第一章單自由度機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1、 緒論 機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是應(yīng)用力學(xué)的基本理論解決 機(jī)械系統(tǒng)中動(dòng)力學(xué)問題的一門學(xué)科，其核心 問題是建立機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與其內(nèi)部參 數(shù)、外部條件之間的關(guān)系，找到解決問題的 途徑 三體機(jī)械臂三體機(jī)械臂 可伸展衛(wèi)星太陽能電池板可伸展衛(wèi)星太陽能電池板 汽車汽車 五軸并聯(lián)機(jī)床五軸并聯(lián)機(jī)床 機(jī)械動(dòng)力學(xué)研究內(nèi)容機(jī)械動(dòng)力學(xué)研究內(nèi)容 ： 機(jī)械原理由三部分組成機(jī)械原理由三部分組成： 機(jī)械結(jié)構(gòu)學(xué)、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和機(jī)械動(dòng)力學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)學(xué)、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和機(jī)械動(dòng)力學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)學(xué)：機(jī)構(gòu)組成原理、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的可能 性和確定性。 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)：1運(yùn)動(dòng)學(xué)分析不考慮力的作 用，從幾何觀點(diǎn)研究機(jī)構(gòu)各構(gòu)件運(yùn)動(dòng)參數(shù)（位 移、速度、

2、加速度） 2運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合僅從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度設(shè)計(jì)新機(jī)構(gòu) 的方法。 機(jī)械動(dòng)力學(xué)機(jī)械動(dòng)力學(xué)： 1 1動(dòng)力學(xué)分析動(dòng)力學(xué)分析研究機(jī)械在力作用下的運(yùn)研究機(jī)械在力作用下的運(yùn) 動(dòng)和機(jī)械在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的力。動(dòng)和機(jī)械在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的力。 2 2動(dòng)力學(xué)綜合（動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)）動(dòng)力學(xué)綜合（動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)）從力與運(yùn)從力與運(yùn) 動(dòng)的相互作用角度對(duì)機(jī)械進(jìn)行設(shè)計(jì)改進(jìn)，使動(dòng)的相互作用角度對(duì)機(jī)械進(jìn)行設(shè)計(jì)改進(jìn)，使 之達(dá)到運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)要求。之達(dá)到運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)要求。 在機(jī)械動(dòng)力學(xué)發(fā)展歷史上，提出了四種分析在機(jī)械動(dòng)力學(xué)發(fā)展歷史上，提出了四種分析 方法方法： 靜力分析靜力分析（staticstatic） 動(dòng)態(tài)靜力分析動(dòng)態(tài)靜力分析(kinetio-stati

3、c)(kinetio-static) 動(dòng)力分析動(dòng)力分析(dynamic)(dynamic) 彈性動(dòng)力分彈性動(dòng)力分析析(elastodynamic)(elastodynamic) 1 靜力分析 對(duì)低速機(jī)械，運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的慣性可以忽略不計(jì)，對(duì)機(jī) 械的運(yùn)動(dòng)過程中的各個(gè)位置，可以用靜力學(xué)方法求出 為平衡載荷而需在驅(qū)動(dòng)構(gòu)件上施加的驅(qū)動(dòng)力或力矩， 以及各運(yùn)動(dòng)副中的約束反力，可用此進(jìn)行原動(dòng)機(jī)功率 的計(jì)算、構(gòu)件和運(yùn)動(dòng)副承載能力的計(jì)算。 2 動(dòng)態(tài)靜力分析 對(duì)高速機(jī)械，慣性力不能再被忽略，根據(jù)達(dá)朗伯原理 ，可將慣性力計(jì)入靜力平衡方程來求出為平衡動(dòng)載荷 和靜載荷而需在驅(qū)動(dòng)構(gòu)件上施加的輸入力和力矩以及 運(yùn)動(dòng)副中的反作用

4、力。 3 動(dòng)力分析 拋棄了對(duì)驅(qū)動(dòng)構(gòu)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理想假定，把原動(dòng)機(jī)包括 在機(jī)械系統(tǒng)之內(nèi)來進(jìn)行分析，分析的對(duì)象是整個(gè)機(jī)械系 統(tǒng)，求解的是微分方程或代數(shù)-微分混合方程。 4 彈性動(dòng)力分析 隨著機(jī)械系統(tǒng)向高速輕質(zhì)化發(fā)展，構(gòu)件的柔度加大，慣 性力急劇加大，構(gòu)件的彈性變形可能給機(jī)械的運(yùn)動(dòng)輸出 帶來誤差。機(jī)械系統(tǒng)柔度 系統(tǒng)的固有頻率 ，機(jī)械 運(yùn)轉(zhuǎn)速度 激振頻率 可能會(huì)發(fā)生共振，破壞運(yùn)動(dòng)精度 ，影響疲勞強(qiáng)度，引發(fā)噪聲。 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型主要有兩種形式機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型主要有兩種形式: : 一類是不含運(yùn)動(dòng)副約束反力的純微分型動(dòng)力學(xué)方一類是不含運(yùn)動(dòng)副約束反力的純微分型動(dòng)力學(xué)方 程程, ,其維數(shù)等于機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目其維數(shù)

5、等于機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目; ; 另一類是含運(yùn)動(dòng)副約束反力的代數(shù)與微分混合型另一類是含運(yùn)動(dòng)副約束反力的代數(shù)與微分混合型 方程方程, ,其維數(shù)大于機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目。其維數(shù)大于機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目。 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的發(fā)展與現(xiàn)狀機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的發(fā)展與現(xiàn)狀 建立復(fù)雜機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的常用力學(xué)方法有建立復(fù)雜機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的常用力學(xué)方法有: : * * 牛頓牛頓- -歐拉歐拉(Newton-Euler)(Newton-Euler)法法 * * 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)法法 * * 虛功原理法虛功原理法 * * 凱恩凱恩(Kane)(Kane)法法 * * 旋量法和旋量法和R-WR-W法

6、等。法等。 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的發(fā)展與現(xiàn)狀機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的發(fā)展與現(xiàn)狀 牛頓-歐拉(Newton-Euler) 的特點(diǎn)是以矢量描述運(yùn)動(dòng)和力，從而具有 很強(qiáng)的幾何直觀性，但列寫各隔離體的動(dòng)力學(xué)方程不可避免地出現(xiàn)理 想約束反力，從而使未知變量的數(shù)目明顯增多，擴(kuò)大了求解規(guī)模。 Lagrange法是以系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為基礎(chǔ)建立動(dòng)力學(xué)方程的, 可以避 免出現(xiàn)不做功鉸的理想約束反力，使未知量的數(shù)目最少，但隨著體的 數(shù)目和自由度的增多，求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算工作量十分龐大。 凱恩(Kane) 方法 特點(diǎn)是利用偽坐標(biāo)代替廣義坐標(biāo)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，并 將矢量形式的力和力矩包括達(dá)朗伯慣性力和慣性力矩直接向偏速度和 偏角速度基矢量方

7、向投影以消除理想約束反力，兼有矢量力學(xué)和分析 力學(xué)的特點(diǎn)。 羅伯森(Roberson)和維滕堡(Wittenburg) 應(yīng)用圖論的概念來描述多體 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，使各種不同結(jié)構(gòu)體系的多體系統(tǒng)能用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模 型來描述. 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的發(fā)展與現(xiàn)狀機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的發(fā)展與現(xiàn)狀 動(dòng)力學(xué)方程的求解方法。動(dòng)力學(xué)方程的求解方法。 歐拉法，歐拉法， 龍格庫塔法，龍格庫塔法， 微分方程組與高階微分方程的解法，微分方程組與高階微分方程的解法， 矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程。矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程。 第一篇 機(jī)械剛體動(dòng)力學(xué) 1 11 1 機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的功能關(guān)系機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的功能關(guān)系 系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)動(dòng)能： （1-11-1） 系統(tǒng)瞬時(shí)

8、功率：系統(tǒng)瞬時(shí)功率： （1-21-2） 根據(jù)動(dòng)能原理：在任一時(shí)間間隔根據(jù)動(dòng)能原理：在任一時(shí)間間隔 內(nèi)，內(nèi)， 系統(tǒng)上外力所做的功等于系統(tǒng)動(dòng)能增量：系統(tǒng)上外力所做的功等于系統(tǒng)動(dòng)能增量： (1-3)(1-3) 微分得微分得 即即 (1-4)(1-4) 22 11 11 22 rt iijj ij Em vJ 11 rt iijj ij PF vM )( 0 tt 0 0 t t NPdtEE d PE dt 22 1111 11 () 22 rtrt iijjiijj ijij d F vMm vJ dt 12 系統(tǒng)的等效力學(xué)模型系統(tǒng)的等效力學(xué)模型 等效轉(zhuǎn)化的原則：等效構(gòu)件的等效質(zhì)量等效轉(zhuǎn)化的原則：

9、等效構(gòu)件的等效質(zhì)量 具有的動(dòng)能等于原機(jī)械系統(tǒng)的總動(dòng)能；等效具有的動(dòng)能等于原機(jī)械系統(tǒng)的總動(dòng)能；等效 構(gòu)件上作用的等效力或力矩產(chǎn)生的瞬時(shí)功率構(gòu)件上作用的等效力或力矩產(chǎn)生的瞬時(shí)功率 等于原機(jī)械系統(tǒng)所有外力產(chǎn)生的瞬時(shí)功率之等于原機(jī)械系統(tǒng)所有外力產(chǎn)生的瞬時(shí)功率之 和。和。 把具有等效質(zhì)量或等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其上把具有等效質(zhì)量或等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其上 作用有等效力或等效力矩的等效構(gòu)件稱為機(jī)作用有等效力或等效力矩的等效構(gòu)件稱為機(jī) 械系統(tǒng)的械系統(tǒng)的等效動(dòng)力學(xué)模型等效動(dòng)力學(xué)模型。 一、等效動(dòng)力學(xué)模型 等效力矩等效力矩 Me 等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Je 等效力等效力 Fe 等效質(zhì)量等效質(zhì)量 me 二、等效參數(shù)的確定二

10、、等效參數(shù)的確定 等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以根據(jù)等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以根據(jù) 等效原則：等效構(gòu)件所具有的動(dòng)能等于等效原則：等效構(gòu)件所具有的動(dòng)能等于 原機(jī)械系統(tǒng)的總動(dòng)能來確定。原機(jī)械系統(tǒng)的總動(dòng)能來確定。 對(duì)于具有對(duì)于具有n n個(gè)活動(dòng)構(gòu)件的機(jī)械系統(tǒng)，構(gòu)件個(gè)活動(dòng)構(gòu)件的機(jī)械系統(tǒng)，構(gòu)件i i 上的質(zhì)量為上的質(zhì)量為m mi i，相對(duì)質(zhì)心，相對(duì)質(zhì)心C Ci i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J JCi Ci, , 質(zhì)心質(zhì)心C Ci i的速度為的速度為 v vC i C i, ,構(gòu)件的角速度為 構(gòu)件的角速度為 ，則，則 系統(tǒng)所具有的動(dòng)能為：系統(tǒng)所具有的動(dòng)能為： i n i iCiCii JvmE 1 22 2 1

11、2 1 1、等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 當(dāng)選取角速度為 的回轉(zhuǎn)構(gòu)件為等效 構(gòu)件時(shí)，等效構(gòu)件的動(dòng)能為： 2 2 1 ee JE 根據(jù)等效原則： EEe 得等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：得等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： n i i Ci Ci ie J v mJ 1 22 當(dāng)選取移動(dòng)速度為 的滑件為等效構(gòu) 件時(shí)，等效構(gòu)件的動(dòng)能為： v 2 2 1 vmE ee 根據(jù)等效原則： EEe 得等效質(zhì)量： n i i Ci Ci ie v J v v mm 1 22 等效量的計(jì)算等效量的計(jì)算 1、等效力和等效質(zhì)量、等效力和等效質(zhì)量 1 S3 等效力等效力 Fe 等效質(zhì)等效質(zhì)me )( 2 1 2 1 2 1 2 1 3311 2 33 2

12、22 2 22 2 11 vFMvmvmJJ)( 33 3 1 1 2 33 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 1 )( 2 1 vF v Mvm v v m v J v J 等效質(zhì)量 me 等效力 Fe n i i si si ie v J v v mm 1 22 n i i ii si ie v M v v FF 1 cos 等效量的計(jì)算等效量的計(jì)算 1 S3 等效力矩等效力矩 Me 等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量量 Je )( 2 1 2 1 2 1 2 1 3311 2 33 2 22 2 22 2 11 vFMvmvmJJ)( 1 1 3 31 2 1 2 1 3 3 2 1 2

13、 2 2 1 2 21 )( 2 1 v FM v m v mJJ n i i si si ie J v mJ 1 22 n i i ii si ie M v FM 1 cos 2、等效力矩和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、等效力矩和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1 不知道機(jī)構(gòu)真實(shí)運(yùn)動(dòng)的情況下，可以求出等效量（F Fe、Me、 me、Je） 2 等效量（F Fe、Me、me、Je）均為為機(jī)構(gòu)位置的函數(shù)位置的函數(shù)。 3 等效量（F Fe、Me、me、Je）均為假想的量假想的量，不是機(jī)構(gòu)真實(shí)的 合力、合力矩、總質(zhì)量和總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 4 如果考慮慣性力和慣性力矩時(shí)，等效力和等效力矩等效力和等效力矩與動(dòng)態(tài)靜 力法中求出的平衡力和平衡力矩

14、平衡力和平衡力矩大小相等，方向相反大小相等，方向相反。 如圖如圖7-2所示為齒輪驅(qū)動(dòng)連所示為齒輪驅(qū)動(dòng)連 桿機(jī)構(gòu)，求曲柄為等效構(gòu)桿機(jī)構(gòu)，求曲柄為等效構(gòu) 件時(shí)，機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣件時(shí)，機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量和等效力矩量和等效力矩 2 2 4 4 2 2 3 32 2 2 1 1 v m v mJJJe解： 由速度分析得由速度分析得 : 2224 23 sinlsinvv lvv C C 故有： 2 2 22 4 2 2 2 32 2 1 2 1 sinl m l mJ z z JJ e 2 22 4 2 321 9sinlmlmJJ 2 4 4 2 2 1 1 180 v cosFMMe 則： 241

15、 2 22 4 1 2 1 3 sinLFM sinl F Z Z M 起升機(jī)構(gòu)等效模型 1 12 2 系統(tǒng)的等效力學(xué)模型系統(tǒng)的等效力學(xué)模型 對(duì)單自由度系統(tǒng)而言，描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)只需要對(duì)單自由度系統(tǒng)而言，描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)只需要 一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（稱為廣義坐標(biāo)），一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)（稱為廣義坐標(biāo)）， 故式故式 變?yōu)樽優(yōu)?(1-5) (1-5) 22 1111 11 () 22 rtrt iijjiijj ijij d F vMm vJ dt 2 222 1111 1 ().) 2 rtrt j ii ijij ijij uud FqMqmqJq qqdtqq 寫為：寫為： (1-6)(1-6) 式中式中 Q

16、Q廣義力或稱為等效力廣義力或稱為等效力 廣義慣量或稱為等效慣量廣義慣量或稱為等效慣量 (1-7)(1-7) (1-8)(1-8) 式（式（1-61-6）可表為：）可表為： 2 2 1 ()(6 ) 2 1 ()(6 ) 2 e e d QqJqa dt Qdqd Jqb 或 e J 11 rt j i ij ij u QFM qq 22 11 ()() rt j i eij ij u JmJ qq 2222 2 1111 ()22 2222 = 2 eee eeee e e dJdJdJddqdq dqdq QJqJqqJqJq dqdqdqdt dqdqdtdq dJq Jq dq (1-9

17、) 當(dāng)廣義力為力矩當(dāng)廣義力為力矩M M時(shí)，廣義坐標(biāo)為轉(zhuǎn)角時(shí)，廣義坐標(biāo)為轉(zhuǎn)角 的形的形 式式 (1-10) (1-10) 當(dāng)廣義力為力當(dāng)廣義力為力F F時(shí)，廣義坐標(biāo)為位移時(shí)，廣義坐標(biāo)為位移 u u的形式的形式 (1-11) (1-11) 2 2 e e dJd MJ dtd 2 2 e e dJdvv FJ dtdu 1 13 3 單自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模統(tǒng)一方程單自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模統(tǒng)一方程 不失一般性，把系統(tǒng)外力不失一般性，把系統(tǒng)外力F F和力矩和力矩M M統(tǒng)一記統(tǒng)一記 為為 ， 記廣義坐標(biāo)為記廣義坐標(biāo)為 q q ，把質(zhì)量，把質(zhì)量m m和轉(zhuǎn)動(dòng)慣和轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量量 J J 統(tǒng)一記為統(tǒng)一記為 ，對(duì)應(yīng)的

18、位移和轉(zhuǎn)角統(tǒng)一記，對(duì)應(yīng)的位移和轉(zhuǎn)角統(tǒng)一記 為為 。則廣義力式（。則廣義力式（1-71-7）和廣義慣量式（）和廣義慣量式（1-81-8） 表為：表為： (1-12)(1-12) (1-13)(1-13) 1 n T i i i u QFTF q 2 1 () n T i ei i u MmTm T q (1,2) i F in i m i u 式中：式中： 則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 可表示為矩陣形式可表示為矩陣形式 2 2 2 11 11 () ) 22 nn T eiii eii ii dJuuud DmmTm T dqdqqqq 312 T n uuuu T qqqq 312 n u

19、uuudd TT dqdqqqqq 2222 2 1111 ()22 2222 = 2 eee eeee e e dJdJdJddqdq dqdq QJ qJ qqJqJq dqdqdqdt dqdqdtdq dJq J q dq 2 + TTT TFTm T qTm T q 簡(jiǎn)潔地表為：簡(jiǎn)潔地表為： 分別為等效慣量及附加等效慣分別為等效慣量及附加等效慣 量量 例例1 1正弦機(jī)構(gòu)正弦機(jī)構(gòu) 令令 2 + ee QM qD q , ee MD 11 2 3 u uulc uls q 2 2 10 , ii i uuu TlsTlc qq lcls 0 , ABC AA R mMMMFF MM g

20、222 01 1()( ) eABCABCA A MlslcMMMlsMMMl sMlc Mlc 22 00 1() eABCABCA A DlslcMMMlcMMMl csM l cs Mls 1 eA A R QlslcFRFlslcM g M g 得運(yùn)動(dòng)方程得運(yùn)動(dòng)方程: : 例例2 2起升機(jī)構(gòu)起升機(jī)構(gòu) 22222 ()() BCABCA MMl sM lMMl scRFlsl cM g 11 221 3 1 1/ /(2) u ui uxDai 1 1/ /(2) i u Ti q Dai 2 2 0 0 0 i u T q 0 R F mg 1 2 J MJ m 1 2 212 2 1 111 1()() 22 /(2) T e J DD MTMTJJJm iaiiiai m Dai 運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為: : 例例3 3曲柄滑塊機(jī)構(gòu)曲柄滑塊機(jī)構(gòu) 1 10 22 T e R DD QTFRmg iaiai mg 0 e DTMT 2 2 1 2 () 22 JDD JmRmg iaiai 11 1 21 1 31 4111 122 1 51 12 2 62 71 122 /2 /2 /2 /2 ul c ul s u uTl cl c ul sl s u ul cl c 式中式中