全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽課件19：電阻等效方法ABC匯編

1、 對(duì)稱法對(duì)稱法 電流疊加法電流疊加法 Y-變換法變換法 對(duì)具有一定對(duì)稱性的電路對(duì)具有一定對(duì)稱性的電路,通過(guò)對(duì)等勢(shì)點(diǎn)的拆、合，對(duì)通過(guò)對(duì)等勢(shì)點(diǎn)的拆、合，對(duì) 稱電路的稱電路的“折疊折疊”，將電路簡(jiǎn)化為基本的串并聯(lián)電路。，將電路簡(jiǎn)化為基本的串并聯(lián)電路。 直流電路中各電源單獨(dú)存在時(shí)的電路電流代數(shù)疊加后與所直流電路中各電源單獨(dú)存在時(shí)的電路電流代數(shù)疊加后與所 有電源同時(shí)存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流有電源同時(shí)存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流 分布，總可歸結(jié)為只含某一個(gè)直流電源的電路電流分布這就分布，總可歸結(jié)為只含某一個(gè)直流電源的電路電流分布這就 是電流的可疊加性對(duì)于一些并不具備直觀

2、的對(duì)稱性的電路，是電流的可疊加性對(duì)于一些并不具備直觀的對(duì)稱性的電路， 可根據(jù)電流的可疊加性，重新設(shè)置電流的分布方式，將原本不可根據(jù)電流的可疊加性，重新設(shè)置電流的分布方式，將原本不 對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具有對(duì)稱性的問(wèn)題加以解決對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具有對(duì)稱性的問(wèn)題加以解決 。 利用利用Y型聯(lián)接電阻與型聯(lián)接電阻與型聯(lián)接電阻間等價(jià)關(guān)系的結(jié)論，通型聯(lián)接電阻間等價(jià)關(guān)系的結(jié)論，通 過(guò)電阻過(guò)電阻Y型聯(lián)接與型聯(lián)接與型聯(lián)接方式的互換，達(dá)到簡(jiǎn)化電路成單純型聯(lián)接方式的互換，達(dá)到簡(jiǎn)化電路成單純 串聯(lián)或并聯(lián)的目的串聯(lián)或并聯(lián)的目的 解解: : A B C D EF HG AC B D EG F H 3 3 4 3 AC R R R R

3、R R 則則 AC間等效電阻間等效電阻: 如圖所示，如圖所示，12個(gè)阻值都是個(gè)阻值都是R的電阻，組成一立的電阻，組成一立 方體框架，試求方體框架，試求AC間的電阻間的電阻RAC 、AB間的電阻間的電阻RAB與與AG間的電阻間的電阻 RAG A B C D EF HG AB間等效電阻間等效電阻: E G F H AB CD 2 R R 2 2 2.5 2 2 2.5 7 12 AB R R RR R R R R RR R R 則則 A B C D EF HG AG間等效電阻間等效電阻: F H C A B E D G 6 R 3 R 3 R 5 6 AG RR 則則 解解: : A B 0 2

4、r 電源外電路電源外電路等效電阻等效電阻: 00 0 00 2.55 2 40 .577 AB rr Rr rr 通過(guò)電源的電流由通過(guò)電源的電流由 6.0 A 40/7 1.05A AB I R 如圖所示的正方形網(wǎng)格由如圖所示的正方形網(wǎng)格由24個(gè)電阻個(gè)電阻r0=8的電阻的電阻 絲構(gòu)成，電池電動(dòng)勢(shì)絲構(gòu)成，電池電動(dòng)勢(shì)=6.0 V，內(nèi)電阻不計(jì)，求通過(guò)電池的電流，內(nèi)電阻不計(jì)，求通過(guò)電池的電流 波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1916年研究了一個(gè)有趣的幾何圖形他年研究了一個(gè)有趣的幾何圖形他 將如圖將如圖1所示的一塊黑色的等邊三角形所示的一塊黑色的等邊三角形ABC的每一個(gè)邊長(zhǎng)平分為二，再把平分點(diǎn)的

5、每一個(gè)邊長(zhǎng)平分為二，再把平分點(diǎn) 連起來(lái)，此三角形被分成四個(gè)相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉，連起來(lái)，此三角形被分成四個(gè)相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉， 得到如圖得到如圖2的圖形；接著再將剩下的黑色的三個(gè)等邊三角形按相同的方法處理，的圖形；接著再將剩下的黑色的三個(gè)等邊三角形按相同的方法處理， 經(jīng)過(guò)第二次分割就得到圖經(jīng)過(guò)第二次分割就得到圖3的圖形經(jīng)三次分割后，又得到圖的圖形經(jīng)三次分割后，又得到圖4的圖形這是帶有的圖形這是帶有 自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊它的自相似性就是將其自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊它的自相似性就是將其 中一個(gè)小單

6、元（例如圖中一個(gè)小單元（例如圖4中的中的BJK）適當(dāng)放大后，就得到圖）適當(dāng)放大后，就得到圖2的圖形如果這個(gè)的圖形如果這個(gè) 分割過(guò)程繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，謝爾賓斯基鏤墊中的黑色部分將被不斷地鏤空分割過(guò)程繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，謝爾賓斯基鏤墊中的黑色部分將被不斷地鏤空 圖圖1 圖圖2 圖圖3 圖圖4 數(shù)學(xué)家對(duì)這類幾何圖形的自相似性進(jìn)行了研究，創(chuàng)造和發(fā)展出了一門(mén)稱為數(shù)學(xué)家對(duì)這類幾何圖形的自相似性進(jìn)行了研究，創(chuàng)造和發(fā)展出了一門(mén)稱為 “分形幾何學(xué)分形幾何學(xué)”的新學(xué)科近三十多年來(lái)，物理學(xué)家將分形幾何學(xué)的研究成果和的新學(xué)科近三十多年來(lái)，物理學(xué)家將分形幾何學(xué)的研究成果和 方法用于有關(guān)的物理領(lǐng)域，取得了有意義的進(jìn)展方

7、法用于有關(guān)的物理領(lǐng)域，取得了有意義的進(jìn)展 我們現(xiàn)在就在這個(gè)背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構(gòu)成的電阻網(wǎng)絡(luò)的我們現(xiàn)在就在這個(gè)背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構(gòu)成的電阻網(wǎng)絡(luò)的 等效電阻問(wèn)題：設(shè)如圖等效電阻問(wèn)題：設(shè)如圖1所示的三角形所示的三角形ABC邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)L0的電阻均為的電阻均為r；經(jīng)一次分割得到；經(jīng)一次分割得到 如圖如圖2所示的圖形，其中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻是原三角形所示的圖形，其中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻是原三角形ABC的邊長(zhǎng)的電阻的邊長(zhǎng)的電阻r 的二分之一；經(jīng)二次分割得到如圖的二分之一；經(jīng)二次分割得到如圖3所示的圖形，其中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻所示的圖形，其中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻

8、是原三角形是原三角形ABC的邊長(zhǎng)的電阻的邊長(zhǎng)的電阻r的四分之一；三次分割得到如圖的四分之一；三次分割得到如圖4所示的圖形，其所示的圖形，其 中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻是原三角形中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻是原三角形ABC的邊長(zhǎng)的電阻的邊長(zhǎng)的電阻r的八分之一的八分之一 試求經(jīng)三次分割后，三角形試求經(jīng)三次分割后，三角形ABC任意兩個(gè)頂點(diǎn)間的等效電阻任意兩個(gè)頂點(diǎn)間的等效電阻 試求按此規(guī)律作了試求按此規(guī)律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意兩個(gè)頂點(diǎn)間的等效電阻任意兩個(gè)頂點(diǎn)間的等效電阻 A B C DE F A BC DE F A BC l0 A BC D E F K G I J 解解: : 對(duì)三

9、角形對(duì)三角形ABC,任意兩點(diǎn)間的電阻任意兩點(diǎn)間的電阻 r 0 2 3 Rr A BC 對(duì)分割一次后對(duì)分割一次后的圖形的圖形 2 r 1 63 5 9 25 Rrr 5 6 r 對(duì)分割二次后對(duì)分割二次后的圖形的圖形 5 12 r 2 5 6 r 2 2 5 6 2 3 Rr 可見(jiàn)可見(jiàn), ,分割三次后分割三次后的圖形的圖形 3 3 125 2 2 3 5 634 rrR 25 36 n n Rr 遞推到分割遞推到分割n次后的圖形次后的圖形 如圖所示的平面電阻絲網(wǎng)絡(luò)中，每一直如圖所示的平面電阻絲網(wǎng)絡(luò)中，每一直 線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為r試求試求A、B兩點(diǎn)間兩點(diǎn)

10、間 的等效電阻的等效電阻 解解: : A B A B B A B A r 3 4 AB Rr A B A B 三個(gè)相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連三個(gè)相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連 接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)已知每一個(gè)金屬圓圈的電阻都是接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)已知每一個(gè)金屬圓圈的電阻都是R， 試求圖中試求圖中A、B兩點(diǎn)間的等效電阻兩點(diǎn)間的等效電阻RAB 解解: : 三個(gè)金屬圈共有六個(gè)結(jié)點(diǎn)，每四分之三個(gè)金屬圈共有六個(gè)結(jié)點(diǎn)，每四分之 一弧長(zhǎng)的電阻一弧長(zhǎng)的電阻R/4. . 將三維金屬圈將三維金屬圈“壓扁壓扁”到到ABAB 所在平面并所在平面并“抻直抻直”弧線成下圖弧線成下圖 4 R 8 R B A 882 882

11、AB RRR R RRR 5 48 R 4 R 正四面體框架形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖所示，其中每一小正四面體框架形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖所示，其中每一小 段電阻均為段電阻均為R試求試求RAB和和RCD 解解: : 3 4 AB Rr B A E F 2 R 4 R 2 R 2R AB HI E 乙乙 2 R 2 R D C I G H L 甲甲 甲甲 B A F D C I G H L E D C 丙丙 2 R 2 R 2 R 2 R 3 8 CD Rr 解解: : 解題方向解題方向:由于對(duì)稱，可將由于對(duì)稱，可將ABAB中垂線上各電勢(shì)點(diǎn)拆分，中垂線上各電勢(shì)點(diǎn)拆分， 原電路變換為圖乙，我們看到這是一個(gè)具有自相似性的

12、無(wú)原電路變換為圖乙，我們看到這是一個(gè)具有自相似性的無(wú) 限網(wǎng)絡(luò)，其基本單元如圖丙限網(wǎng)絡(luò)，其基本單元如圖丙 B Bn An n A n B Rx RR R R 2R 丙丙 BA 甲甲 A A B AB 乙乙 當(dāng)當(dāng)n時(shí)，多一個(gè)單元，只是使時(shí)，多一個(gè)單元，只是使Rx按邊長(zhǎng)同比增大，即按邊長(zhǎng)同比增大，即 2 22 2 2 2 22 2 x x x x x RR RR RR R RR RR RR 71 3 x RR 71 3 AB aR 試求框架上試求框架上A、B兩點(diǎn)間的電阻兩點(diǎn)間的電阻RAB此框架是用同種細(xì)金此框架是用同種細(xì)金 屬制作的，單位長(zhǎng)度的電阻為屬制作的，單位長(zhǎng)度的電阻為一連串內(nèi)接等邊三角形的數(shù)

13、目可認(rèn)為趨向無(wú)窮，一連串內(nèi)接等邊三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無(wú)窮， 如圖所示取如圖所示取AB邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a，以下每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)依次減少一半，以下每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)依次減少一半 解解: :解題方向 解題方向:將原無(wú)限長(zhǎng)立體正三棱柱框?qū)⒃瓱o(wú)限長(zhǎng)立體正三棱柱框 架沿左、右遞縮為三棱臺(tái)再架沿左、右遞縮為三棱臺(tái)再“壓壓”在在 AB所在平面，各電阻連接如圖所在平面，各電阻連接如圖 A B C 2 r r 2 3 r 3 r3 3 r x rx r x 由由 321 6 xr A B 2 21 21 AB rR 如圖所示是由電阻絲連接成的無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)，已如圖所示是由電阻絲連接成的無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)，已 知每一段電阻絲的

14、電阻均為知每一段電阻絲的電阻均為r，試求，試求A、B兩點(diǎn)之間的總電阻兩點(diǎn)之間的總電阻 A B C 返回返回 解解: : A B A B O O 2 I 8 I A B O 2 4 I5 2 4 I 5 28424 2 2 AB I R I R I R I I 29 24 AB RR 田字形電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖所示，每小段電阻絲的電田字形電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖所示，每小段電阻絲的電 阻均為阻均為R，試求網(wǎng)絡(luò)中，試求網(wǎng)絡(luò)中A、B兩點(diǎn)間的等效電阻兩點(diǎn)間的等效電阻RAB R 2 R 如圖所示的一個(gè)無(wú)限的平面方格導(dǎo)線網(wǎng)，連接兩如圖所示的一個(gè)無(wú)限的平面方格導(dǎo)線網(wǎng)，連接兩 個(gè)結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)線的電阻為個(gè)結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)線的電阻為r0，如

15、果將，如果將A和和B接入電路，求此導(dǎo)線網(wǎng)的等接入電路，求此導(dǎo)線網(wǎng)的等 效電阻效電阻RAB 解解: : BA 0 44 AB Ir I R I 0 2 AB R r 解解: : b a 00 6336 ab II I I RR I R 0ab RR 有一無(wú)限大平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六有一無(wú)限大平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六 邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為R0，求間位，求間位 結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)a、b間的等效電阻間的等效電阻 如圖是一個(gè)無(wú)限大導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由無(wú)數(shù)個(gè)大小相如圖是一個(gè)無(wú)限大導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由無(wú)數(shù)個(gè)大小相 同的正三角形網(wǎng)眼構(gòu)成，

16、小三角形每邊的電阻均為同的正三角形網(wǎng)眼構(gòu)成，小三角形每邊的電阻均為r，求把該網(wǎng)絡(luò)，求把該網(wǎng)絡(luò) 中相鄰的中相鄰的A、B兩點(diǎn)接入電路中時(shí)，兩點(diǎn)接入電路中時(shí)，AB間的電阻間的電阻RAB 解解: : A B 66 AB I I I RR 3 AB R R 半徑為半徑為R的薄壁導(dǎo)電球由連在的薄壁導(dǎo)電球由連在A、B兩點(diǎn)上的（兩點(diǎn)上的（AOBO， O點(diǎn)是球心）兩根細(xì)導(dǎo)線接到直流電源上，如圖通過(guò)電源的電流為點(diǎn)是球心）兩根細(xì)導(dǎo)線接到直流電源上，如圖通過(guò)電源的電流為I0問(wèn)在球問(wèn)在球 面上面上C點(diǎn)處（點(diǎn)處（OCOA，OCOB）電荷朝什么方向運(yùn)動(dòng)？若在）電荷朝什么方向運(yùn)動(dòng)？若在C點(diǎn)附近球面上作點(diǎn)附近球面上作 兩個(gè)小標(biāo)

17、志，使它們相距兩個(gè)小標(biāo)志，使它們相距R1000，其連線垂直電荷運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)總電流中有多，其連線垂直電荷運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)總電流中有多 大部分通過(guò)這兩標(biāo)志之連線？大部分通過(guò)這兩標(biāo)志之連線？ 解解: : B A B A C i1 i2 C處單位長(zhǎng)度上電流處單位長(zhǎng)度上電流 0 21 2 2 c I i R C處垂直于電荷運(yùn)動(dòng)方向處垂直于電荷運(yùn)動(dòng)方向 上一段弧是的電流為上一段弧是的電流為 0 21 2 21000 IR i R 0 2 4000 I 如圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)包括兩個(gè)立方形，每邊電阻均為如圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)包括兩個(gè)立方形，每邊電阻均為 2r，求，求A、B間的電阻間的電阻 解解: : A B B A C C

18、 15 I 11 15 I 4 15 I B A 8 15 I 7 15 I C 2 15 I 115107 24 15151515 AB R rII I r 2 AB Rr 2r r 4r 返回返回 A C IA Ic 甲甲 B IBRAB RAC RBC a c Ia Ic O 乙乙 RaRb Rc b Ib A CA B A A BA C B CB A B A BB C C AC B C C AB C UU I RR UU I RR UU I RR 0 a baabb a caacc b cbbcc abc UIRIR UIRIR UIRIR III abcacb a acabbc U

19、RU R I R RR RR R AaBbCc IIIIII ABabACacBCbc UUUUUU bcabac b acabbc U RU R I R RR RR R cabcba c acabbc U RU R I R RR RR R abcacb acabbc U RU R R RR RR R bcabac acabbc U RU R R RR RR R cabcba acabbc U RU R R RR RR R 1 c acabbcAB R R RR RR RR 1 b acabbcAC R R RR RR RR 1 a acabbcBC R R RR RR RR Y變換變換 YY

20、Y ABBC ca AC b RRR RRR Y變換變換 ABACABBCACBC abc RRRRRR RRR ABBCAC RRR 解解: :a b B A dc D C A B 4r AB間等效電阻間等效電阻: c a b O /2r /2r /4r 2r r 1.5r 1.25r O BA C 2 Y6r 24 /5r 4r 4r AB R 24 2 44 5 24 55 2 5 24 2 44 5 24 55 2 5 r 47 80 r 如圖所示如圖所示,一個(gè)原來(lái)用一個(gè)原來(lái)用12根相同的電阻絲構(gòu)成的根相同的電阻絲構(gòu)成的 立方體框架，每根電阻絲的電阻均為立方體框架，每根電阻絲的電阻均為

21、r，現(xiàn)將其中一根拆去，求，現(xiàn)將其中一根拆去，求A、 B兩點(diǎn)間的電阻兩點(diǎn)間的電阻 2 44 acb r rr r r RRR r 22 1. 264 4 51.2 6 55 ACABBC RR r r r r rR r 如圖所示如圖所示,甲中三端電容網(wǎng)絡(luò)為甲中三端電容網(wǎng)絡(luò)為型網(wǎng)絡(luò)元，乙型網(wǎng)絡(luò)元，乙 中三端電容網(wǎng)絡(luò)為型網(wǎng)絡(luò)元，試導(dǎo)出其間的等效變換公式中三端電容網(wǎng)絡(luò)為型網(wǎng)絡(luò)元，試導(dǎo)出其間的等效變換公式 解解: : A C qA qC 甲甲 B qB CAB CAC CBC 乙乙 a c qa qc b qb Cb Ca Cc O AaBbCc qqqqqq ABabACacBCbc UUUUUU A

22、ABABACAC BBAABBCBC CCACACBBC qUCUC qUCUC qUCUC 0 ab ab ab ac ac ac abc qq U CC qq U CC qqq Y變換變換 YYY abbcac ABBCCA C CC CC C C CC Y變換變換 ab BCCAAB c CC CC C C Y abc CCC ABACBABCCBCA CCCCCC 解解: :R A B R/3R/8 R/2R/6 AB R 15 11 R 電阻均為電阻均為R的九個(gè)相同的金屬絲組成構(gòu)架的九個(gè)相同的金屬絲組成構(gòu)架 如圖所示，求構(gòu)架上如圖所示，求構(gòu)架上A、B兩點(diǎn)間電路的電阻兩點(diǎn)間電路的電阻

23、如圖所示，由九根相同的導(dǎo)線組成的一個(gè)三棱如圖所示，由九根相同的導(dǎo)線組成的一個(gè)三棱 柱框架，每根導(dǎo)線的電阻為柱框架，每根導(dǎo)線的電阻為R，導(dǎo)線之間接觸良好，求，導(dǎo)線之間接觸良好，求BD之間的電之間的電 阻值阻值 解解: : B D R B R/3 D R/6 2R/3 2R/15 3 1 2 2 3 15 1 2 BD RR 11 15 R 解解: : A B 2 R RR/8R/4 AB R 131 11842 1 24 2 R 47 22 R 如圖所示，由電阻絲構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中，每如圖所示，由電阻絲構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中，每 一段電阻絲的電阻均為一段電阻絲的電阻均為R，試求，試求RAB 由由7個(gè)阻值相同的均為個(gè)阻值相同的均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如 圖所示，由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無(wú)限網(wǎng)絡(luò)如圖圖所示，由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無(wú)限網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試求所示，試求 P、Q兩點(diǎn)之間的等效電阻兩點(diǎn)之間的等效電阻 解解: : Rx r r/4r/2 53 42 2 53 42 x x x x x R