數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程課后習(xí)題答案第二版

1、算法1、(，題1 )用二分法求方程X3 x 1 0在1,2內(nèi)的近似根，要求誤差不超過(guò)10-3.【解】由二分法的誤差估計(jì)式|x* xjb a12* 112k1103，得到2k 1 1000 .兩端取自然對(duì)數(shù)得k 3ln101In 28.96，因此取k9，即至少需二分9次.求解過(guò)程見(jiàn)下表。kakbkXkf(Xk)符號(hào)012+1234567892、(，題2)證明方程f(x) ex 10x 2在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一個(gè)實(shí)根；使用二 分法求這一實(shí)根，要求誤差不超過(guò) 丄10 2。2【解】 由于f (x) ex 10x 2，則f (x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，且f(0) e0 10 0 21 0， f (1) e1

2、 10 1 2 e 8 0，即卩 f(0) f(1) 0，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，f(x)在區(qū)間0,1上至少有一個(gè)零點(diǎn).又f(x) ex 10 o,即f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)的，故f(x)在區(qū)間0,1內(nèi) 有唯一實(shí)根由二分法的誤差估計(jì)式|x* Xk | 冥 洛 1 10 2，得到2k 100.兩端取自然對(duì)數(shù)得k如0 2 3.3219 6.6438，因此取k 7 ,即至少需二分In 21.(,題8)已知e=，試問(wèn)其近似值x12.7，x22.71，X2=，x32.718各有幾位有7次.求解過(guò)程見(jiàn)下表。kakbkXkf(Xk)符號(hào)0011234567效數(shù)字并給出它們的相對(duì)誤差限?！窘狻坑行?shù)字：因

3、為| eX1 |0.0182810.05210 1，所以X12.7有兩位有效數(shù)字；因?yàn)閨 eX2 |0.008280.05-210 1，所以X22.71亦有兩位有效數(shù)字；因?yàn)閨 eX310.000280.0005-1023，所以x32.718有四位有效數(shù)字;|eX1|0.051.85% ；r 1X12.7r2|e X2 |x0051.85% ；2.71r3|e X3 |X30.00050.0184%。2.718評(píng) （1）經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其所有數(shù)字均為有效數(shù)字;(2)近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字2.(，題 9)設(shè) X1 2.72，X2 2.71828，X30.0718均為經(jīng)過(guò)四舍五入

4、得出的近似值,試指明它們的絕對(duì)誤差（限）與相對(duì)誤差（限）?！窘狻?0.005-A1.84x12.7210 3 ；0.000005，二 0W00051.8410 6 ；x22.718280.00005，r3X330005 6.96 10 4 ；0.0718評(píng)經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其絕對(duì)誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個(gè)單位3.(，題 10)已知 x1 1.42，x20.0184，x3184 10 4的絕對(duì)誤差限均為 0.5 10 2，問(wèn)它們各有幾位有效數(shù)字【解】由絕對(duì)誤差限均為0.5210知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點(diǎn)后兩位算起,故 X11.42，有三位；x20.0184有一位；而x3184 10 40.0

5、184，也是有一位。泰勒插值和拉格朗日插值1、（，習(xí)題1）求作f （x） si nx在節(jié)點(diǎn)X0 0的5次泰勒插值多項(xiàng)式P5（x），并計(jì)算P5 （0.3367）和估計(jì)插值誤差，最后將P5 （0.5）有效數(shù)值與精確解進(jìn)行比較。(2)【解】由f（x） sinx，求得f（x） cosx ； f（x）sin x ； f (3)(x) cosx ；(4)(6)(x) si nx ； f(5) (x) cosx ； f (6)(x)sin x，所以P5(x)f(x) f (x)(x X。)5 (x X0)2皿(x X0)55!2!x(1)f(0) f (0)xf (0) 2 X 2!f (5)(0)5X5!

6、插值誤差：R5（x）1315XX3!5!f6)( )|6!(X X。)6|sin( )|6!(X X。)6存6，若X 0.5，則p5(0.3367)0.336730.33673!0.336755!0.3303742887，而R5(0.3367)60.33672.026!6100.5510 ，精度到小數(shù)點(diǎn)后 5位,故取p5（0.3367）0.33037，與精確值f(0.3367)sin (0.3367)0.330374191 相比較，在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合!2、（，題 12）給定節(jié)點(diǎn)X01, X11,X23, X34，試分別對(duì)下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項(xiàng):(1)f(x)4x33x(2) f(x)

7、X42x3【解】依題意，n拉格朗日余項(xiàng)公式為&（x）丄34! i 0(x Xi)(1)f(4)(x)0t R3(x)0 ；（2）因?yàn)閒（x）4!，所以R3(x)3)( x 4)sin(0.3367)的近似值-(X 1)( x 1)( x 3)(x 4) (x 1)(x1)(x4!3、（，題13）依據(jù)下列數(shù)據(jù)表，試用線性插值和拋物線插值分別計(jì)算并估計(jì)誤差。i012Xisin(xi)f (4) ( ) 3【解】依題意，n 3，拉格朗日余項(xiàng)公式為R3(x)丄 (x xi)4! i o(1)線性插值 因?yàn)閤 0.3367在節(jié)點(diǎn)x0和治之間，先估計(jì)誤差Ri(x)f( )(x2!Xo)(x Xi)沁(X

8、X0)(X1 x) maX(X X0)(X1 X)20.0122104 ;須保留到小數(shù)點(diǎn)后 4為，計(jì)算過(guò)程多余兩位。(Xi-Xo)2/4y=(x-x o)(x-xi)0 X0XX1R(x)X X1sin(X。)X X0R(x)X0X1si n(xjX1 X01(x x0 )si n(xj (x1x)si n(x0)X1 X01(0.3367 0.0210.01670.020.32)si n( 0.34)(0.34 0.3367)si n(0.32)sin(0.34)0.0033 sin(0.32)0.3304(2)拋物線插值 插值誤差:R2(X)f()(x X0)(x X1)(X X2)O!X

9、0)(XiX)(X X2)maX x x0)(x1 x)(x2 x) 30.013 110 6拋物線插值公式為:P2(x)(X X1)(X X2)(X0 X1)(X0 X2)10.022P2 (0.3367)yy=(x-xo)(x-xi)(x-x2)sin (xo)(XiX)(X2 x)(x Xo)(x X2)(%sin (xo)si n( X1)X)(X1X2)(X Xo)(X2笙 3.84450.022sin (0.32) 38.911sin( 0.34)(x xj(x X。)(X2 X1)(X2 X0)x)si n(xi)2.7555sin(X2)(X1 X)(X X0)sin(x2)s

10、in( 0.36)衛(wèi)4 3.84450.02sin (0.32) 38.911sin( 0.34)2.7555sin (0.36)0.33037439經(jīng)四舍五入后得:P2 (0.3367)0.330374，與 sin (0.3367)0.330374191精確值相比較，在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合!分段插值與樣條函數(shù)1、(，習(xí)題33)設(shè)分段多項(xiàng)式 S(X)3X2x32Xbx2cx 1是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b.【解】依題意，要求 S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)函數(shù)值連續(xù):S (1) 13 122 13b 12(1)，即：b c1 (1)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù):S (1)3 122 16 122S

11、 (1)，即：2b c 1解方程組(1) 和(2),得 b2,c 3，即S(x)x32x32x2x2 3x由于S(1)(1)，所以S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。2、已知函數(shù)y冷的一組數(shù)據(jù),1 xX。0,X11,X22和yo1, y10.5, y 0.2，(1)求其分段線性插值函數(shù);(2)計(jì)算f(1.5)的近似值，并根據(jù)余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差?！窘狻?1)依題意，將x 分為0,1和1,2兩段，對(duì)應(yīng)的插值函數(shù)為S,x)和S2(x)，利用拉格朗日線性插值公式,求得(X)“y。X0 X1xX0y1X1X00.500.5x 1 ；X x2S2(x)- y1XI X2X X1 y2X2 X10.50.

12、3x 0.80.30769230769 ，而 S2(1.5)0.31.5 0.80.35，實(shí)際誤差為：| f (1.5) S2(1.5)|0.04230.05 。知M2(2)(1)2x2 2，(1 X )f(2)(x)0.5，則余項(xiàng)表達(dá)式2(1 3x2)23(1 X )f(3)(x)24x(1 x2)(1 x2)4，可0.5R(x) 口 U|(x 1)(x 2) | 業(yè) 0.52 0.540.06252! 2!曲線擬合1、(，習(xí)題35)用最小二乘法解下列超定方程組:2x 4y 113x 5y 3x 2y 62x y 7【解】 構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下:2 2 2 2Q(x, y) (2x 4y

13、11)2(3x 5y 3)2 (x 2y 6)2(2x y 7)2 ,分別就Q對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零:Q(x,y) 0 : 6x y 17(1)，xQ(x,y) 0 :3x 46y48(2)，y解方程組(1)和(2),得46 17x482733.04029,483 171.24 仃62732、（，習(xí)題37）用最小二乘法求形如y a bx2的多項(xiàng)式，使之與下列數(shù)據(jù)相擬合?！窘狻苛頧x2，則y a bX為線性擬合，根據(jù)公式,公式 43)，取 m=2 a仁0， N=5,求得5aXi5a Xii 1Xi2i 1Xii 15a b Xii 154Xii 15yii 15Xi Vii 1(1)52X

14、i yii 1依據(jù)上式中的求和項(xiàng)，列出下表XiX (=Xi2)X2(=xJX y i(=Xi 2yi)19193611303216859256253906253149961923521470893814442085136441936374809615753277277699將所求得的系數(shù)代入方程組（1）和（2）,得5a05327b271.4(1)5327a。72776993369321.5(2)271.4 7277699369321.5 5327a5 72776995327 53277791878.10.97258 ;8011566,5 369321 .5 5327271.4b5 727769

15、95327 5327400859.780115660.05004 ；2即：y 0.97258 0.05004x。機(jī)械求積和插值求積1、（，習(xí)題3）確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所h f(x)dxAf( h：)A1 f (0)A2 f (h);1113f(x)dx0人七）A1 f (-)2A2f(-)；41f(x)dx01f(0)4A0 f (x)。具有的代數(shù)精度：h【解】 （1 ）令f（x） 1,x,x2時(shí)等式精確成立，可列出如下方程組:AAA 2h(1)AA20(2)AA2h3(3)解得：A0 A2-3,A4h，即:3hhh f (x)dx - f ( h)

16、 4f (0)f(h)，可以驗(yàn)證，對(duì)f （x） x3公式亦成立，而對(duì) f （x） x4不成立，故公式（1）具有3次代數(shù)精度。A0A1 丿A2 1(1)A02 A13A22(2)3A012A127 A216(3)解得:2111 113AA2護(hù)一，即：30f (x)dx2f()1，可以4，對(duì)f(x)3x公式亦成立,而對(duì) f (x)4x不成立，故公式（2）具有3次代數(shù)精度。（2）令f （x）1, x,x2時(shí)等式精確成立，可列出如下方程組：(3)令f(x) 1,x時(shí)等式精確成立，可解得:Xo1 1即：0 f(x)dx 4 f(0)-f (-)，可以驗(yàn)證，對(duì)43f(x)x2公式亦成立，而對(duì)f(x)x3不

17、成立，故公式(3)具有2次代數(shù)精度。2、(，習(xí)題6)給定求積節(jié)點(diǎn)x04試構(gòu)造計(jì)算積分10 f (x)dx的插值型求積公式,并指明該求積公式的代數(shù)精度?！窘狻恳李}意，先求插值求積系數(shù):1dx0 X 為Ai1_x0xx0x。1x340 13441“ x140 3144dxdxdx插值求積公式:10 f(x)dxAk f(xQk 0f(4)當(dāng)f(x)1,1左邊=0 f (X)dx當(dāng)f(x)1左邊=o f (x)dx當(dāng)f(x)x2，左邊=；f(x)dx故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。梯形公式和Simpson公式f(;)4x)1;左=右;右邊=2i ；左=右；丄16916x1、(，習(xí)題9)設(shè)已給出f(

18、x) 1 e xsin4x的數(shù)據(jù)表,f(x)0034526659分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分1I 0f(x)dx的近似值?！窘狻?1 )用復(fù)化梯形法:0, b 1, n 5, hn 1 h-f (Xk)f (Xk 1)k 0 210.254hn 1-f(a) 2f(Xk)f(b)2k 10.25T5 f(0.00) 2 f (0.25) f (0.50) f (0.75)f(1.00)2T50.125 1.00000 2 (1.65534 1.55152 1.06666) 0.72159T51.28358(2)用復(fù)化辛普生法：a 0,b 1,n 2,h1 0.5n 2S2hf(Xk)6

19、4f(xk 1)k2f(Xk 1)n 1n 1-f(a) 4f(xk 1) 2f(Xk)6k 0k 2k 1f(b)5100 5S2f (0.00) 4 f(0.25) f (0.75) 2 f (0.50) f (1.00)61S21.00000 10.888 3.10304 0.72159 1.3093912112、(，習(xí)題10)設(shè)用復(fù)化梯形法計(jì)算積分 IeXdx，為使截?cái)嗾`差不超過(guò)1 10 5，問(wèn)02應(yīng)當(dāng)劃分區(qū)間【0,1】為多少等分如果改用復(fù)化辛普生法呢【解】(1)用復(fù)化梯形法，a 0,b 1, f (x)f(x) f(x)ex，設(shè)需劃分n等分，則其截?cái)嗾`差表達(dá)式為:| Rt | | I

20、Tn |(b a)3maxf(12n2依題意，要求| RT |10，即e 112n22e 1056212.849，可取 n213。(2)用復(fù)化辛普生法,0,b1, f (x)f(x) f(x) ex，截?cái)嗾`差表達(dá)式為:I Rs | | I(b a)5180(2n)4maxf(3 e亠；2880n42880n4依題意，要求| RS |10 5，即e2880n41054 e 10 n1440370666，可取n 4，劃分8等分。數(shù)值微分1、(，習(xí)題24)導(dǎo)出三點(diǎn)公式f(X0)13 f (X0 )2hf(X1)1f(Xo) 2hf(X2)1f(Xo) 2h4f(xJ f(X2)(51)f(X2)(5

21、2)f(xj 3f(X2)(53)(51)、(52)和(53)的余項(xiàng)表達(dá)式【解】如果只求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項(xiàng)表達(dá)式為f (n 1)() nR(Xk)f(Xk)P(Xk)- 汁(Xk Xj)(n 1)! j 0j k由三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)可知，n 2,hX1X0X2 X1，則R(X0)R(xJR(X2)f(2 ( 0)(2 1)!f(21)( J(2 1)!f22)(2 1)!2(X0Xj)j 12(X1Xj)j 0j 12(X2 Xj)j 0j 2X1)(X0X2)3!驚X)(X1X2)3!f( 2),3 (X2X)(X2X1)叫h239h26匸j312

22、、(，習(xí)題設(shè)已給出f(X) k的數(shù)據(jù)表，Xf(X)試用三點(diǎn)公式計(jì)算 f(1.0), f(1.1), f(1.2)的值，并估計(jì)誤差【解】已知X01.0,X11.1,X21.2, hX1X0X2X10.1，用三點(diǎn)公式計(jì)算微商:0.2470f(1.0) 3f(1.0)4f(1.1) f (1.2)2h3 0.25004 0.2268 0.20662 0.1f(1.1)1f(1.0) f (1.2)2h10.25002 0.10.20660.2170f(1.2)1f(1.0) 4f (1.1)2h13f(1.2)-2 0.10.25004 0.22683 0.20660.1870f(x)12 ; f

23、(X) (1 X)(1厶；f(x)-x)(16 ；4 ;X)f(x)(1245，X)用余項(xiàng)表達(dá)式計(jì)算誤差R(1.0)R(1.1)R(1.2)f( 0)以 24 0.12h533(11.0)5f(1)以240.123!3!(11.0)5f( 2)j240.12-h歹33(1 1.1)0.00250.001250.049673、(,習(xí)題 26)設(shè) f (x)si nx，分別取步長(zhǎng)h 0.1,0.01,0.001，用中點(diǎn)公式(52)計(jì)算f(0.8)【解】中心差商公式：f(a)f(a h)2hf(a h)，截?cái)嗾`差:R(h) f3(a)h2?？傻闹?，令中間數(shù)據(jù)保留小數(shù)點(diǎn)后第6位。見(jiàn)步長(zhǎng)h越小，截?cái)嗾`差

24、亦越小。(1) h 0.1, x00.8 h 0.7, x20.8 h 0.9,則1 1f(0.8)sin(0.9) sin(0.7)0.783327 0.644218 0.695545 ；2h2 0.1 h 0.01, x00.8 h 0.79, x2 0.8 h 0.81,則1 1f(0.8)si n(0.81) sin (0.79)0.724287 0.7103530.69672h2 0.01 h 0.001,x00.8 h 0.799,x20.8 h 0.801,則f(0.8) sin( 0.801) sin(0.799)10.718052 0.716659 0.69652h2 0.0

25、1而精確值 f(0.8)cos(0.8)0.6967067，可見(jiàn)當(dāng) h 0.01時(shí)得到的誤差最小。在h 0.001時(shí)反而誤差增大的原因是f (0.8 h)與f(0.8 h)很接近，直接相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。因此，從舍入誤差的角度看，步長(zhǎng)不宜太小。Euler格式1、(，題1)列出求解下列初值問(wèn)題的歐拉格式2 2(1) y x y (Ox 0.4) , y(0)1，取 h 0.2;2(2) y上 $(1 x 1.2) , y(0)1，取 h 0.2 ；x x【解】(1)yn1ynhyn yn h(x；y；)yn0.22 2(Xnyn)；(2)yn1 yn2Ynynh( 2) yn0.22(

26、yn2yn)oXnXnXnXn2、(，題 2)取 h0.2，用歐拉方法求解初值問(wèn)題y yxy2(0 X0.6),y(0)1 o【解】歐拉格式：yn 1ynhyn ynh(yn2Xnyn)yn0.2 (ynXnyf) ； 化簡(jiǎn)后，yn1 0.8yn 0.2xny2，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。n0123Xn01 23、(，題3)取h 0.1，用歐拉方法求解初值問(wèn)題 y 2 2y (0 x 4)，y(0)0。1 x2x1并與精確解y2比較計(jì)算結(jié)果。1 x1 2 1 2 【解】歐拉格式：yn1ynhynynh( 22yn)yn0.2(2 2yn)；1 Xn1 Xn2 0 2化簡(jiǎn)后，yn 1 yn 0.4y2務(wù)，

27、計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。1 Xn1、(，題7)用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2，并比較計(jì)算結(jié)果?！窘狻?因?yàn)閥 f(x,y) y xy2(0 x 0.6)，h 0.2，且y(0)1，則改進(jìn)的歐拉公式:計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。n0123Xnypycyn與原結(jié)果比較見(jiàn)下表n0123Xnynyn(改進(jìn))ypycyn 12ynhf(Xn,yn)yh( yXnyn)0.8yynhf(Xn,yp)ynh( yp(yp yc)2n 0.2Xny；2 2Xnyp)yn0.2 (yp Xnyp)。龍格-庫(kù)塔方法1、(，題11)用四階經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法求解初值問(wèn)題 y 8 3y，y(0)2，試取步長(zhǎng)h 0.2計(jì)算y(0.4)的近似

28、值，要求小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字?！窘狻克碾A經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法公式:hYn 1yn(K162K2K1f (Xn,yn)hK2f(X1, yn-K1)n22K3f(X1, ynn22K4f (Xn1, ynha)2K3 K4)列表求得y(0.4)如下:nXnyn012迭代法及收斂定理1、(，題1)試取X。1，用迭代公式Xk 120(k 0,1,2,)，求方程Xk2Xk 10x3 2x210x200的根，要求準(zhǔn)確到10 3。【解】 迭代計(jì)算結(jié)果列于下表kXk| Xk-X k-1 |kXk| Xk-X k-1 |1N6N2N7N3N8N4N9Y5N因?yàn)?| x9 x8 | 0.00082 10 3，所

29、以 xx9 1.36906 。12、(，題2)證明方程x cosx有且僅有一實(shí)根。試確定這樣的區(qū)間a,b，使迭代過(guò)程2xk 1cosxk對(duì) x0 a, b均收斂。21 1 12cosx 1，2，且一階導(dǎo)數(shù)1【證明】設(shè)：g(x) cosx，則當(dāng)x R時(shí)，g(x)2g(x)sin x連續(xù),2|g(x)| |sinx| 11，所以迭代過(guò)程2 2Xk 1cosxk 對(duì)221x0 R均收斂。(壓縮映像定理)，方程xcosx有且僅有一實(shí)根。 證畢3、(，題4)證明迭代過(guò)程xk 1* 丄對(duì)任意初值x01均收斂于 2 。2Xk【證明】設(shè)：g(x) X1，對(duì)于任意x 1X 1，因?yàn)橐?一21.2，所以 g(x)

30、.2。2X2 x2 x1一階導(dǎo)數(shù)g(x)12 1根據(jù)壓縮映像定理，迭代公式Xk1xk 1對(duì)任意2X222Xk初值x01均收斂。假設(shè)lim XkX ，對(duì)迭代式XXkk 111兩邊取極限，則有k2XkX12x，則x 2，解得x 、2，因x2不在x 1范圍內(nèi)，須舍去。2 x故x 、2 。證畢牛頓迭代法1、(，題17)試用牛頓迭代法求下列方程的根，要求計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字:(1)x33x 1 0，X0 2(2)3x ex0，X。1【解】(1)設(shè) f (x)23x 1，則 f(x) 3x 3，牛頓迭代公式:Xk 1Xkf (xQf(Xk)Xkx3 3Xk 12x；12 23xi 33(xi1)(k0,

31、1,2,)，迭代計(jì)算過(guò)程見(jiàn)下列表。kXk| Xk-x k-11kXk| Xk-x k-111N3Y2N因?yàn)?| x3 x2 | 0.0000610 4，所以 x x31.879 。(2)設(shè) f(x)X2 3x ex 2，則f(x) 2x 3 ex，牛頓迭代公式:(k 0,1,2,)f(Xk)x： 3Xk eXk 2 x： eXk(Xk 1) 2Xk 1 XkXk-f(Xk)2Xk 3 eXk2Xk 3 eXk，迭代計(jì)算過(guò)程見(jiàn)下列表。kXk| Xk-X k-1 |kXk| Xk-X k-1 |1N3N2N4Yg(X)x ； g(X )|(1a)3 /X0 ；x 3ag(X )2aXx沂2 爲(wèi)。、

32、g(、2Xk 1Xg(Xk) g(X )g(X)(Xk x):(XkX )2!limXk1 Xg(x )1-,可見(jiàn)該迭代公式具有二階收斂性。證畢k(Xkx )22!Va因?yàn)?| X3 X2 | 0.0000010 4，所以 xX40.2575。2、(，題18)應(yīng)用牛頓法于方程 x3a 0，導(dǎo)出求立方根3 a (a 0)的迭代公式，并證明該迭代公式具有二階收斂性?！咀C明】(1)設(shè)：f(x) x32a,貝y f(x) 3x ,對(duì)任意x 0,牛頓迭代公式Xk 1 Xkf(Xk)f(Xk)Xk3Xk3x：2x； a3x：k 0,1,2,(2)由以上迭代公式，有:XkXm/Vg3線性方程組迭代公式1、(

33、，題1)用雅可比迭代與高斯-賽德?tīng)柕蠼夥匠探M：3X1 X2 2，要求結(jié)果有3Xi 2x21位有效數(shù)字?！窘狻?雅可比迭代公式:x1k1)x(k)3X2x2k1)1 (2 x2k)3，迭代計(jì)算結(jié)果列于下表。1(1 x1k)k(k)X1(k)X2(k)(k 1) |X1X1|x2k) x2k1)i0.0005000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N5N6N7N8N9N10Y由上表可見(jiàn)，所求根皆為小數(shù)點(diǎn)后第1位不為零的小數(shù)，要取3位有效數(shù)，則誤差限為高斯-賽德?tīng)柕?1(k)21 ,-x2)-(23

34、331 x；k 1)1226x2k），迭代計(jì)算結(jié)果列于下表。x2k）110)0.600; x2x210)0.200 ；10。k(k)x(k)X2| X1(k)X1(k1)|x2k) x2k 1) |0.0005000-12/31/62/31/6N2N3N4N5Y2、（，題7）取1.25，用松弛法求解下列方程組，要求精度為X1 X1(5)0.600; X2 x25)0.200 ；4x1 3x2163x1 4x2 x320x2 4x312【解】歐先寫(xiě)出高斯-賽德?tīng)柕? (kX11)3(k)4X24(k1)3 (k)1(k)9(k)1(k)x2X1X35X2X344164(kX1)1$3Ax2k)

35、-x3k)534641622 (1)引入松弛因子，得X(k1)(1)x；k)(k1)x2k1)(1)x2k)2(k 1)x3k1)(1)x3k)3(k1)k k k .1-4 1-4 1-4K(1x5-4 5-4 5-4, 1)(k 1)將方程組（1）代入（2）,并化簡(jiǎn)(kX11)1(k)X1415 (k)X2165(kx21)|4x2k)5(k)x3564162(k x31)45(k)X211(k)X325256648計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。k(k)X1(k)X2x3k)| X1(k)X1(k 1) |x2k)x2k 1) |(k)(k 1) | X3X3|e000o-155N2N3N4N5N6N7

36、N8N9N迭代解：x1x；17)1.5001 ,x2x217)3.3333,x3x317)2.1667.精確解:Xi2 1.5, X2103.3333,3X3132.1667.60N1N2N3N4N5N6N7Y(1)線性方程組迭代公式-賽德?tīng)柕剑⒖疾斓?、（，題2）試列出求解下列方程組的雅可比迭代公式與高斯 代過(guò)程的收斂性。10x1 x35x47X1 8X23x3113x1 2x28X3X423x1 2x22x37x417雅可比迭代公式：、，（k 1）1 Jk)1 ,(k)7X1X3x.10210(k 1)1(k)3 (k)11X2X1X3888、,(k 1)3、，（k）1(k)1x4

37、k)23X3X1X28488(k 1)1(k)2(k)2(k)17X4X1X2X37777【解】（1）Gj103120180Gj81，迭代收斂。(1)（2）高斯-賽德?tīng)柕?(k1)1(k)(k)7X1X3X410210Jk1)1 Jk 1)3 x(k)11X2-X1-X3888(k1)3 (k 1)1 (k 1)1(k)23X3X1X2X48488Jk1)(k 1)2 (k 1)2 x(k1)17X4X1X2X37777將方程組（1）帶入（2）,經(jīng)化簡(jiǎn)后，得:、，（k1)1 v(k)1 v(k)7X1X3-X410210(k1)31(k)1(k)117X2X3X4801680(k1)19(k)19 (k)787X3X3X432064320(kX41)121 a39(k)3991X3X411202241120111031Gg s80191619，|Gg51，迭代收斂。32089643911202242、（，題5）分別用雅可比迭代與高斯-賽德?tīng)柕蠼庀铝蟹匠探M:X 2x213x1 x22x-i 5x23x32（2）5x1 2x2X342x1 x25X311【解】（1）雅可比迭代：(kX1-)2x2k