數(shù)學(xué)高中三年級(jí)數(shù)的概念的發(fā)展.

1、教學(xué)目標(biāo)（1）了解數(shù)的概念發(fā)展的過程和動(dòng)力；（2）了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性和作用；理解i的性質(zhì)（3）正確對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系；（4）了解數(shù)系從自然數(shù)到有理數(shù)到實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù)擴(kuò)充的基本思想教學(xué)建議1教材分析（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)首先簡明扼要地對(duì)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)集因生產(chǎn)與科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過程作了概括；然后說明，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身來說，也解決了原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，使得某些代數(shù)方程在新的數(shù)集中能夠有解。從而引出虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，接著，將數(shù)的范圍擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，并指出復(fù)數(shù)后來由于在科學(xué)技術(shù)中得到應(yīng)用而進(jìn)一步發(fā)展。從實(shí)際生產(chǎn)需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展 自然數(shù) 整數(shù)

2、有理數(shù) 無理數(shù)從解方程的需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展 負(fù)數(shù) 分?jǐn)?shù) 無理數(shù) 虛數(shù)（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析（一）認(rèn)識(shí)數(shù)的概念的發(fā)展的動(dòng)力從正整數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動(dòng)力來自兩個(gè)方面。解決實(shí)際問題的需要由于計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)；為了表示具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了整數(shù)；由于測(cè)量的需要產(chǎn)生了有理數(shù)；由于表示量與量的比值（如正方形對(duì)角線的長度與邊長的比值）的需要產(chǎn)生了無理數(shù)（既無限不循環(huán)小數(shù)）。解方程的需要。為了使方程 有解，就引進(jìn)了負(fù)數(shù)；為了使方程 有解，就要引進(jìn)分?jǐn)?shù)；為了使方程 有解，就要引進(jìn)無理數(shù)。引進(jìn)無理數(shù)后，我們已經(jīng)能使方程 永遠(yuǎn)有解，但是，這并

3、沒有徹底解決問題，當(dāng) 時(shí)，方程 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解。為了使方程 （ ）有解，就必須把實(shí)數(shù)概念進(jìn)一步擴(kuò)大，這就必須引進(jìn)新的數(shù)。（二）注意數(shù)的概念在擴(kuò)大時(shí)要遵循的原則第一，要能解決實(shí)際問題中或數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾?，F(xiàn)在要解決的就是在實(shí)數(shù)集中，方程 無解這一矛盾。第二，要盡量地保留原有數(shù)集（現(xiàn)在是實(shí)數(shù)集）的性質(zhì)，特別是它的運(yùn)算性質(zhì)。（三）正確確認(rèn)識(shí)數(shù)集之間的關(guān)系有理數(shù)就是一切形如 的數(shù)，其中 ，所以有理數(shù)集實(shí)際就是分?jǐn)?shù)集“循環(huán)節(jié)不為0的循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)”有理數(shù)=分?jǐn)?shù)=循環(huán)小數(shù)，實(shí)數(shù)=小數(shù)自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C之間有如下的包含關(guān)系：2教法建議（1）注意知識(shí)的連續(xù)性：數(shù)的發(fā)展過

4、程是漫長的，每一次發(fā)展都來自于生產(chǎn)、生活和計(jì)算等需要，所以在教學(xué)時(shí)要注意使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的發(fā)展的兩個(gè)動(dòng)力（2）創(chuàng)造良好的課堂氣氛：由于本節(jié)課要了解擴(kuò)充實(shí)數(shù)集的必要性，所以，教師可以多向?qū)W生介紹一些數(shù)的發(fā)展過程中的一些科學(xué)史，課堂學(xué)習(xí)的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。數(shù)的概念的發(fā)展教學(xué)目的1.使學(xué)生了解數(shù)是在人類社會(huì)的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，了解虛數(shù)產(chǎn)生歷史過程；2.理解并掌握虛數(shù)單位的定義及性質(zhì)；3.掌握復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的分類教學(xué)重點(diǎn)虛數(shù)單位的定義、性質(zhì)及復(fù)數(shù)的分類教學(xué)難點(diǎn)虛數(shù)單位的性質(zhì)教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入原始社會(huì)，由于計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，隨著文字的產(chǎn)生和發(fā)展，出

5、現(xiàn)了記數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而建立了自然數(shù)的概念。自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集.為了表示具有相反意義的量引進(jìn)了正負(fù)數(shù)以及表示沒有的零，這樣將數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長去度量它的對(duì)角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為解決這種矛盾，人們又引進(jìn)了無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集數(shù)的概念是人類社會(huì)的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)理論的研究和發(fā)展也推動(dòng)著數(shù)的概念的發(fā)展，數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)生活和科學(xué)技術(shù)時(shí)刻離不開的科學(xué)語言和工具二、新課教學(xué)(一)虛數(shù)的產(chǎn)生我們知道，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，解方程 是無能為力的，只有把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集才能解決對(duì)于復(fù)數(shù) （a、b都是實(shí)數(shù)）來說，當(dāng) 時(shí)，

6、就是實(shí)數(shù)；當(dāng) 時(shí)叫虛數(shù)，當(dāng) 時(shí)，叫做純虛數(shù)可是，歷史上引進(jìn)虛數(shù)，把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進(jìn)虛數(shù)的呢？ 16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（15011576）在1545年發(fā)表的重要的藝術(shù)一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時(shí)，他把答案寫成 ，盡管他認(rèn)為 和 這兩個(gè)表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（15961650），他在幾何學(xué)（1637年發(fā)表）中使“虛的

7、數(shù)與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)德國數(shù)學(xué)家菜不尼茨（16641716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（17071783）說：“一切形如 ， 習(xí)的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根對(duì)于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時(shí)間和空間的考驗(yàn)，最終占有自己的一席之地法國數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾（17171783）在 17

8、47年指出，如果按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是 的形式（a、b都是實(shí)數(shù)）（說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號(hào) 而使用 ）法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（16671754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了 ，這就是著名的探莫佛定理歐拉在 1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式 ，并且是他在微分公式（1777年）一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號(hào)i作為虛數(shù)的單位“虛數(shù)”實(shí)際上不是想象出來的，而它是確實(shí)存在的挪威的測(cè)量學(xué)家未塞爾（17451818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視德國數(shù)學(xué)家高斯（17771855）在 1806年公布了虛數(shù)的圖象

9、表示法，即所有實(shí)數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來表示在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的點(diǎn)A，縱軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)b的點(diǎn)B，并過這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn)C就表示復(fù)數(shù) 象這樣，由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“高斯平面”高斯在1831年，用實(shí)數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù) ，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實(shí)數(shù)一樣地“代數(shù)化”他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一對(duì)應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一對(duì)應(yīng)高斯不僅把復(fù)數(shù)

10、看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實(shí)數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)(二)、虛數(shù)單位1.規(guī)定i叫虛數(shù)單位，并規(guī)定：(1) (2)實(shí)數(shù)與它進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立2.形如 ( )的數(shù)叫復(fù)數(shù)，常用一個(gè)字母z表示，即 ( )注：(1) ( )叫復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；(2)以后說復(fù)數(shù) 都有 ；(3)a叫復(fù)數(shù) ( )的實(shí)部記作 ；b叫復(fù)數(shù) ( )的虛部，用 表示；(4)全體復(fù)數(shù)的所成的集合叫復(fù)