石墨烯電子能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算6頁(yè)

1、石墨烯電子能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算摘要：本文簡(jiǎn)要闡述了石墨烯的結(jié)構(gòu)和主要特性，采用碳原子的SP2 雜化理論和能帶理論，運(yùn)用緊束縛近似方法計(jì)算了石墨的能帶結(jié)構(gòu)。關(guān)鍵詞：石墨烯，結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，緊束縛近似，能帶結(jié)構(gòu)一、 引言石墨烯是一種由碳原子構(gòu)成的單層片狀結(jié)構(gòu)的新材料。是一種由碳原子以SP2雜化軌道組成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一個(gè)碳原子厚度的二維材料。石墨烯目前是世上最薄，最堅(jiān)硬，電阻率最小的材料。而且電子遷移的速度極快，因此被期待可用來(lái)發(fā)展出更薄、導(dǎo)電速度更快的新一代電子元件或晶體管。由于石墨烯實(shí)質(zhì)上是一種透明、良好的導(dǎo)體，也適合用來(lái)制造透明觸控屏幕、光板、甚至是太陽(yáng)能電池。二、 石墨烯結(jié)構(gòu)石墨烯是

2、由碳六元環(huán)組成的兩維(2D)周期蜂窩狀點(diǎn)陣結(jié)構(gòu), 它可以翹曲成零維(0D)的富勒烯(fullerene),卷成一維(1D)的碳納米管(carbon nano-tube, CNT)或者堆垛成三維(3D)的石墨(graphite), 因此石墨烯是構(gòu)成其他石墨材料的基本單元。石墨烯的基本結(jié)構(gòu)單元為有機(jī)材料中最穩(wěn)定的苯六元環(huán), 是目前最理想的二維納米材料。理想的石墨烯結(jié)構(gòu)是平面六邊形點(diǎn)陣，可以看作是一層被剝離的石墨分子，每個(gè)碳原子均為sp2雜化，并貢獻(xiàn)剩余一個(gè)p軌道上的電子形成大鍵，電子可以自由移動(dòng)，賦予石墨烯良好的導(dǎo)電性。二維石墨烯結(jié)構(gòu)可以看是形成所有sp2雜化碳質(zhì)材料的基本組成單元。三、 石墨烯特

3、性1、 電子運(yùn)輸石墨烯表現(xiàn)出了異常的整數(shù)量子霍爾行為。其霍爾電導(dǎo)為量子電導(dǎo)的奇數(shù)倍，且可以在室溫下觀測(cè)到。這個(gè)行為已被科學(xué)家解釋為“電子在石墨烯里遵守相對(duì)論量子力學(xué)，沒(méi)有靜質(zhì)量”。 2、導(dǎo)電性石墨烯結(jié)構(gòu)非常穩(wěn)定。石墨烯中各碳原子之間的連接非常柔韌，當(dāng)施加外部機(jī)械力時(shí)，碳原子面就彎曲變形，從而使碳原子不必重新排列來(lái)適應(yīng)外力，也就保持了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。這種穩(wěn)定的晶格結(jié)構(gòu)使碳原子具有優(yōu)秀的導(dǎo)電性。石墨烯中的電子在軌道中移動(dòng)時(shí)，不會(huì)因晶格缺陷或引入外來(lái)原子而發(fā)生散射。由于原子間作用力十分強(qiáng)，在常溫下，即使周?chē)荚影l(fā)生擠撞，石墨烯中電子受到的干擾也非常小。 石墨烯最大的特性是其中電子的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到了光速的1

4、/300，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了電子在一般導(dǎo)體中的運(yùn)動(dòng)速度。這使得石墨烯中的電子，或更準(zhǔn)確地，應(yīng)稱(chēng)為“載荷子”(electric charge carrier)，的性質(zhì)和相對(duì)論性的中微子非常相似。 石墨烯有相當(dāng)?shù)牟煌该鞫龋嚎梢晕沾蠹s2.3%的可見(jiàn)光。而這也是石墨烯中載荷子相對(duì)論性的體現(xiàn)。 3、機(jī)械特性石墨烯是人類(lèi)已知強(qiáng)度最高的物質(zhì)，比鉆石還堅(jiān)硬，強(qiáng)度比世界上最好的鋼鐵還要高上100倍。研究人員發(fā)現(xiàn)，在石墨烯樣品微粒開(kāi)始碎裂前，它們每100納米距離上可承受的最大壓力居然達(dá)到了大約2.9微牛。 四、 石墨烯電子能帶計(jì)算 石墨烯是由碳六元環(huán)組成的二維周期蜂窩狀點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)， 如圖 1 左邊所示。 每個(gè)碳原子都具有

5、四個(gè)價(jià)電子，按平面正三角形等距離的和 3 個(gè)碳原子相連，每個(gè)碳原子以 sp2雜化和周?chē)?3 個(gè)碳原子形成 3 個(gè) 鍵。它們的波函數(shù)形式為： 式中 ) c （2s）和c（i，2 p）分別為 2s、i 方向上 2p 軌道的波函數(shù)。在垂直于石墨層的方向上還剩余的一個(gè) 2pz道和一個(gè)價(jià)電子與近鄰原子相互作用形成貫穿于整個(gè)石墨層的離域 鍵。由于位于平面內(nèi) 鍵的 3 個(gè)電子不參與導(dǎo)電，因此我們?cè)谟?jì)算石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)時(shí)只考慮位于 鍵上的那一個(gè)電子。石墨烯的每個(gè)原胞包含兩個(gè)不等價(jià)的碳原子 A和 B，它們之間的鍵長(zhǎng) a=1.42 。如圖 1 左邊所示，取晶的基矢為：那么對(duì)應(yīng)的石墨烯晶格 K 空間的倒格子基矢為

6、：由此，可以計(jì)算出石墨烯倒空間中第一布里淵區(qū)六個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)位置，分別為： 如圖 1 右邊所示。與晶格相對(duì)應(yīng)，倒空間的每個(gè)原胞也只包含兩個(gè)不等價(jià)的點(diǎn)，即圖 1 右邊所標(biāo)示的 K 和K點(diǎn)。每個(gè)碳原子 A有 3 個(gè)最近鄰的碳原子 B，它們之間的連接矢量分別為：我們選擇一組緊束縛下的歸一化基矢 1 2 ，其中 N 為晶體的原胞數(shù)， (r)為碳原子 pz軌道的波函數(shù)， 矢量R j=na 1 +m a 2為第j = (n, m)個(gè)原胞的位矢，R j A、R j B則分別為第 j個(gè)原胞中 A原子和 B原子的位矢。在緊束縛近似下，石墨烯體系的波函數(shù)可由原子軌道線性組合得到，這種組合通?？梢员硎緸椋浩渲?c1

7、和c2為組合系數(shù)。系統(tǒng)波函數(shù)滿足薛定諤方程H(r) = E (r)，故將（10）式代入有：用 1 左乘（11）式，可得：同理，用2 左乘（11）式，可得：通常情況下認(rèn)為不同碳原子間的 pz軌道是不會(huì)發(fā)生交疊的， 即（ i j=j i）。 為方便描述， 分別將上式簡(jiǎn)寫(xiě)為：其中方程（14）和（15）組成系數(shù)c 1 、c2 的線性齊次方程組。根據(jù)線性代數(shù)理論，要使這個(gè)方程組有一組非零的解，則需滿足：解這個(gè)行列式即可得本征能量的關(guān)系式：再回過(guò)頭來(lái)看看H 12 、H 22、H 11 ：在緊束縛近似下，只考慮最近鄰原子間的相互作用。而對(duì)于每一個(gè)碳原子來(lái)說(shuō)，它有 3 個(gè)最近鄰原子，因此將（5） 、 （6）

8、、 （7）式代入（20）式，有將（18），（19），（21）代入（17）中有，由于能帶的值是相對(duì)的，所以可令pz=0 ，則石墨烯的能量本征值表達(dá)式為：式中的正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)導(dǎo)帶和價(jià)帶，kx和 ky是倒格矢k 在(x, y)上的分量。根據(jù)石墨烯的能量本征值表達(dá)式，利用 Matlab程序可畫(huà)出石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)圖5，如圖 2 右邊所示。從能帶結(jié)構(gòu)圖可以發(fā)現(xiàn)，石墨烯的能帶在E=0 的六個(gè)點(diǎn)上連續(xù)，這六個(gè)點(diǎn)就是石墨烯第一布里淵區(qū)的六個(gè)頂點(diǎn)（圖 1 右邊） ，這些點(diǎn)亦稱(chēng)為 Dirac 點(diǎn)。圖 2 右邊就是其中一個(gè) Dirac 點(diǎn)附近的能帶放大圖。 將第一布里淵區(qū)六個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)值代入石墨烯的能量本征值表達(dá)式中，

9、可以計(jì)算出這些點(diǎn)處的能量E=0，這也證明了石墨烯的能帶相交于石墨烯第一布里淵區(qū)的六個(gè)頂點(diǎn)處。由于每個(gè)碳原子貢獻(xiàn)一個(gè)電子，因此石墨烯的價(jià)帶恰好填滿，而導(dǎo)帶全空，這樣費(fèi)米面就剛好處于價(jià)帶和導(dǎo)帶相交的頂點(diǎn)處，由此可知石墨烯是一帶隙為零的半導(dǎo)體。 五、 結(jié)論本文介紹了石墨烯的結(jié)構(gòu)和特性以及在石墨烯能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算上的詳細(xì)過(guò)程，通過(guò)分析可知石墨烯的價(jià)帶與導(dǎo)帶相交于第一布里淵區(qū)的六個(gè)頂點(diǎn)上，說(shuō)明石墨烯是一種零帶隙的半導(dǎo)體，為石墨烯具有獨(dú)特的電學(xué)性質(zhì)提供了理論上的解釋?zhuān)?同時(shí)也為石墨烯性能的進(jìn)一步研究提供理論基礎(chǔ)。 此外， 本文還展示了現(xiàn)代化數(shù)學(xué)軟件 Matlab的作圖，將數(shù)學(xué)公式圖形化，可以更清楚直接得到結(jié)構(gòu)。 參考文獻(xiàn)：1.缺陷對(duì)石墨烯電子結(jié)構(gòu)的影響 苗亞寧2.石墨烯結(jié)構(gòu)性能和應(yīng)用 李熊杰3.石墨烯電子能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算 黃鐵鐵4.石墨烯能帶結(jié)構(gòu)的緊束縛計(jì)