牛頓問題練習題

1、牛頓問題牛頓問題，因由牛頓提出而得名，也有人稱這一類問題叫做牛吃草問題。英國著名的物理學家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃多少天？1解題關(guān)鍵牛頓問題，稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長。解題環(huán)節(jié)主要有四步：1、求出每天長草量；2、求出牧場原有草量；3、求出每天實際消耗原有草量( 牛吃的草量-生長的草量= 消耗原有的草量)；4、最后求出?？沙缘奶鞌?shù)。想：這片草地天天以勻速生長是分析問題的難點。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到

2、的1022-1610=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這個條件，把所有頭牛分成兩部分來研究，用其中一部分吃掉新長出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數(shù)。設(shè)一頭牛1天吃的草為一份。那么10頭牛22天吃草為11022=220(份)，16頭牛10天吃草為11610=160(份)（220-160）（22-10）=5(份)，說明牧場上一天長出新草5份。220-522=110（份)，說明原有老草110份。綜合式：110（25-5）=5.5(天)，就能算出一共多少天。如果想求出有多少牛，那么題目一定會告訴你原來的

3、草量，方法就和求草一樣。你可以先寫出求草的算式，再帶入數(shù)字。2題目解法牛頓問題的解法是這樣的：在牧草不生產(chǎn)的條件下，如果12頭公牛在四星期內(nèi)吃掉三又三分之一由格爾（當時牛頓想出問題并解出答案的地方）的牧草，則按比例36頭公牛四星期內(nèi)，或16頭公牛九個星期內(nèi)，或八頭公牛18星期內(nèi)吃掉10由格爾的牧草，由于牧草在生長，所以21頭公牛9星期只吃掉10由格爾牧草，即在隨后的五周內(nèi)，在10由格爾的草地上新長的牧草足夠21-16=5頭公牛吃9星期，或足夠5/2頭公牛吃18個星期，由此推得，14個星期（即18個星期減去初的四個星期）內(nèi)新長的牧草可供7頭公牛吃18個星期，因為5：14=5/2：7。前已算出，如

4、牧草不長，則10由格爾草地牧草可供8頭公牛吃18個星期，現(xiàn)考慮牧草生長，故應(yīng)加上7頭，即10由格爾草地的牧草實際可供15頭公牛吃18個星期，由此按比例可算出。24由格爾草地的牧草實際可供36頭公牛吃18星期。牛頓還給出代數(shù)解法：他設(shè)格爾草地一個星期內(nèi)新長出的牧草相當于面積為y由格爾的草地，又每頭公牛每個星期所吃牧草所占的面積是相等的。根據(jù)題意，設(shè)若所求的公牛頭數(shù)為x，就為（10/3+10/3*4y）/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x解得x=36 即36條公牛在18個星期內(nèi)吃掉24由格爾的牧草。還有一種方法就是使用方程式的解法。例如有一塊牧場，可供

5、9頭牛吃3天，或者5頭牛吃6天，請問多少牛能夠2天吃完？我們做方程式：設(shè)牧場原有草量為y，每天新增加的牧草可供x頭牛食用，N頭牛能夠2天將草吃完，根據(jù)題目條件，我們列出方程式：y=(9-x）3y=(5-x) 6y=(N-x) 2解方程組得x=1 y=24 N=13其實這種牛吃草問題的核心公式是：原有草量=（牛數(shù)-單位時間長草量可供應(yīng)的牛的數(shù)量）天數(shù)另一解法：牛吃草問題的關(guān)鍵點在于這個問題隱藏了一個基本的平衡在其中，那就是：假若每頭牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此題無解，為什么？因為很可能一頭牛心情好一天就能吃完這些草，也可能10頭牛食欲不佳一個月吃都不完這些草，因此每頭牛每天的吃草速率

6、和數(shù)量必須都是相同的是這個問題成立并且能夠得到答案的充要條件。得到這個結(jié)論后，我們就要開始確定一個平衡的方程式出來，如何確定？不難想到，可以是吃草量和草本身量之間的平衡，也就是吃草量=草總量。于是我們就可以假設(shè)一頭牛一天的吃草量為1個單位，并假設(shè)第三種情況牛吃草的天數(shù)為N；接下來開始尋找平衡方程，我們可以看到，在問題提供的條件中，第一種情況的草的總量為1022，第二種情況的草的總量為1610，第三種情況的草的總量為25N。然后我們開始尋找方程的平衡：既然我們現(xiàn)在已經(jīng)找到三種情況里草地的總量，那么不難想到方程的另一邊就要靠草的量來進行平衡，于是，我們假設(shè)原有草量為Y，草每天的生長量為X，得到如下

7、方程組：1022=22X+Y1610=10X+Y25N=NX+Y解此方程組，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25頭牛用五天半的時間就能吃完這些草。3規(guī)律總結(jié)牛頓問題的難點在于草每天都在不斷生長，草的數(shù)量都在不斷變化。解答這類題目的關(guān)鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長的草量。顯而易見，原有的草量是一定的，新長的草量雖然在變，但如果是勻速生長，我們也能找到另一個不變量每天（每周）新長出的草的數(shù)量。基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c：

8、原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量?；竟剑荷L量=（較長時間長時間牛頭數(shù)-較短時間短時間牛頭數(shù)）（長時間-短時間）；原有草量=較長時間長時間牛頭數(shù)-較長時間生長量；牛吃草問題常用到四個基本公式：牛吃草問題又稱為消長問題，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨著吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是（1）草的生長速度= （對應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較多天數(shù)相應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較少天數(shù)

9、）（吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)）；（2）原有草量=牛頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長速度吃的天數(shù)；（3）吃的天數(shù)=原有草量（牛頭數(shù)草的生長速度）；（4）牛頭數(shù)=原有草量吃的天數(shù)+草的生長速度。這四個公式是解決消長問題的基礎(chǔ)。由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的。正是由于這個不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€基本公式。兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每個白天爬20分米，另一只爬15分米黑夜里往下滑，兩只蝸?；?/p>

10、的速度卻是相同的結(jié)果一只蝸牛恰好用5個晝夜到達井底，另一只蝸牛恰好用6個晝夜到達井底那么，井深多少米？分析：一只蝸牛恰好用5個晝夜到達井底，白天爬； 205=100（分米）； 另一只蝸牛恰好用6個晝夜到達井底，白天爬：156=90（分米） 黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的說明，每夜下滑：100-90=10（分米） 那么井深就是：（10+20）5=150（分米）=15（米），或：（15+10）6=150（分米）=15（米）解答：解：（205-156+20）5，=305，=150（米）答：井深150米點評：此題按牛吃草問題來處理，考察了學生的思維和推理能力4練習題及答案（）牧場上有一片牧

11、草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長，可供21頭牛吃幾周？（）有一口水井，如果水位降低，水就不斷地勻速涌出，且到了一定的水位就不再上升?，F(xiàn)在用水桶吊水，如果每分吊4桶，則15分鐘能吊干，如果每分鐘吊8桶，則7分吊干。現(xiàn)在需要5分鐘吊干，每分鐘應(yīng)吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均勻的速度生長，現(xiàn)在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，則24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？（）有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現(xiàn)在這桶酒如果給6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天？（）一水庫存水量

12、一定，河水均勻入庫。5臺抽水機連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干。若要6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？（6）自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小紅要從扶梯上樓，已知小明每分鐘走20梯級，小紅每分鐘走14梯級，結(jié)果小明4分鐘到達樓上，小紅用5分鐘到達樓上，求扶梯共有多少級？（7）：兩只蝸牛由于耐不住陽光照射，從井頂走向井底，白天往下走，一只蝸牛一個白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，兩只蝸牛下滑速度相同，結(jié)果一只蝸牛5晝夜到達井底，另一只卻恰好用了6晝夜。問井深是多少？（8）一塊1000平方米的牧場能讓12頭牛吃16個星期，或讓18頭牛吃8個星期，那么一塊

13、4000平方米的牧場6個星期能養(yǎng)活多少頭牛？（9）有一只船有一個漏洞，水用均勻的速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果用12個人淘水，3小時可以淘完。如果只有5個人淘水，要10小時才能淘完?，F(xiàn)在要想2小時淘完，需要多少人？（10）有一個水井，水不斷由泉涌出，井滿則溢出。若用4臺抽水機，15小時可把井水抽干。若用8臺抽水機，7小時可把井水抽干?，F(xiàn)在要用幾臺抽水機，能5小時把井水抽干？（11）李村組織農(nóng)民抗旱，從一個有地下泉的池塘擔水澆地。如果50人擔水，20小時可把池水擔完。如果70人擔水，10小時可把池水擔完。現(xiàn)有130人擔水，幾小時可把池水擔完？答案（1）276=162239=2072

14、07-162=4545/(9-6)=15每周生長數(shù)162-156=72(原有量)72/(21-15)=12周（2）415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分鐘涌量)60-150、5=52、5（原有水量）52、5+/(50.5)/5=11桶（3）1730=5101924=456510-456=5454/(30-24)=9每天生長量510-309=240原有草量240+69=294294/6=49人（4）64=2445=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉數(shù)24+44=40原有數(shù)這桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天？（5）520=100615=90100-90=1010

15、/（20-15）=2每天入庫數(shù)100-202=60原有庫存數(shù)60+26=7272/6=12臺（6）204=80145=7080-70=1010/（5-4）=10每分鐘減少數(shù)80+410=120原有數(shù)70+510=120（7）205=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑數(shù)100+510=150156+106=150（8）1216-188=192-144=4848/(16-8)=6每星期生長數(shù)192-166=96原有數(shù)96+66=132132/6=22224=88頭（9）123=36510=5050-36=1414/(10-3)=2每小時增加數(shù)36-32=30原有3

16、0+22=3434/2=17人（10）415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.560-150.5=52.552.5+50.5=5555/5=11臺（11）5020=10007010=7001000-700=300300/(20-10)=30每小時增加1000-3020=400原有400/(130-30)=4小時1、牧場上有一片牧草，可以供27頭牛吃6天，供23頭牛吃9天，如果每天牧草生長的速度相同，那么這片牧草可以供21頭牛吃幾天？2、一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，水勻速進入船內(nèi)，如果10個人舀水，3小時可以舀完；如果5個人舀水，8小時可以舀水，如果要求2小時舀完，那么要安排多少人舀水？3、某牧場上的草，若用17人去割，30天可以割盡，若用19人去割，則只要24天便可割盡，問用多少人割，6天可以割盡？（草勻速生長，每人每天割草量相同）4、有一眼泉水，用功率一樣的3臺抽水機去抽井水，同時開機，