函數(shù)奇偶性的概念

1、1.3.2 奇偶性 第1課時(shí) 函數(shù)奇偶性的概念 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2, ,求求f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(0),f(-1),f(1), f(-2), f(2),f(2),及及f(-x) ,f(-x) ,并畫出它的圖象并畫出它的圖象. . 解解: : f(-2)=(-2)f(-2)=(-2) =4=4， f(2)=4f(2)=4 f(0)=0,f(-1)=(-1)f(0)=0,f(-1)=(-1) =1,f(1)=1=1,f(1)=1， f(-x)=(-x)f(-x)=(-x) =x=x -xx f(-x)f(x) x y o 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1

2、 偶函數(shù)的定義偶函數(shù)的定義 思考思考: :函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？如何用數(shù)學(xué)語言描述？函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？如何用數(shù)學(xué)語言描述？ 函數(shù)圖象關(guān)于函數(shù)圖象關(guān)于y y軸對稱；軸對稱； 對定義域內(nèi)任意的自變對定義域內(nèi)任意的自變 量量x x都有都有 ()( )fxf x 偶函數(shù)定義：偶函數(shù)定義： 一般地，如果對于函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)f(x)的定義域內(nèi)任的定義域內(nèi)任 意一個(gè)意一個(gè)x x，都有，都有f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) ，那么函數(shù)，那么函數(shù)f(x)f(x)就就 叫做偶函數(shù)叫做偶函數(shù). . 思考：思考： 是偶函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？ 口答：口答： 2, 3,2f xx x 2, 1,1

3、f xx x 2, -1,1f xx x 2, -11f xx x ， 已知已知f(x)=x, f(x)=x, 求求f(0),f(-1),f(1), f(0),f(-1),f(1), f(-2),f(2)f(-2),f(2)及及f(-x),f(-x),并畫出它的圖象并畫出它的圖象. . 解解: f(-2)=(-2)f(-2)=(-2)=-8=-8，f(2)=8.f(2)=8. f(0)=0,f(-1)=(-1)f(0)=0,f(-1)=(-1)=-1=-1，f(1)=1f(1)=1， f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)=-x=-x x x y o -x f(-x) f(x) 探究點(diǎn)探究點(diǎn)

4、2 2 奇函數(shù)的定義奇函數(shù)的定義 思考思考: :奇函數(shù)奇函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？如何用數(shù)學(xué)語言描圖象有什么特點(diǎn)？如何用數(shù)學(xué)語言描 述？述？ x x y o-x f(-x) f(x) 函數(shù)圖象關(guān)于原函數(shù)圖象關(guān)于原 點(diǎn)對稱；對定義點(diǎn)對稱；對定義 域內(nèi)任意的自變域內(nèi)任意的自變 量量x x都有都有 fxf x 奇函數(shù)定義：奇函數(shù)定義： 一般地，如果對于函數(shù)一般地，如果對于函數(shù) f(x) f(x) 的定義域內(nèi)任意的定義域內(nèi)任意 一個(gè)一個(gè)x x，都有，都有 f(-x)=-f(x) f(-x)=-f(x) ，那么函數(shù)，那么函數(shù) f(x)f(x)就叫做就叫做 奇函數(shù)奇函數(shù). . 思考：下列函數(shù)是奇函數(shù)嗎？思考：下

5、列函數(shù)是奇函數(shù)嗎？ 3, 1,1f xx x 3, -1,1f xx x 3, -1,1f xx x 【提升總結(jié)提升總結(jié)】 奇函數(shù)與偶函數(shù)定義中的三性奇函數(shù)與偶函數(shù)定義中的三性 (1)(1)對稱性：奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；對稱性：奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱； 偶函數(shù)圖像關(guān)于偶函數(shù)圖像關(guān)于y y軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱； (2)(2)整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，是對定義域整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，是對定義域 內(nèi)的每一個(gè)內(nèi)的每一個(gè)x x都成立的；都成立的； (3)(3)可逆性：可逆性：f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)f(x)f

6、(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，f(-x)= f(-x)= f(x)f(x)f(x)f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù). . 1.1.課本課本P35P35例例5 5 2.2.課本課本P35P35思考思考 1.1.函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù)嗎？函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù)嗎？ 答：答：函數(shù)按奇偶性分類：函數(shù)按奇偶性分類：有的函數(shù)為偶函數(shù)；有的函數(shù)為偶函數(shù)；有的函有的函 數(shù)為奇函數(shù)；數(shù)為奇函數(shù)；有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，如有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，如 f(x)0； 有的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，如有的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，如 y x(x0) 思考交流思考交流 2.2.若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)為奇

7、函數(shù)，且在為奇函數(shù)，且在x=0 x=0處有定義，則處有定義，則 f(0)f(0)的值能確定嗎？的值能確定嗎？ 答：答：由奇函數(shù)的定義知由奇函數(shù)的定義知f(0)f(0)， 即即 f(0)f(0)， f(0)0. 1.1.函數(shù)函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2，x0 x0，) )的奇偶性是的奇偶性是( )( ) A.A.奇函數(shù)奇函數(shù) B.B.偶函數(shù)偶函數(shù) C.C.非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) D.D.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) 【提示提示】函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) C C 2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f f（x x

8、）為奇函數(shù)，且當(dāng)）為奇函數(shù)，且當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)，f f（x x）= = x x2+ + ，則，則f f（-1-1）= =（ ） A A2 2 B B1 1 C C0 0 D D-2-2 1 x 解題提示：解題提示：由條件利用函數(shù)的奇偶性可得由條件利用函數(shù)的奇偶性可得f f（-1-1）= = -f-f（1 1），運(yùn)算求得結(jié)果），運(yùn)算求得結(jié)果 D D 3. 3.若函數(shù)若函數(shù)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+3a+b+bx+3a+b是偶函數(shù)，定義是偶函數(shù)，定義 域?yàn)橛驗(yàn)閍-1,2aa-1,2a, ,則則a=_a=_，b=_.b=_. 【解析解析】因?yàn)槎x域?yàn)橐驗(yàn)槎x域?yàn)閍-1,2aa-1,2a關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱， 所以所以a-1+2a=0a-1+2a=0，所以，所以a=a= 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒(-x)=f(x)f(-x)=f(x)， 所以所以 x x2 2-bx+1+b= x-bx+1+b= x2 2+bx+1+b,+bx+1+b, 由對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得，由對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得，-b=b-b=b，所以，所以b=0.b=0