矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組

1、2.3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組 一、矩陣的條件數(shù)一、矩陣的條件數(shù) 二、線性方程組的性態(tài)二、線性方程組的性態(tài) 三、病態(tài)線性方程組的求解三、病態(tài)線性方程組的求解 2.3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組 例例1 方程組方程組 0001. 4 4 10001. 3 13 2 1 x x 準(zhǔn)確解：準(zhǔn)確解： T T xx1,1, 21 若若A及及b作微小變化，考慮擾動(dòng)后的方程組：作微小變化，考慮擾動(dòng)后的方程組： 0002. 4 4 19999. 2 13 2 1 x x 準(zhǔn)確解：準(zhǔn)確解： TT xx10,2, 21 方程組解的幾何解釋為：平面上兩條接近于平行的直

2、線的方程組解的幾何解釋為：平面上兩條接近于平行的直線的 交點(diǎn)，當(dāng)其中一條直線稍有變化時(shí)，新的交點(diǎn)與原交點(diǎn)相交點(diǎn)，當(dāng)其中一條直線稍有變化時(shí)，新的交點(diǎn)與原交點(diǎn)相 差很遠(yuǎn)。差很遠(yuǎn)。 例例2 方程組方程組 31 33 23 32 10957 91068 5657 78710 4 3 2 1 x x x x 準(zhǔn)確解為：準(zhǔn)確解為： TT xxxx) 1 , 1 , 1 , 1 (),( 4321 （1）對(duì)右端）對(duì)右端b作微小擾動(dòng)：作微小擾動(dòng)： 9 .30 1 .33 9 .22 1 .32 10957 91068 5657 78710 4 3 2 1 x x x x TT xxxx) 1 . 1, 5 .

3、 4 , 6 .12, 2 . 9(),( 4321 （2）對(duì)系數(shù)矩陣）對(duì)系數(shù)矩陣A作微小擾動(dòng)：作微小擾動(dòng)： 31 33 23 32 98. 9999. 499. 6 989. 998. 58 5604. 508. 7 2 . 71 . 8710 4 3 2 1 x x x x TT xxxx)22,34,137,81(),( 4321 A A x x b b x x 4488倍倍 15111倍倍 02. 0001. 001 . 0 011 . 0 02. 00 0004. 008. 0 2 . 01 . 000 A 0.3 0.9% 33 0 .1 0 .3 0 3 % 3 3 %13600

4、 1 136 %1360 1 6.13 2.3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組 一、矩陣的條件數(shù)一、矩陣的條件數(shù) 矩陣條件數(shù)的定義矩陣條件數(shù)的定義 矩陣條件數(shù)的性質(zhì)矩陣條件數(shù)的性質(zhì) 一、矩陣的條件數(shù)一、矩陣的條件數(shù) )( 1 1 1 b b A A A A AA AA x x 改寫（改寫（2.22）式：）式： 矩陣條件數(shù)的定義：矩陣條件數(shù)的定義： 矩陣條件數(shù)的性質(zhì)：矩陣條件數(shù)的性質(zhì)： （6）Cond(AB) Cond(A) Cond(B) 二、線性方程組的性態(tài)二、線性方程組的性態(tài) 答案：答案：T xAcond)0 , 2(,104)() 1 ( 4 T xx) 1 , 1 (

5、)2( %50%,005. 0)3( x x b b 希爾伯特（Hilbert）陣 nji ji hhH jinnji , 2 , 1, 1 1 ,)( , 12 1 2 1 1 11 1 1 4 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 nnnn n n H n 定義：定義： -最著名的病態(tài)矩陣最著名的病態(tài)矩陣 對(duì)稱正定矩陣對(duì)稱正定矩陣 在在MATLAB中，函數(shù)中，函數(shù)hilb（）提供了（）提供了Hilbert矩陣矩陣 )4( 4 hilbH 10 8 7 6 4 4 1053. 1)( 1049. 1)(,1055. 1)( Hcond HcondHcond 希爾伯特（Hilbert）陣

6、 -最著名的病態(tài)矩陣最著名的病態(tài)矩陣 Hilbert矩陣的條件數(shù)： 18 20 17 15 13 10 5 5 109084. 1)(10488. 8)( 106025. 1)(,10761. 4)( HcondHcond HcondHcond 求解病態(tài)方程組出現(xiàn)的問題：求解病態(tài)方程組出現(xiàn)的問題： 例：用例：用MATLAB求解線性方程組求解線性方程組 bxH n T n eeHb) 1 , 1 , 1 (, 輸入：輸入： , ;);1 ,(*);(; 5xbHxnonesHbnhilbHn 得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000 輸入：輸入： , ;);1

7、,(*);(;10 xbHxnonesHbnhilbHn 得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9999 1.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000 輸入：輸入： , ;);1 ,(*);(; 5xbHxnonesHbnhilbHn 得：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000 輸入：輸入： 得：得：ans=1.000, 1,000, 1.000, 1.000, 0.999 1.000，0.999， 1.000， 0.999，1.000 , ;);1 ,(*);(;10 xbHxnonesHbnhilbHn 輸

8、入：輸入： 得：得：ans=1.000, 1,000, 1.001, 0.979 1.202 -0.141, 4.886, - 6.842, 9.446, -2.9071 6.4271, -19.1914,24.787,9.577, -50.545, 65.566, -47.751, 27.814, -9.191, 2.883 , ;);1 ,(*);(;20 xbHxnonesHbnhilbHn 三、病態(tài)線性方程組的求解三、病態(tài)線性方程組的求解 1、病態(tài)線性方程組的判別、病態(tài)線性方程組的判別 2、病態(tài)線性方程組的求解、病態(tài)線性方程組的求解 （1）采用高精度）采用高精度 （2）（預(yù)處理）平衡法

9、）（預(yù)處理）平衡法 （3）殘差校正法）殘差校正法 （4）奇異值分解法）奇異值分解法 三、病態(tài)線性方程組的求解三、病態(tài)線性方程組的求解 1、病態(tài)線性方程組的判別、病態(tài)線性方程組的判別 例（例（P49） 三、病態(tài)線性方程組的求解三、病態(tài)線性方程組的求解 1、病態(tài)線性方程組的判別、病態(tài)線性方程組的判別 10 101 . 0 1 . 01 . 0 A 11 10)( Acond 10 10 101 . 0 1 . 010 B 1)( Bcond 例（例（P49） 2、病態(tài)線性方程組的求解、病態(tài)線性方程組的求解 （2）預(yù)處理）預(yù)處理 設(shè)有預(yù)處理矩陣設(shè)有預(yù)處理矩陣P，對(duì)方程組，對(duì)方程組AX=b預(yù)處理預(yù)處理

10、 PAX=Pb 使使 )()(AcondPAcond 2、病態(tài)線性方程組的求解、病態(tài)線性方程組的求解 （1）采用高精度）采用高精度 （2）預(yù)處理）預(yù)處理)()(AcondPAcond 例例4（P49） 10 2 1 10 10 2 . 0 101 . 0 1 . 01 . 0 x x 11 10)( Acond方程組病態(tài)方程組病態(tài) 進(jìn)行行平衡進(jìn)行行平衡:)10,10(,10, 1 .0 1010 21 diagDss 得同解方程組得同解方程組:DbDAx 1 2 110 11 2 1 11 x x 4)( Acond (3)殘差校正法殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）（迭代求精法，迭代改善法

11、） bAx xAbr rxA xxx x 近似解 xx Stop ?0rxx Y N (3)殘差校正法殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）（迭代求精法，迭代改善法） （4）奇異值分解法）奇異值分解法 T USVA U、V正交陣，正交陣，S對(duì)角陣對(duì)角陣 在在MATLAB中，函數(shù)中，函數(shù)svd（）作矩陣的奇異值分解（）作矩陣的奇異值分解 a)奇異值分解（奇異值分解（Singular-Value Decomposition） 如：求如：求H4的奇異值分解。輸入的奇異值分解。輸入 )4(,hilbsvdVSU 如：求如：求H4的奇異值分解。輸入的奇異值分解。輸入 )4(,hilbsvdVSU 得到：得

12、到： U=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146 S=1.5002 0 0 0 0 0.1691 0 0 0 0 0.0067 0 0 0 0 0.0001 V=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.638

13、3 0.5146 b)用奇異值分解解線性方程組用奇異值分解解線性方程組 T USVA bAx bAx 1 bVSU T n i i i T i v bu 1 ),(),( 2121nn vvvVuuuU n S 2 1 思考思考:這種方法有問題嗎？這種方法有問題嗎？ 令令 請(qǐng)大家自己查閱有關(guān)書籍請(qǐng)大家自己查閱有關(guān)書籍?dāng)?shù)值分析與實(shí)驗(yàn)，薛毅數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)，薛毅 小小 結(jié)結(jié) 2.3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組 一、矩陣的條件數(shù)一、矩陣的條件數(shù) 二、線性方程組的性態(tài)二、線性方程組的性態(tài):病態(tài)和良態(tài)病態(tài)和良態(tài) 三、病態(tài)線性方程組的求解三、病態(tài)線性方程組的求解 1 )( AAAcond （1）采用高精度）采用高精度 （2）（預(yù)處理）平衡法）（預(yù)處理）平衡法 （3）殘差校正法）殘差校正法 （4）奇異值分解法）奇異值分解法 證明證明 (1) 只要證明只要證明A+A非奇非奇 )()( 1 AAIAAA ?1 1 AA (2) bbxxAA)()( bbxAxA