高中排列組合知識點(diǎn)匯總及典型例題

1、一基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二排列：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素，按照一定的順序排成一1.公式：1. 2. (1) (2) ；(3)三組合：從n個不同元素中任取m（mn）個元素并組成一組，叫做從n 個不同的m 元素中任取 m 個元素的組合數(shù)，記作 Cn 。 1. 公式： ； 若四處理排列組合應(yīng)用題 1.明確要完成的是一件什么事（審題） 有序還是無序 分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1

2、）兩種思路：直接法；間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。（2）分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來； (2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特

3、殊位置優(yōu)先考慮；（3）相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。 （4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先

4、對其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；（6）“小團(tuán)體”排列問題采用先整體后局部策略 對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時，可先將“小團(tuán)體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)能被4整除的數(shù)的特征

5、：末兩位是4的倍數(shù)。 能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。 能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：（1）.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法: （2） “含”與“不含” 用間接排除法或分類法:3分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分

6、組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分組問題例1.電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22A4448. 從而應(yīng)填48例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.(1) 甲排在最右端時,有種排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有種排法

7、，乙有種排法，其他人有種排法，共有種排法，分類相加得共有+=504種排法例.有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個位置上任取4個位置排男生，有A種排法.剩余的3個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法，故共有A1=840種.1.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的

8、取法有臺,選.2從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1）如果4人中男生和女生各選2人，有 種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有 種選法； （3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有 種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有 種選法分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題.解：（1）先從男生中選2人，有種選法，再從女生中選2人，有種選法，所以共有=60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有=21（種）；（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條

9、件的選法數(shù)：=91（種）；直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)=91（種）.（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)=120（種）.直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為=120（種）.16個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為()A40 B50 C60 D70 解析先分組再排列，一組2人一組4人有C15種不同的分法；兩組各3人共有10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25250，故選B.2有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A36種 B48種 C7

10、2種 D96種 解析恰有兩個空座位相鄰，相當(dāng)于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共AA72種排法，故選C.3只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A6個 B9個 C18個 D36個 解析注意題中條件的要求，一是三個數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個數(shù)字共有C3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有AC6(種)排法，所以共有3618(種)情況，即這樣的四位數(shù)有18個4男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有()A2人或3人 B3人或

11、4人 C3人 D4人 解析設(shè)男生有n人，則女生有(8n)人，由題意可得CC30，解得n5或n6，代入驗證，可知女生為2人或3人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有()A45種 B36種 C28種 D25種 解析因為108的余數(shù)為2，故可以肯定一步一個臺階的有6步，一步兩個臺階的有2步，那么共有C28種走法6某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有()A24種 B36種 C38種 D108種 解析本題考查

12、排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C種分法，然后再分到兩部門去共有CA種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有2CAC36(種)7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個數(shù)為()A33 B34 C35 D36 解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有CA12個；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個1的

13、有CAA18個；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個1的有C3個故共有符合條件的點(diǎn)的個數(shù)為1218333個，故選A.8由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是()A72 B96 C108 D144 解析分兩類：若1與3相鄰，有ACAA72(個)，若1與3不相鄰有AA36(個)故共有7236108個9如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A50種 B60種 C120種 D210種 解析先安排甲學(xué)校的參觀時間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6種：(

14、1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任選一種為C，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀，安排方法有A種，按照分步乘法計數(shù)原理可知共有不同的安排方法CA120種，故選C.10安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_種(用數(shù)字作答) 解析先安排甲、乙兩人在后5天值班，有A20(種)排法，其余5人再進(jìn)行排列，有A120(種)排法，所以共有201202400(種)安排方法11今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有_種不同的排法(用數(shù)字作答)

15、 解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個組合問題，共有CCC1260(種)排法12將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答) 解析先將6名志愿者分為4組，共有種分法，再將4組人員分到4個不同場館去，共有A種分法，故所有分配方案有：A1 080種13要在如圖所示的花圃中的5個區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有_種不同的種法(用數(shù)字作答) 解析5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，有432(1211)72種14. 將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有 （A）12種 （B）18種 （C）3