系統(tǒng)微分算子方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 系統(tǒng)微分算子方程系統(tǒng)微分算子方程 例： 第1頁/共29頁 以p的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解。 )()2)(2()()4( )()65()() 3)(2( 2 2 tfpptfp typptypp 設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項(xiàng)式， 則 )()()()()()(tfpApBtfpBpA 性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)性質(zhì)2 微分算子的運(yùn)算性質(zhì) 第2頁/共29頁 微分算子方程等號(hào)兩邊p的公因式不能隨便消去。 )()(tpftpy 不能隨意消去公因子p而得到y(tǒng)(t)=f(t)的結(jié)果。因?yàn)閥(t)與f(t)之間可以相差一個(gè)常數(shù)c。 ctfty)()( 也不能

2、由方程 )()()()(tfaptyap 通過直接消去方程兩邊的公因式(p+a)得到y(tǒng)(t)=f(t)， 因?yàn)閥(t)與f(t)之間可以相差ce-at，其正確的關(guān)系是 at cetfty )()( 性質(zhì)性質(zhì)3 例如，方程 第3頁/共29頁 性質(zhì)性質(zhì)4 設(shè)A(p),B(p)和D(p)均為p的正冪多項(xiàng)式 A(p)A(p) D(p)( )=( ) D(p)B(p)B(p) f tf t A(p)A(p) D(p) ( )( ) B(p)D(p)B(p) f tf t 但是 第4頁/共29頁 2.3.2 LTI系統(tǒng)的微分算子方程 對(duì)于LTI n階連續(xù)系統(tǒng)，其輸入輸出方程是線性常系數(shù)n階微分方程。若系統(tǒng)

3、輸入為f(t)，輸出為y(t)， 則可表示為 ( )(1)(2)(1) 1210 ()(1)(2)(1) 1210 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) nnn nn mmm mmm ytaytayta yta y t b ftbftbftb ftb f t 12 1210 12 1210 ( ) ( ) nnn nn mmm mmm papapa pay t b pbpbpb pbf t 用微分算子P表示可寫成 或縮寫為 00 ( )( ) nm ij ij ij a py tb pf t 第5頁/共29頁 0 ( ) n i i i A pa p 0 ( ) m

4、j j j B pb p ( ) ( )( ) ( )A p y tB p f t ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) B p y tf tH p f t A p 12 1210 12 1210 ( ) ( ) ( ) mmm mmm nnn nn b pbpbpb pbB p H p A ppapapa pa 微分算子方程 傳輸算子 第6頁/共29頁 傳輸算子代表了系統(tǒng)將輸入轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅淖饔?，或系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用，故稱H(p)為響應(yīng)y(t) 對(duì)激勵(lì)f(t)的傳輸算子或系統(tǒng)的傳輸算子。 H(p)f (t)y(t) 用H(p)表示的系統(tǒng)輸入輸出模型 ( ) ( )( )( ) ( )

5、( ) B p y tf tH p f t A p 第7頁/共29頁 例例 2.3 1 設(shè)某連續(xù)系統(tǒng)的傳輸算子為 32 2 ( ) 234 p H p ppp 寫出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程 ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) B p y tf tH p f t A p 第8頁/共29頁 y(t)f (t) 5 3 2 4 x(t)x (t)x (t) 例例 2.3 2 已知系統(tǒng)框圖，求系統(tǒng)的傳輸算子 。 解解 設(shè)中間變量x(t)，左端加法器列方程 ( )( )3 ( )( )xtx tx tf t )(4)( 2)(txtxty 右端加法器 第9頁/共29頁 2.3.3 電路系統(tǒng)算子方程

6、的建立 表 2.2 電路元件的算子模型 在電路分析中，獨(dú)立源信號(hào)代表系統(tǒng)激勵(lì)，待求解的電流或電壓為系統(tǒng)響應(yīng)。 第10頁/共29頁 例例2.3 3電路如圖所示，試寫出u1(t)對(duì)f(t)的傳輸算子。 u1(t) 2 1 2p u1(t) p 2 f (t)f (t) (a)(b) 2 H 2 2 2 2 F )()( 22 1 2 1 2 1 tftu p p )() 1(2)()22( 1 2 tfptupp 22 ) 1(2 )( 2 pp p pH )(2)( 2)(2)(2)( 1 1 1 tftftututu 解解 由節(jié)點(diǎn)電壓法列出u1(t)的方程為 第11頁/共29頁 例例 2.3

7、4 如圖所示電路，電路輸入為f(t)，輸出為i2(t)，試建立該電路的輸入輸出算子方程。 12 12 11 1( )( )( ) 11 ( )21( )0 pi ti tf t pp i tpi t pp 2 12 2 12 11 (1)( )( )( ) 11 ( )(21)( )0 ppi ti tf t pp i tppi t pp 解：列出網(wǎng)孔電流方程如下 1 2 2 2 1 ( ) 111 ( ) 10121 ( ) i t ppp f t pp i t p 2 2 2 2 1( ) 101 ( ) 11 121 ppf t i t ppp pp 第12頁/共29頁 )()()243

8、2( 2 23 tftippp 2 2 32 2 2 1( ) 1011 ( )( ) (2342)11 121 ppf t i tf t ppppppp pp 2 32 1 ( )( ) 2342 i tf t ppp 第13頁/共29頁 2.4.1 系統(tǒng)初始條件 根據(jù)線性系統(tǒng)的可分解性，LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)可分解為零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，即 )()()(tytyty fx 分別令t=0-和t=0+，可得 )0()0()0( )0()0()0( fx fx yyy yyy 2.4 2.4 連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 第14頁/共29頁 對(duì)于因果系統(tǒng)，

9、由于激勵(lì)在t=0時(shí)接入，故有yf(0-)=0；對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，內(nèi)部參數(shù)不隨時(shí)間變化，故有yx(0+)=yx(0-)。故 (0 )(0 )(0 ) (0 )(0 )(0 ) (0 )(0 ) xx xf f yyy yyy yy 同理，可推得y(t)的各階導(dǎo)數(shù)滿足 ( )( )( ) ( )( )( ) (0 )(0 )(0 ) (0 )(0 )(0 ) jjj xx jjj f yyy yyy 系統(tǒng)的0-和0+初始條件 (0 )(0 )(0 ) (0 )(0 )(0 ) xf xf yyy yyy 第15頁/共29頁 2.4.2 零輸入響應(yīng)算子方程 01 1 1 01 1 1 )( )( )(

10、 apapap bpbpbpb pA pB pH n n n m m m m 設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)y(t)對(duì)輸入f(t)的傳輸算子為H(p)， 且 系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 y(t)和f(t)滿足的算子方程為 )()()()(tfpBtypA yx(t)滿足的算子方程為 0)()(typA x 0t ( )0A p 系統(tǒng)的特征方程： 第16頁/共29頁 2.4.3 簡(jiǎn)單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)1 若A(p)=p-，則yx(t)=c0et 系統(tǒng)特征方程A(p)=0僅有一個(gè)特征根p=。 ()( )0 ( )( )0 xxx py tyty t ( )0 t x d y t e dt 兩邊乘

11、以 ，并整理得 t e tt xx eceyty 0 )0()( 00 ( )( )0 tt xx d yedye d 第17頁/共29頁 簡(jiǎn)單系統(tǒng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)2 若 A(p)=(p-)2，則 yx(t)=(c0+c1t)et。 0)()( 2 typ x ()0()( ) x py tp 0 ()( ) t x py tc e t xx ectyty 0 )()( 0 ()0( )( ) xx t g tgpcte 由于 即 ( ) x g t 第18頁/共29頁 兩邊乘以e-t，再取積分 0 ( ) t d t x etccty )()( 10 0t t xx ectyty 0 )()( 0

12、0 0 0 ( ) ( ) t x t x d yedc t d yec t 21 0121 ( )()( ) () r x rt r A ppy t cctc tcte 推廣 第19頁/共29頁 2.4.4 一般系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 對(duì)于一般情況，設(shè)n階LTI連續(xù)系統(tǒng)，其特征方程A(p)=0具有l(wèi)個(gè)不同的特征根i(i=1, 2, , l)，且i是ri階重根，則 1 ( )() i l r i i A pp 式中，r1+r2+rl=n 第20頁/共29頁 根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理，令i=1,2,.,l,將相應(yīng)方程求和，得 1 ( )( )0 l xi i A pyt 所以方程A(p)yx(t)

13、=0 1 ( )( ) l xxi i y tyt ()( )0 i r ixi pytli, 2 , 1 li, 2 , 1( )( )0 xi A p yt 方程 的解 一定滿足方程 ( ) xi yt 1 ( )() i l r i i A pp 第21頁/共29頁 第二步第二步，求出第i個(gè)根 對(duì)應(yīng)的零輸入響應(yīng)yxi(t) i tr iriiiixi i i etctctccty )( 1 )1( 2 210 li,.,2 , 1 第三步第三步，將所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加相加，得到系統(tǒng)的零輸 入響應(yīng)，即 l i xix tyty 1 )()(0t 第四步第四步，由給定的零

14、輸入響應(yīng)初始條件 或者0-系統(tǒng)的初始條件，確定常數(shù)確定常數(shù) ) 1, 1 , 0)(0( )( njy j x )., 2 , 1(, 1, )1(10 liccc i riii l i r i i ppA 1 )()( 第一步，將A（p）進(jìn)行因式分解，即 一般n階LTI連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解步驟： 第22頁/共29頁 例 2.4 1 某系統(tǒng)輸入輸出微分算子方程為 )() 3()()2)(1( 2 tfptypp 已知系統(tǒng)的初始條件y(0-)=3, y(0-)=-6，y(0-)=13, 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。 解解 由題意知 A(p)=(p+1)(p+2)2 t x t x etcc

15、typ ectyp 2 21202 2 101 )()()2( )() 1( tt xxx etccectytyty 2 21201021 )()()()( 第23頁/共29頁 其一階和二階導(dǎo)函數(shù)為 22 10212021 22 102120 22 10212120 22 102120 ( )2() (1 2 )2 ( )22(1 2 )2 4(1)4 ttt x ttt ttt x ttt y tc ec ecc t e c et c ec e y tc ec et cce c etc ec e tt xxx etccectytyty 2 21201021 )()()()( ),2 , 1 , 0)(0()0( )()( jyy jj x 令t=0-,并考慮到 代入初始條件值并整理得 1020 10 10212020 21 102120 (0 )3 c =1 (0 )26c =2 c =-1 (0 )4413 x x x ycc yccc yccc tt x etety 2 )2()( 0t 第24頁/共29頁 例例 2.