線性代數(shù)向量的內(nèi)積和Schmidt正交化PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1 線性代數(shù)向量的內(nèi)積和線性代數(shù)向量的內(nèi)積和Schmidt正交化正交化 定義1 維向量維向量設(shè)有設(shè)有n , 2 1 2 1 nn y y y y x x x x nn yxyxyxyx 2211 ,令令 . ,的的與與為為向向量量稱稱yxyx 內(nèi)積 第1頁/共27頁 說明 1 維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積 的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義 4 nn ., :, , 2 y x yx yx T 為為內(nèi)積可用矩陣記號表示內(nèi)積可用矩陣記號表示向量向量 都是列都是列如果如果內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算 第2頁/共27頁 內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) :,為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)維向量維向量為為其中其中

2、nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx時有時有且當(dāng)且當(dāng) 第3頁/共27頁 定義2 非負(fù)性非負(fù)性. 1 齊次性齊次性. 2 三角不等式三角不等式. 3 , 22 2 2 1n xxxxxx 令 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx 長度 范數(shù) 向量的長度具有下述性質(zhì)： ; 0,0; 0,0 xxxx時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng) ;xx .yxyx 第4頁/共27頁 維向量間的夾角維向量間的夾角單位向量及單位向量及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的夾角的夾角與與求向量求向量 例例 解 cos 2 2 623

3、18 . 4 .,11 為為稱稱時時當(dāng)當(dāng)xx 單位向量 yx yx yx , arccos,0, 02 時時當(dāng)當(dāng) . 的的與與維維向向量量稱稱為為yxn 夾角 0)（ 第5頁/共27頁 正交的概念 正交向量組的概念 . ,0,yxyx與與稱向量稱向量時時當(dāng)當(dāng) 正交 ., 0,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 xx 若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向 量組為正交向量組 第6頁/共27頁 , 00 2 1111 T 由由.0 1 從而有從而有 . 0 2 r 同理可得同理可得 ., 21 線性無關(guān)線性無關(guān)故故 r 使使設(shè)有設(shè)有 r , 21 證明 1122r 0 r

4、得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以, 1a T 0 111 T 正交向量組的性質(zhì) 線線性性無無關(guān)關(guān). ., , , ,則則非非零零向向量量, , 是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的, , , ,維維向向量量若若定定理理 r r n 21 21 1 第7頁/共27頁 性質(zhì)2 : 正交向量組單位化后仍是正交向量組 叫做標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，或正交單位向量組。 2m 1 如果 ， 是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組， ij 1,i=j , 0,ij 則 （i , j =1, 2m ) 第8頁/共27頁 . 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 4321 例如 就是一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 第9

5、頁/共27頁 （1）正交化，取 ， 11 ab , , , 1 11 21 22 b bb ab ab 4、Schmidt正交單位化方法 12 , m a aa 12 , m b bb 設(shè)是線性無關(guān)向量組，構(gòu)造新 的向量組 ，使兩個向量組等價 且 12 , m b bb 是正交向量組。 第10頁/共27頁 1 11 1 2 22 2 1 11 1 , , , , , , r rr rrrr rr b bb ab b bb ab b bb ab ab ., 111 等價等價與與且且兩兩正交兩兩正交那么那么 rrr aabbbb （2）單位化，取 , 2 2 2 1 1 1 r r r b b e

6、 b b e b b e 12 , r e ee那么是 2 22 32 1 11 31 33 , , , , b bb ab b bb ab ab 標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 第11頁/共27頁 例 用施密特正交化方法，將向量組 )1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1( 321 aaa 正交規(guī)范化. 解 先正交化， 1 , 1 , 1 , 1 11 ab 1 11 21 22 , , b bb ab ab 1 , 1 , 1 , 1 1111 411 4 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取 ., , 1 1 稱稱為為的的過過程程向向量量組組

7、 構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組 r r bb aa 施密特正交化過程 第12頁/共27頁 2 22 32 1 11 31 33 , , , , b bb ab b bb ab ab 3 , 1, 2, 0 14 14 1 , 1 , 1 , 1 4 8 1, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再單位化， 14 3 , 14 1 , 14 2 , 03 , 1, 2, 0 14 1 2 2 2 b b e 0 , 6 2 , 6 1 , 6 1 0 , 2, 1 , 1 6 1 3 3 3 b b e 得規(guī)范正交向量組如下 2 1 , 2 1 , 2

8、1 , 2 1 1 , 1 , 1 , 1 2 1 1 1 1 b b e 第13頁/共27頁 例 . , 0 1 4 , 1 3 1 , 1 2 1 321 量規(guī)范正交化量規(guī)范正交化特正交化過程把這組向特正交化過程把這組向 試用施密試用施密設(shè)設(shè) aaa 解 ; 11ab 取取 b b ba ab 1 2 12 22 1 , 1 2 1 6 4 1 3 1 ; 1 1 1 3 5 b b ba b b ba ab 2 2 23 1 2 13 33 21 , 第14頁/共27頁 1 1 1 3 5 1 2 1 3 1 0 1 4 . 1 0 1 2 再把它們單位化，取 b b e 1 1 1 ,

9、 1 2 1 6 1 b b e 2 2 2 , 1 1 1 3 1 b b e 3 3 3 . 1 0 1 2 1 ., 321 即合所求即合所求 eee 第15頁/共27頁 例 . , 1 1 1 3 21321 兩兩正交兩兩正交 使使求一組非零向量求一組非零向量已知已知 a aaaaa 解 . 0 , 0, 321 132 xxx x aaa T 即即應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程 . 1 1 0 , 1 0 1 21 它的基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為 第16頁/共27頁 把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取 , 1 2 a . , , 1 11 21 2 3 a 于是得于是得其中其中, 2, , 1,

10、1121 , 1 0 1 2 a . 1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 3 a 第17頁/共27頁 證明 E A A T E 定義4 . , 1 正交矩陣正交矩陣為為稱稱 則則即即滿足滿足階方陣階方陣若若 A A AEA A An TT 定理 nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 22212 12111 21 22221 11211 為正交矩陣的充要條件是 的行向量組 是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 AA 第18頁/共27頁 E T n TT n , 21 2 1 E T nn T n T n T n TT T n TT 21 22212

11、 12111 nji ji ji ij T ji , 2 , 1, , 0 ;, 1 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 第19頁/共27頁 例 判別下列矩陣是否為正交陣 , 12131 21121 31211 1 . 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 2 定義5 若 為正交陣，則線性變換 稱為正 交變換 Pxy P 第20頁/共27頁 解 12131 21121 31211 1 , 0 2 1 3 1 1 2 1 2 1 1 所以它不是正交矩陣 考察矩陣的第一列和第二列， 由于 第21頁/共27頁 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 9 7

12、9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 T 所以它是正交矩陣 100 010 001 由于 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 2 第22頁/共27頁 例 . 2 1 2 1 00 00 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 是正交矩陣是正交矩陣 驗(yàn)證矩陣驗(yàn)證矩陣 P 解 . , 是正交矩陣是正交矩陣所以所以 且兩兩正交且兩兩正交向量向量的每個列向量都是單位的每個列向量都是單位 P P 第23頁/共27頁 1將一組線性無關(guān)向量規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將向量組正交化，然后再將其單位化 ;1 1T AA ;2EAAT ;3單位向量單位向量的列向量是兩兩正交的的列向量是兩兩正交的A .4單位向量單位向量的行向量是兩兩正交的的行向量是兩兩正交的A 2 為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立： A 第24頁/共27頁 求一單位向量，使它與 ,1 , 1, 1 , 1 1 ,1 , 1, 1,