析和設計中，經常采用近似方法計算。對于欠阻尼二階系統的單位

11、階躍響應en t12h(t ) 1sindarctan12來說，指數曲線1 en t12是階躍響應衰減振蕩的上下二條包絡線，整個響應曲線總是包含在這二條包絡線之內，該包絡線對稱于階躍響應的穩(wěn)態(tài)分量。在圖 3-15 中，采用無因次時間nt 作橫坐標，給出了0.707 時的單位階躍響應以及相應的包絡線。可見，實際響應的收斂速度比包絡線的收斂速度要快，因此采用包絡線代替實際響應曲線來估算調節(jié)時間是可靠的。根據上述分析，當0.8 時，經常采用下列近似公式t r3.5(3-18)取 5%誤差帶n或 ts4.5(3-19)取 2%誤差帶n上式表明，調節(jié)時間與閉環(huán)極點的實部數值(n )成反比，實部數值越大，

12、 即極點離虛軸的距離越遠，系統的調節(jié)時間越短，過渡過程結束得越快。綜上所述， 從各動態(tài)性能指標的計算公式及有關說明可以看出，各指標之間往往是有矛盾的。如上升時間和超調量，即響應速度和阻尼程度，要求上升時間小，必定使超調量加大，反之亦然。當阻尼比一定時，如果允許加大n ，則可以減小所有時間指標( t d 、 tr 、 ts 和 t p ) 的數值，同時超調量可保持不變。因此， 在實際系統中，往往需要綜合全面考慮各方面的因素，然后再作正確的抉擇。即所謂“最佳”設計。【例 3-1】在圖 3 16所示的隨動系統中，當給定系統輸入為單位階躍函數時，試計算當放大器增益K A200 時，輸出位置響應的性能指

13、標：t p 、 ts 和 % 。如果將放大器增益增大到 K A1500或減小到 K A13.5 ，那么對響應的動態(tài)性能又有什么影響?解將圖 3-16與二階系統典型結構圖形式圖3-9(b) 進行比較，可得25KA，n34.534.52n25K A將 K A200 代入上兩式得21000 ，31.6(rad / s)nn0.545則系統閉環(huán)傳遞函數為21000( s)ns22 n s2s2（ 3-20）n34.5s 1000上式也可直接由圖 3-16求得。然后，對照標準形式求得、n ，并把 、 n 值代入相應公式 (3-16)、 (3-18) 和(3-17) 求得t p0.12( s)12nts3

14、.50.2( s)n1 2% e100% 13%當 K A1500 時，同樣可計算出n 86.2(rad / s)0.2則有t p0.037( s)t s0.2( s)% 52.7%可見， K A 增大，使減小而n 增大，因而使% 增大， t p 減小，而調節(jié)時間t s 則沒有多大變化。當 K A 減小到 K A13.5 時，經過同樣的計算可得到2.1，n8.22(rad / s) 。系統成為過阻尼二階系統。峰值和超調量不再存在。而 ts 必須按下面將要介紹的過阻尼二階系統來計算。 由響應曲線圖3-17 可見，上升時間 t r 比上面兩種情況大得多，雖然響應無超調，但過渡過程過于緩慢，也就是系

15、統跟蹤輸入很慢，這也是不希望的。2. 過阻尼二階系統的單位階躍響應當1 時，二階系統的閉環(huán)特征方程有兩個不相等的負實根。可寫成22s2n snT112n (11ss0 式 中T1T21)T212n (1)且 T1 T2,21n，于是閉環(huán)傳遞函數為T1T2C(s)1 T1T21R(s)11(T1 s 1)(T2 s 1)ssT2T1因此，過阻尼二階系統可以看成二個時間常數不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯。當輸入信號為單位階躍函數時，系統的輸出為1 T21 t1 T11th(t) 1e T1e T21 T21 T11T2 1T111 T2e (2 1 ) nt1 T1e (2 1) n t1 T21 T11T

16、2 1T1t0（3-21）式中穩(wěn)態(tài)分量為 1，瞬態(tài)分量為后兩項指數項。可以看出，瞬態(tài)分量隨時間t 的增長而衰減到零，故系統在穩(wěn)態(tài)時為無差的。其響應曲線如圖3-18 所示。由圖 3-18 看出，響應是非振蕩的，但它是由兩個慣性環(huán)節(jié)串聯而產生的，所以又不同于一階系統的單位階躍響應， 其起始階段速度很小，然后逐漸加大到某一值后又減小，直到趨于零。因此，整個響應曲線有一個拐點。對于過阻尼二階系統的性能指標，同樣可以用tr 、 t s 等來描述。這里著重討論調節(jié)時間 ts ，它反映系統響應的快速性。確定ts 的準確表達式同樣是很困難的。一般可根據(3-21)式，令 T1T2 為不同值，計算出相應的無因次

17、調節(jié)時間tsT1 。圖 3-19 給出了誤差帶為 5%的調節(jié)時間曲線。由圖可見：當 T1T2，即1 的臨界阻尼情況，ts4.75T1當 T14T2 ，即1.25 時， t s3.3T1當 T14T2 ，即1.25 時， ts3T1上述分析說明，當系統的一個負實根比另一個大4 倍以上時，即兩個慣性環(huán)節(jié)的時間常數相差4 倍以上，則系統可以等效為一階系統， 其調節(jié)時間 ts 可近似等于3T1(誤差不大于 10%) 。這也可以由式 (3-21) 看出，由于 T14T2 ，所以 et T2項比 e t T1項衰減快得多，即響應曲線主要取決于大時間常數T1 確定的環(huán)節(jié)，或者說主要取決于離虛軸較近的極點。這

18、樣，過阻尼二階系統調節(jié)時間t s 的計算，實際上只局限于1 1.25的范圍。當1.25 時，就可將系統等效成一階系統，其傳遞函數可近似地表示為C (s)1R(s)T1 s1這一近似函數形式也可根據下述條件直接得到，即原來的傳遞函數C (s) 與近似函數的初始R(s)值和最終值，二者對應相等。對于近似傳遞函數C ( s) ，其單位階躍響應的拉氏變換式R( s)1 T1C( s)s s1T1時間響應 h(t ) 為h(t) 1 et T11 e(2 1 ) n tt0上式就是當C (s) 中，有一個極點可以忽略時的近似的單位階躍響應。圖3-20 示出了R(s)2, n1時的近似響應函數曲線，在圖中

19、還畫出了系統過阻尼時的準確響應函數曲線。這時，系統的近似解為h(t )1 e 0.27t而這時的準確解，則為h(t )1 0.077e 3 .73t1.077e 0.27t準確曲線和近似曲線之間，只是在響應曲線的起始段上有比較顯著的差別?！纠?3-2】已知系統結構圖如圖321所示。其中 T0.1s ，若要求系統的單位階躍響應無超調，且調節(jié)時間 t s1s ，問增益 K 應取何值 ?解根據題意，應取1，但考慮到在過阻尼范圍內1時響應速度最快，所以在圖 3-19 的曲線上，試取T1T2 1.5 ，對應1.02，查得 t sT14 。題意要求t s1s ，故T10.25(s) ； T20.167(s

20、)由系統閉環(huán)特征方程s21sKs1s10TTT1T2得K1TT1T2因為 T0.1(s) ，所以 K2.4(s 1 ) 。所得結果是否滿足要求，必須進行驗算。 驗算結果表明111T1T2T滿足了特征方程的要求。如果不滿足，應重復上述過程，重新選擇T1 T2 的比值。應當指出，如果兩個二階系統具有相同的值，但具有不同的 T 值，那么響應曲線將有相同的超調量和相同的振蕩形式。在方程(3-11)、 (3-12) 和 (3-21) 中，自變量t 總是與參數 T(即 T1n )結合成 t T 出現。因此，系統響應 h(t ) 可以用 T 作為時間 t 的計量單位。換句話說，參數 T 具有時間尺度的性質。

21、如果T 增大 (即n 減小) 若干倍，那么只要t 增大同樣倍數，使t T 保持不變，h(t ) 的值也就保持不變。就是說，如果參數 T 增大 (n 減小 )幾倍，則 h(t) 的曲線就在橫坐標軸方向“展寬”同樣倍數；相反，如果 T 減小(n 增大 )幾倍，則 h(t ) 的曲線就在橫坐標軸方向“壓縮”同樣倍數(圖 322 所示) 。所以對于值相同的系統來說，響應時間長短就正比于T 。顯然， T 也是描述系統動態(tài)性能的一個重要參數。3. 欠阻尼二階系統的單位斜坡響應單位斜坡輸入信號的拉氏變換式為1 s2 ，將其代入式 (3-10) ，可得系統輸出的變換式21C(s)n22 n s n2s2s對上

22、式進行拉氏反變換得單位斜坡響應ct (t ) ，2entsin()t 0（ 3-22）ct (t) tdnn 12式中122 arctan2（ 3-23）顯然，系統的單位斜坡響應式(3-22)由兩部分組成，一部分是穩(wěn)態(tài)分量2csstn另一部分是瞬態(tài)分量en tcttsin(d)n12其中，瞬態(tài)分量隨著時間增長而振蕩衰減，最終趨于零。所以，系統的穩(wěn)態(tài)誤差為ess2n 。圖 3-23 為二階系統單位斜坡響應曲線。由圖可見，系統的穩(wěn)態(tài)輸出是一個與輸入量具有相同斜率的斜坡函數。但是，在輸出位置上有一個常值誤差值2n ，即系統在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，顯然這誤差并不是指穩(wěn)態(tài)時輸入、輸出上的速度之差，而是指

23、位置上的差別。此誤差值只能通過改變系統參數來減小，如加大自然頻率n 或減小阻尼比來減小穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除。并且， 這樣改變系統參數，將會使系統響應的平穩(wěn)性變差。因此，僅靠改變系統參數是無法解決上述矛盾的。 在系統設計時， 一般可先根據穩(wěn)態(tài)誤差要求確定系統參數， 然后再引入控制裝置 (校正裝置 )來改善系統的性能 (即用改變系統結構來改善系統性能 )。二、系統性能的改善我們仍以二階位置隨動系統為例。圖 3-24(a) 為系統階躍響應曲線h(t ) ；(b)為階躍響應的導數h(t) ； (c)為偏差響應曲線； (d)為偏差響應的導數(t ) 。由曲線 (a)可看出， 單位階躍響應具有較大的超調量

24、。在 0 t1 的時間間隔內，由于正的偏差信號(t ) ，使電機產生正向力矩。但因為系統阻尼較小，電機的正向加速度、速度較大，因此將會出現較大超調量。在 t1 t 2 時間間隔內，雖然偏差信號(t) 為負，電機產生反向力矩，但由于開始反向力矩不夠大，而系統原來已具有較大的速度，所以輸出量繼續(xù)上升直至t t 2 達到最大值 h(t 2 ) ，這時速度為零。在 t 2 t 3 時間間隔內，由于反向力矩的繼續(xù)作用，使輸出量開始減小，并在 t t 3 時再次穿過穩(wěn)態(tài)值形成反向超調。在t3 t4 時間間隔內，偏差信號又重新為正，電機產生正向力矩，又力圖使輸出量恢復到穩(wěn)態(tài)值。如此，使動態(tài)過程強烈振蕩，產生

25、較大超調?？梢钥闯?，造成響應振蕩、過調的原因是：第一、 在0 t1 時間間隔內，正向力矩較大，而且沒有在t t1 之前及時提前制動；第二、在 t1 t2 時間內，反向制動力矩不足。顯然，要設法在 0 t1 時間內削弱正向力矩，應加入一個與(t ) 相反的信號；在 t1 t 2 時間內，要設法加強反向制動力矩，應加一個與(t ) 相同的信號； 同理，在 t2 t 3 時間內，應加一個與(t) 相反的信號； 在 t3t4 時間內，應加一個與 (t) 相同的信號，等。 觀察圖 3-24 中 h(t) 、 (t) 的極性， 恰好能起到這樣的作用。所以引入(t) 或負的 h(t)作為控制信號， 將有可能

26、改善系統性能。實踐已經證明， 恰當地引入微分信號，將會大大改善系統的性能。這就是所謂比例微分控制和測速反饋控制。1比例 - 微分控制設比例 - 微分控制系統如圖 3-25 所示，其中微分時間常數為Td 。由圖 3-25 可見，系統輸出量同時受偏差信號及其微分信號的雙重控制。由于加入了偏差的微分信號，它可以敏感偏差信號的變化，因此比例微分控制可以在出現位置偏差以前， 提前產生控制作用， 即使控制作用帶有一定程度的“預見性” ，從而達到改善系統動態(tài)性能的目的。由于偏差微分信號只反映偏差信號變化的速率，因此，微分控制并不影響穩(wěn)態(tài)偏差的大小。圖 3-25 系統閉環(huán)傳遞函數為C ( s)n2 Tds1T

27、d(3-24)( s)s2n s2R( s)2dn式中d1 Td n(3 24a)2上兩式表明，比例微分控制不改變系統的自然頻率，但是增加了系統阻尼比(即d)；另外給二階系統增添了閉環(huán)零點 (1 Td )。因此， 具有比例微分控制的二階系統常稱為有零點的二階系統，而原系統稱為無零點的二階系統。 下面我們對這兩種系統進行粗略的分析比較。若兩個二階系統只是阻尼比不同，其階躍響應如圖3 26 所示?？梢姡壤⒎衷黾恿讼到y阻尼比，可以改善系統動態(tài)性能。若兩個二階系統只是有無零點的不同，它們的動態(tài)性能又是如何呢?設無零點的二階系2統其閉環(huán)傳遞函數為0 ( s)n22 d n s2sn比例微分控制系統是

28、有零點的二階系統，其閉環(huán)傳遞函數為(3-24) 式，即n2Tds1(s)Td22n s2sdn為了估算比例微分控制二階系統的動態(tài)性能，應求其階躍響應。系統輸出拉氏變換式為n2Tds1C (s)Td22n s2sdn2ns22n s2dn1s1Tdsn222 dn s2ssn1s(3-25)可見，上式第一項的拉氏反變換是無零點二階系統的單位階躍響應，以h0 (t) 表示；根據拉氏變換的微分性質，上式第二項表示了在零初始條件下h0 (t ) 對時間的導數乘以Td ，從而得h(t)h0 (t)dh0 (t)Tddt(3-26)(3-25) 式的單位階躍響應曲線如圖3-27所示。 顯然有零點系統與無零

29、點系統相比，上升時間和峰值時間均減小，因而響應速度加快，超調量會有所增加。最后，簡單歸納比例微分控制對系統性能的影響。首先，它可以增大系統阻尼，使系統動態(tài)過程的超調量下降，調節(jié)時間縮短，但不影響常值穩(wěn)態(tài)偏差及自然頻率。其次，當系統具有良好的動態(tài)性能時，若采用微分控制，就允許選用較高的開環(huán)增益，從而可以提高穩(wěn)態(tài)精度，并保持良好的動態(tài)性能。但應當指出，當系統輸入端噪聲較強時，則不宜采用比例微分控制，因為微分器對于噪聲，特別對于高頻噪聲的放大作用，遠大于對緩慢變化輸入信號的放大作用，情況嚴重時，甚至干擾噪聲有可能淹沒有用信號而起不到控制作用，此時，可考慮采用測速反饋控制為宜。此外，有零點二階系統的性

30、能指標估算方法與無零點情況相類似，這里不作詳細推導，只給出計算公式。設標準閉環(huán)傳遞函數2sa( s)n22 dn s2a snnd2a性能指標近似計算公式：t parctann1d2 (adn )(3-27)n 12da22 d a2e d t p12%nn100%d(3-28)a取0.05 ，則31 ln( a 22d ann2 )ln a1 ln(1d2 )t s22(3-29)dn在實際系統中比例微分控制可由圖3-28所示的 RC 網絡近似實現。網絡傳遞函數為U c (s)a(Td s1)U r (s)aTd s1式中aR21, TdR1CR1R2選擇 R 、 C 參數，使 a 1 ，所以 aTd Td ，因此U c (s)a(Td s1)U r (s)2測速反饋控制測速反饋控制的一般結構圖，如圖3-29 所示。其中 K t 為測速反饋系數，在位置隨動系統中，其量綱通常為電壓轉速。系統開環(huán)傳遞函數為21G (s)nn(3-30)K t n2 ) 2K t ns(s 2n1s 1s22nK t n系統的開環(huán)增益 Kn。顯然，加入測速反饋降低了原系統的開環(huán)增益，因此，K t2n在設計測速反饋控制時，可以適當增大原系統的開環(huán)增益，以補償測速反饋引起的增益下降。為了說明測速反饋對系統動態(tài)性能的影響，寫出系統閉環(huán)傳遞函數為22( s)nn2(2 nK t22s22 t n s2s