第一章 信號及其描述

1、學習本課程應達到的目的 1、 掌握信號的時域和頻域的描述方法，建立明確的信 號頻譜結構的概念；掌握頻譜分析和相關分析的基 本原理和方法，掌握數(shù)字信號分析中的一些基本概 念。 2、 掌握測試裝置基本特性的評價方法和不失真測試條 件，并能正確地運用于測試裝置的分析和選擇。掌 握一階、二階線性系統(tǒng)動態(tài)特性及其測定方法。 3、 了解常用傳感器、常用信號調理電路和記錄儀器的 工作原理和性能，并能較合理地選用。 4、 對動態(tài)測試工作的基本問題有一個比較完整的概 念，并能初步運用于機械工程中某些參量的測試。 第一節(jié) 信號的分類 與描述 第二節(jié) 周期信號與離 散頻譜 第三節(jié) 非周期信號 與連續(xù)頻譜瞬變 第四節(jié)

2、 隨機信號 第一章 信號及其描述 第一節(jié)、信號的分類與描述第一節(jié)、信號的分類與描述 一、信號的分類 二、信號的描述 第一節(jié)、信號的分類與描述第一節(jié)、信號的分類與描述 n周期信號周期信號 是按一定時間間隔周而復始出現(xiàn)，無是按一定時間間隔周而復始出現(xiàn)，無 始無終的信號。始無終的信號。 式中T 0周期 彈簧振子彈簧振子 n非周期信號非周期信號 是確定性信號中不具有周期重復性是確定性信號中不具有周期重復性 的信號。的信號。 彈簧振子彈簧振子 n隨機信號隨機信號 是不能準確預測其未來瞬時值，無法是不能準確預測其未來瞬時值，無法 用數(shù)學關系式描述的信號。用數(shù)學關系式描述的信號。 第一節(jié)、信號的分類與描述第

3、一節(jié)、信號的分類與描述 一、信號的分類 （1） 目 錄 第一節(jié)、信號的分類與描述第一節(jié)、信號的分類與描述 （2） 目 錄 n連續(xù)信號連續(xù)信號 是其數(shù)學表示式中的獨立變量取是其數(shù)學表示式中的獨立變量取 值是連續(xù)的信號。若獨立變量和幅值取連續(xù)的值是連續(xù)的信號。若獨立變量和幅值取連續(xù)的 稱為模擬信號。稱為模擬信號。 n離散信號離散信號 是其數(shù)學表示式中的獨立變量取是其數(shù)學表示式中的獨立變量取 值是離散的信號。若離散信號的幅值也是離散值是離散的信號。若離散信號的幅值也是離散 的稱為數(shù)字信號。的稱為數(shù)字信號。 n能量有限信號能量有限信號（能量信號）（能量信號） 當 滿足 時，則認為信號 的能量是有限的。

4、例如有限時間段內 的矩形脈沖信號、衰減指數(shù)函數(shù)等。 彈簧振子彈簧振子 n功率有限信號功率有限信號（功率信號（功率信號）信號在區(qū)間 (-,+ )的能量是無限的，但在有限 區(qū)間的平均功率是有限的，即 第一節(jié)、信號的分類與描述第一節(jié)、信號的分類與描述 （3） 目 錄 彈簧振子彈簧振子 m k A x(t) 周期信號 功率信號 非周期信號 能量信號 目 錄 m A x(t ) ck n時域描述時域描述 以時間t為獨立變量的， 直接觀測或記錄到的信號。信號時域 描述直觀地出信號瞬時值隨時間變化 的情況。 n頻域描述頻域描述 信號以頻率 f 為獨立變 量，稱為信號的頻域描述。反映信號 的頻率組成及其幅值、

5、相角之大小。 第一節(jié)、信號的分類與描述第一節(jié)、信號的分類與描述 二、信號的描述二、信號的描述 實際，兩種描述方法可以相互轉換，雖然是從不同的實際，兩種描述方法可以相互轉換，雖然是從不同的 角度來描述信號，但都反映了信號的本質特征，包含角度來描述信號，但都反映了信號的本質特征，包含 同樣的信息。同樣的信息。 目 錄 周期方波的時域、頻域描述 由上圖可以看到，時域周期方波經(jīng)過一定的方法進行變換之后，由上圖可以看到，時域周期方波經(jīng)過一定的方法進行變換之后， 可以得到其頻域描述可以得到其頻域描述幅頻譜圖和相頻譜圖。幅頻譜圖和相頻譜圖。 一、傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式 二、傅立葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)展開式

6、三、周期信號的強度表述 第二節(jié)、周期信號與離散頻譜第二節(jié)、周期信號與離散頻譜 第二節(jié)、周期信號與離散頻譜第二節(jié)、周期信號與離散頻譜 周期信號分解的條件：周期信號分解的條件： 狄里赫利條件：狄里赫利條件： 一周期信號若能分解為諧波分量，代表這一周期信號一周期信號若能分解為諧波分量，代表這一周期信號 的函數(shù)的函數(shù)f(t)應當滿足下列條件：應當滿足下列條件： u在一周期內，函數(shù)是絕對可積的，即在一周期內，函數(shù)是絕對可積的，即 應為有限值；應為有限值； u在一周期內，函數(shù)的極值數(shù)目為有限；在一周期內，函數(shù)的極值數(shù)目為有限； u在一周期內，函數(shù)在一周期內，函數(shù)f(t)或者為連續(xù)的，或者具有有或者為連續(xù)的

7、，或者具有有 限限 個第一類的間斷點，即當個第一類的間斷點，即當t從較大的時間值和較小從較大的時間值和較小 的時間值分別趨向間斷點時，函數(shù)具有兩個不同的的時間值分別趨向間斷點時，函數(shù)具有兩個不同的 有限的函數(shù)值。有限的函數(shù)值。 一、周期信號的傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式 在有限的區(qū)間上，凡滿足狄里赫利條件的周期函 數(shù)（信號）可以展開成傅立葉級數(shù)。 例題例題進入復指數(shù)進入復指數(shù) 第二節(jié)、周期信號與離散頻譜第二節(jié)、周期信號與離散頻譜 常值分量 余弦分量的幅值 正弦分量的幅值 周期 圓頻率， 展開式 求右圖周期性三角波的傅立葉級數(shù) 解：在x(t)的一個周期中可表示為 常值分量 返 回 小 結 余弦分量

8、的幅值 正弦分量的幅值 返回說明 結果： 周期頻譜特點 對于例1-1的小結 周期性三角波頻譜，其幅頻譜只包周期性三角波頻譜，其幅頻譜只包 含常值分量、基波、和奇次諧波的頻含常值分量、基波、和奇次諧波的頻 率率 分量，諧波的幅值以分量，諧波的幅值以1/n2的規(guī)律收的規(guī)律收 斂。在其相頻譜中基波和各次諧波的斂。在其相頻譜中基波和各次諧波的 初相位為均為零。初相位為均為零。 返 回 第二節(jié)、周期信號與離散頻譜第二節(jié)、周期信號與離散頻譜 傅立葉級數(shù)的物理意義 對任一以T為周期的波信號f(t)都可分解為一系列的簡 諧波Xn(t)Ancos(n0t+n)之和。其中n1時的諧波稱為基基 波波，其角頻率0稱為

9、基頻基頻。一般，n次諧波次諧波的角頻率是基 頻的n倍，振幅振幅An反映了角頻率為n0的n次諧波在f(t)中所 占的比重;而n表示n次諧波沿時間軸移動的大小，稱為相相 位位。 在工程技術上，一般把振幅An稱為周期函數(shù)f(t)的頻譜頻譜， 振幅An與角頻率n0的關系圖稱為頻譜圖頻譜圖。頻譜圖完全刻 畫了波信號f(t)的頻率特性，在工程技術中有廣泛應用。若 把振幅An與角頻率n0的關系記為An F(n 0)，由于n 1,2 所以頻譜圖是不連續(xù)的，稱為離散頻譜離散頻譜。也就是 說，對周期函數(shù)周期函數(shù)有離散頻譜離散頻譜。另外把Cn的輻角主值n arg Cn稱為離散相位頻譜離散相位頻譜。 n根據(jù)歐拉公式：

10、 有 傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式可改寫為： 二、傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)展開式 令 則 或 返 回 一般情況下cn 是復數(shù) 目錄 依據(jù)歐拉公式： 一些分析 周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)形式后，可分 別以幅值或相位與頻率的關系作幅頻譜圖或相頻譜圖，幅頻譜圖或相頻譜圖，也可分 別以的實部或虛部與頻率的關系作幅頻圖幅頻圖，并分別稱為實頻譜實頻譜 圖圖和虛頻譜圖虛頻譜圖。 總結： 第二節(jié)、周期信號與離散頻譜第二節(jié)、周期信號與離散頻譜 把周期函數(shù)X（t）展開為傅立葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)形 式后，可分別以和作幅頻譜圖和相頻譜圖；也可以的實部 或虛部與頻率的關系作幅頻圖，分別稱為實頻譜圖和虛頻

11、譜圖 例題1-2 畫出余弦、正弦函數(shù)的實、虛部頻譜圖。 解 ：根據(jù)式子 故余弦函數(shù)只有實頻譜圖，與縱軸偶對稱 小結 正弦、余弦函數(shù)實、虛部頻譜圖正弦、余弦函數(shù)實、虛部頻譜圖 時域函數(shù)圖形 正、余弦函數(shù)的傅氏變換 返 回 周期信號頻譜的三大特點周期信號頻譜的三大特點 q1）離散性離散性周期信號的頻譜是離散的。 q2）諧波性諧波性每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍 上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)。 q3）收斂性收斂性各頻率分量的譜線高度表示該諧波的 幅值(或相位角)。工程中常見的周期信號常見的周期信號， 其諧波幅值的總趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而 降低的。因此，在頻譜分析中沒必要考慮較 高階次諧波成分

12、。 返 回 （參見No.15）舉工程實例說明傅氏變換應用 三、周期信號的強度表述 周期信號的強度表述方式主要有四種： 1）峰值 峰值 是信號可能出現(xiàn)的最大瞬時值，即 峰-峰值 是一個周期中最大瞬時值和最小瞬時值之差 (測試系統(tǒng)) 2）絕對均值 （全波整流后的均值） 3）有效值（均方根值） 4）平均功率(有效值的平方) 第三節(jié)、瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜第三節(jié)、瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜 周期信號、非周期信號及其頻譜的有關說明周期信號、非周期信號及其頻譜的有關說明 n周期信號均可以展開成多項簡諧信號之和，各分量頻率之間存 在公約數(shù)，即基頻，其信號分量即成為基波。因此其頻譜是離 散的（參見周期性三角波

13、的頻譜圖）。 n反過來，簡諧信號的疊加不一定就是周期信號，也就是說具有 離散頻譜的信號不一定是周期信號。 1、各簡諧信號頻率比是有理數(shù)，則為周期信號周期信號 2、各簡諧信號頻率比不是有理數(shù)，雖不是周期信號，但如果 有離散頻譜 如： 稱為準周期信號準周期信號 3、各簡諧信號頻率比不是有理數(shù)，也沒有離散頻譜（具有連 續(xù)頻譜），則為非周期信號非周期信號。我們所說的非周期信號通常 指瞬變非周期信號。 常見非周期信號示例常見非周期信號示例 X(t) t0 X(t) t 0 t X(t) 0 X(t) t 0 指數(shù)衰減信號矩形脈沖信號 衰減振蕩信號單一脈沖信號 一、傅立葉變換 對于非周期信號的理解 周期信

14、號頻譜譜線的頻率間隔 ，當 周期T0 趨于無窮時，其頻率間隔 趨于無窮小，譜線 無限靠近。頻率變量連續(xù)取值以至離散譜線的頂點最后 變成一條連續(xù)曲線。所以非周期信號的頻譜是連續(xù)非周期信號的頻譜是連續(xù) 的的。 公式分析例 題 設有一個周期信號x(t)在區(qū)間 以傅立葉級數(shù)表示為 式中 將上邊右式代入左式則得： 當 T0 趨于無窮時，頻率間隔 成為 ，離散譜 中相鄰的譜線緊靠在一起， 成為連續(xù)變量 ，求 和符號 就變?yōu)榉e分符號 ，則 d n 這就是傅立葉積分 我們由此也可以看到由具有離散頻譜的周期信 號的傅立葉級數(shù)在周期T0趨向于無窮大時，而轉變 成傅立葉積分。 其中上邊的公式稱為 x (t)的傅立葉

15、變換，而下式稱為 X() 的傅立葉逆變換，兩者稱為傅立葉變換對，可記為 由 =2f ，則傅氏變換及其逆變換變?yōu)?關系是 一般X(f) 是實變量f 的復函數(shù)，可以寫成 式中 為信號 的連續(xù)幅值譜, 為信 號 的連續(xù)相位譜。 公式簡化后有 返 回 例題1-3 求矩形窗函數(shù)的頻譜 常稱為矩形窗函數(shù)，其頻譜為 由 做簡單變換以 代 替 ， 代入上邊的W（f）則可以得到： 式中T稱為窗寬，在工程應用中常用作激勵信號 頻 譜 sinc 矩形窗函數(shù)及其頻譜矩形窗函數(shù)及其頻譜 典型信號 熟悉傅立葉變換的性質的重要意義熟悉傅立葉變換的性質的重要意義 傅立葉變換將一個信號的時域描述轉換為頻域描述，傅立葉變換將一個

16、信號的時域描述轉換為頻域描述， 同時根據(jù)傅立葉變換對，又可以得到時域描述，因同時根據(jù)傅立葉變換對，又可以得到時域描述，因 此兩種描述相互包含同樣的信息量，存在一一對應此兩種描述相互包含同樣的信息量，存在一一對應 關系。因此我們了解了傅立葉變換的一些主要性質，關系。因此我們了解了傅立葉變換的一些主要性質， 對于簡化我們的分析計算工作有重要意義。對于簡化我們的分析計算工作有重要意義。 （一）、奇偶虛實性 一般X（f）是實變量 f 的復變函數(shù). 余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正弦函數(shù)是奇函數(shù)。若X（t）為實 偶函數(shù)或者為實奇函數(shù)，則 X（f）將會怎樣？了解其 性質，減少不必要的計算！ （二）、對稱性 若 則 證

17、明 以 t 代替 t 得 將 t 與 f 互換，即得X（t）的傅立葉變換為 所以 （三）、時間尺度改變特性 窗函數(shù) 特性舉例 若 則 證明 （四）、時移與頻移特性 若 則，時域: 頻域: （五）、卷積特性 若 則 定義：兩個函數(shù) 與 的卷積： 記為： （六）、微分和積分特性 若 可得 n矩形窗函數(shù)的頻譜 n 函數(shù)及其頻譜 n正、余弦函數(shù) 的頻譜密度函數(shù) n周期單位脈沖序列的頻譜 三、幾種典型信號的頻譜分析 一、矩形窗函數(shù)及其頻譜 公式： 頻譜： 頻譜 一、定義 二、 函數(shù)及其頻譜 在時間內激發(fā)一個矩形脈沖 ，其面積為1。 當趨于0時， 的極限就稱為函數(shù)，記做(t)。 函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。 (

18、t)的特點有： 從面積的角度來看,也稱為函數(shù)的強度 二、 函數(shù)的采樣性質 函數(shù)應用 三、 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積特性 由此可見：x(t)函數(shù)和函數(shù)的卷積的結果，就 是在發(fā)生函數(shù)的坐標位置上簡單地將x(t)重新 構圖。 函數(shù)與函數(shù)x(t)的卷積 若函數(shù)有個時移，變?yōu)?tt0)時，其卷積為： 四、 函數(shù)的頻譜 所有頻段上等強度 “均勻譜” 又稱為“白色譜”或“白噪聲” 五、五、函數(shù)的相關傅立葉變換對函數(shù)的相關傅立葉變換對 (t)單位瞬時脈沖 1均勻頻譜密度函數(shù) 1均勻頻譜密度函數(shù) (f)在f0處有脈沖譜線 (tt0)函數(shù)時移t0 e-j2ft0各頻率成分分別 相移2ft0角角 e j2f0t 復指數(shù)函數(shù) (ff0)將(f)頻移到 f0 三、正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù) 一、定義 正余弦函數(shù)的傅立葉變換如下： 頻譜 一、定義 等間隔的周期單位脈沖序列常稱為梳狀函數(shù)梳狀函數(shù)，并用 權且把它看做周期信號，則其傅立葉級數(shù)的復指數(shù)形式為： 四、周期單位脈沖序