Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱

1、1 Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱統(tǒng)計(jì)工具箱 一一:統(tǒng)計(jì)工具箱簡介統(tǒng)計(jì)工具箱簡介 二二:概率分布概率分布 三三:參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 四四:描述性統(tǒng)計(jì)描述性統(tǒng)計(jì) 五五:假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) 六六:統(tǒng)計(jì)繪圖統(tǒng)計(jì)繪圖 2 一一.matlab統(tǒng)計(jì)工具箱統(tǒng)計(jì)工具箱(statistics toolbox)簡介簡介 統(tǒng)計(jì)學(xué)是處理數(shù)據(jù)的藝術(shù)和科學(xué),通過收集,分析, 解釋和表達(dá)數(shù)據(jù)來探索事物中蘊(yùn)含的規(guī)律.隨著科技水 平的迅猛發(fā)展,知識經(jīng)濟(jì)的時(shí)代來臨,海量的數(shù)據(jù)需要人 們處理.matlab統(tǒng)計(jì)工具箱為人們提供了一個(gè)強(qiáng)有力的 統(tǒng)計(jì)分析工具. 統(tǒng)計(jì)工具箱基于matlab數(shù)值計(jì)算環(huán)境,支持范圍廣泛 的統(tǒng)計(jì)計(jì)算任務(wù).它包括200多個(gè)處

2、理函數(shù)(m文件)主要 應(yīng)用于以下幾方面: 3 1.1 統(tǒng)計(jì)工具箱的幾大功能統(tǒng)計(jì)工具箱的幾大功能 *概率分布概率分布 *參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) *描述性統(tǒng)計(jì)描述性統(tǒng)計(jì) *假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) *統(tǒng)計(jì)繪圖統(tǒng)計(jì)繪圖 4 統(tǒng)計(jì)工具箱提供了20種概率分布類型,其中包括 離散型離散型分布: (如binomial二項(xiàng)分布, 即n次貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)k次成功的概率.poisson 分布, 和 分布等). knk pp k n pnkb )1 (),;( 2 e k kp k ! );( 1.1.1概率分布概率分布-離散型離散型 5 1.1.2 概率分布概率分布連續(xù)型 連續(xù)型分布 如正態(tài)分布F(x)= beta分布,uni

3、form平均分布等. 每種分布提供5類函數(shù): 1 概率密度 2 (累積)分布函數(shù) 3 逆累積分布函數(shù) 4 隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器 5 均值和方差函數(shù). dye y x 2 )( 2 2 1 6 1.1.3另外另外4大功能大功能 *參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)-依據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)域依據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)域. *描述性統(tǒng)計(jì)描述性統(tǒng)計(jì)-方差方差,期望等數(shù)字特征期望等數(shù)字特征. *假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)-提供最通用的假設(shè)檢驗(yàn)函數(shù)提供最通用的假設(shè)檢驗(yàn)函數(shù)t-檢驗(yàn)檢驗(yàn),z-檢驗(yàn)檢驗(yàn). *統(tǒng)計(jì)繪圖統(tǒng)計(jì)繪圖- box圖函數(shù)圖函數(shù),正態(tài)概率圖函數(shù)等正態(tài)概率圖函數(shù)等. 注意:統(tǒng)計(jì)工具箱中的說有函數(shù)都可用 type f

4、unction_name語句查看其代碼,也可進(jìn)行修 改,從而變?yōu)榧河?加入到工具箱中. 7 二 概率分布 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)行為取決于其概率分布，而分布函數(shù)常用連續(xù)和 離散型分布。統(tǒng)計(jì)工具箱提供20種分布。每種分布有五類函數(shù)。 1: 概率密度(pdf) ; 2: 累積分布函數(shù)(cdf); 3:逆累積分布函數(shù) (icdf);4: 隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器 5: 均值和方差函數(shù)； 一：離散型概率密度函數(shù):為觀察到的特定值的概率。 連續(xù)型概率密度函數(shù)定義為：如存在非負(fù)函數(shù)p(x) 0, 使對任意ba， X 在(a,b)上取值概率為paX0， xi0, 如果有不等式約束，則對含的約束，在左邊加上一個(gè)非負(fù)變量使其成為

5、等式約束；對含的約束，在左邊減去一個(gè)非負(fù)變量使其成為等式約束。 4.3.2 lp函數(shù) lp 功能 ：求解線性規(guī)劃問題 格式 ：x = lp(c,A,b) x = lp(c,A,b,vlb) x = lp(c,A,b,vlb,vub) % 設(shè)置解向量的上下界 x = lp(c,A,b,vlb,vub,x0) % 設(shè)置初始解向量 x0 x = lp(c,A,b,vlb,vub,x0,neqcstr) % 設(shè)置在約束中的等式約束的個(gè)數(shù) x,lambda,how = lp (c,A,b,) % 同時(shí)返回拉格朗日乘子 51 例子 求下面線性規(guī)劃問題： 目標(biāo)函數(shù) ：f(x) = 5x1 4x2 6x3 約

6、束方程 ：x1-x2+x320 3x1+2x2+4x342 3x1+2x230 0 x1, 0 x2, 0 x3 第一步：輸入系數(shù) c = -4,-5,-6 a = 1 1 1 3 2 4 3 2 0 ; b = 20 ; 42 ; 30 ; 第二步 ：求解 x, lambda = lp ( c, a, b, zeros (3,1) 解為： x = 0 15.0000 3.000 lambda = 0 1.5000 0.5000 1.0000 0 0 A 為約束方程系數(shù)矩陣 c 為目標(biāo)方程系數(shù) b 為約束方程系數(shù)向量 52 例子： 求無約束非線性問題 f(x) = 100 ( x2 x12 )

7、2 + (1 x1)2 初始解向量： x= -1.2 1 第一步：編寫文件 function f = fun(x) f = 100*(x(2) x(1)2)2+(1 x(1)2; 第二步：求解 x = -1.2 , 1 x = fminu (fun, x) x = 1.0000 1.0000 fun(x) = 8.8348e-11 4.4 非線性規(guī)劃 4.4.1 無約束規(guī)劃 fminu, fmins 功能 ： 求解無約束非線性最優(yōu)化問題 格式 ： x = fminu ( fun , x0) % 求函數(shù)fun的最小值，并設(shè)置初始值向量為x0 x = fminu ( fun , x0, optio

8、ns) % 可選參數(shù)在options向量中設(shè)置 x = fminu ( fun , x0, options, grad) x = fminu ( fun , x0, options, grad , p1, p2, ) x, options = fminu ( fun, x0, ) = fmins ( fun, x0, ) options(2)控制x的精度 options(3)控制目標(biāo)函數(shù)f的精度 53 fmins 線性搜索算法的控制: 缺省 options(7)=0，使用一種二次和三次多項(xiàng)式 插值的混合算法 options(7)=1時(shí)，使用三次多項(xiàng)式插值算法。 目標(biāo)函數(shù)大于階，一般用fminu

9、函數(shù)；但對于非常不連續(xù)的函數(shù)則用fmuns 函數(shù) 4.4.2二次規(guī)劃 4.4.3有約束規(guī)劃 fmin函數(shù) 標(biāo)量最優(yōu)求解標(biāo)量最優(yōu)問題的一般描述: 目標(biāo)函數(shù)： mina f(a) 區(qū)域約束單變量問題: 目標(biāo)函數(shù)：minaf(a) 約束條件：a1a a2 fminu函數(shù)優(yōu)化算法的控制：缺省options(6)=0 時(shí)，用擬牛頓方法 options(6) = 1 時(shí)，用DFP公式來逼近Hessian矩陣 options(6) = 2 時(shí)，用最速下降法 54 例子 ：求下面標(biāo)量函數(shù)在(0,5)區(qū)間的最小值 目標(biāo)函數(shù)：f = (a-3)2 1 第一步： 編寫M函數(shù) function f = fun(a)

10、f = (a-3)2 1 ; 第二步： 求解 a = fmin (fun, 0,5) a = 3 The value at the minimum is Y= f(a) Y = 1 fmin 功能： 求解區(qū)域約束單變量問題。 格式：a = fmin( fun, a1, a2 ) a = fmin( fun, a1, a2, options ) a = fmin( fun, a1, a2, options, p1, p2,.) a, options = fmin( function, a1, a2,) 說明： options(2) 控制x的精度 options(14)控制函數(shù)的計(jì)算次數(shù) 55 c

11、onstr 功能 ：多變量非線性約束最優(yōu)問題求解 格式 ：x =constr ( fun, x0 ) % 求解非線性約束最優(yōu)化問題，初始向量為x0 x =constr ( fun, x0, options ) x =constr ( fun, x0, options, vlb, vub, grad, ) % 設(shè)置解向量上下界 x =constr ( fun, x0, options, vlb, vub, grad, p1, p2, ) x, options = constr (fun. X0, ) x, options, lambda = constr (fun, x0, ) x, optio

12、ns, lambda, hess = constr (fun, x0, ) options(4)控制對約束的越限程度 3 constr函數(shù) 多變量非線性約束最優(yōu)化問題的一般描述 目標(biāo)函數(shù)： minx f(x) 約束條件： G(x)0 56 目標(biāo)函數(shù)：f(x) = -x1*x2*x3 約束條件：-x1 2x2 2x30; x1+2x2+2x372 初始解向量：x = 10 10 10 第一步：編寫M文件 function f , g = fun(x) f = -x(1)*x(2)*x(3) ; g(1) = -x(1) 2*x(2) 2*x(3) ; g(2) = x(1) + 2*x(2) +

13、 2*x(3) 72 ; 第二步：求解 x0 = 10, 10, 10 ; x = constr ( fun, x0 ) 經(jīng)過次運(yùn)算后，結(jié)果為 x = 24.0000 12.0000 12.0000 f, g = fun(x) f = 3.4560e+03 g = 72 0 例子 57 4.5最小最大（minmax)問題 一般描述： 目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： G(x)0 minimax 功能：求解最小最大問題 格式：x = minimax( fun,x0) % 求解最小最大問題，初始解向量為 x0 x = minimax( fun,x0 , options) x = minimax( fun,x

14、0 , options, vlb, vub,grad) x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub, grad, p1, p2,) x,options = minimax( fun, x0,) minimax 功能：求解最小最大問題 格式：x = minimax( fun,x0) % 求解最小最大問題，初始解向量為x0 x = minimax( fun,x0 , options) x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub,grad) x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub, gra

15、d, p1, p2,) x,options = minimax( fun, x0,) 58 舉例 : (1)求下述最小最大問題： f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x) 其中 f1 = 2x12 + x22 48x1 40 x2 + 304 f2 = -x12 3x22 f3 = x1 + 3x2 18 f4 = -x1 x2 f5 = x1 + x2 8 第一步：編寫M文件 function f,g = fun(x) f(1) = 2*x(1)2 + x(2)2 48*x(1) 40*x(2) +304; f(2) = x(1)2 3*x(2); f(3) = x(1)

16、+ 3*x(2) 18; f(4) = -x(1) x(2); f(5) = x(1) + x(2) 8; g = ; %無約束 第二步：求解 x0 = 0.1, 0.1; x = minimax (fun, x0 ) 經(jīng)過29次運(yùn)算后，結(jié)果為： 59 x = 4.0000 4.0000 fun(x) ans = 0.0000 -16.0000 -2.0000 -8.0000 0.0000 (2) 求上述問題的絕對值最小最大問題： 即目標(biāo)函數(shù)為： abs(f1(x), abs(f2(x), abs(f3(x), abs(f4(x), abs(f5(x) 第一步：編寫M文件 (與例一相同） 第二

17、步：求解 x0 = 0.1, 0.1; options(15) = 5; %全部為絕對值最小最大分量 x = minimax( fun, x0, options ) 經(jīng)過39次運(yùn)算，解為： x = 8.7769 0.6613 fun(x) ans = 10.7609 -7.2391 -9.4382 1.4382 60 4.8最小二乘最優(yōu) nnls函數(shù)非負(fù)線性最小二乘求解 非負(fù)線性最小二乘問題的一般形式 目標(biāo)函數(shù)：minxAx-b22 約束條件：x0 nnls 功能：求解非負(fù)最小二乘問題 格式：nnls (A,b) % 求解上述非負(fù)最小二乘問題 nnls (A,b,tol) % 定義x的容許誤差

18、，缺省：tol = max(size(A)*norm(A,l)*esp x,w = nnls(A,b) x,w = nnls(A,b,tol) 舉例：一個(gè)最小二成問題的無約束與非負(fù)約束解法的比較 第一步：輸入系數(shù) a = 0.0372 0.2869 0.6861 0.7071 0.6233 0.6245 0.6344 0.6170 b = 0.8587 0.1781 0.0747 0.8405 61 第二步：求解 a b, nnls (a, b) = -2.5625 0 1.1106 0.6929 norm(a*(ab) b), norm(a*nnls(a,b) b) = 0.6677 0.9

19、119 4.8.3conls函數(shù)約束線性最小二乘求解 線性約束最小二乘問題的一般描述： 目標(biāo)函數(shù)：minAx-b22 約束條件：Cxd conls 功能： 線性約束最小二乘問題求解 格式：x = conls(A, b, C, d) % 求解在約束c*xd下方程A*x=b的最小二乘解 x = conls(A, b, C, d, vlb) x = conls(A, b, C, d, vlb, vub) % 設(shè)置上下界 x = conls(A, b, C, d, vlb, vub, x0) % 設(shè)置初始解向量x0 x = conls(A, b, C, d, vlb, vub, x0, neqcstr

20、) x = conls(A, b, C, d, vlb, vub, x0, neqcstr, display) x, lambda, how = conls (A, b, C, d,) % 同時(shí)返回拉格朗日乘子 其中，A,b 為線性系統(tǒng)的系數(shù) C,d 為線性約束的系數(shù) 62 舉例 ： 求解如下系統(tǒng)的最小二乘解 系統(tǒng)：Ax = b 約束：Cxb; vlbxvub 第一步：輸入系統(tǒng)系數(shù) 第二步：求解 x, lambda = conls (A, b, C, d, vlb, vub) 4.8.4 leastsq函數(shù)非線性最小二乘求解 非線性最小二成問題的一般描述 minxF(x)22 = if i (

21、x)2 leastsq 功能：求解非線性最小二乘（非線性數(shù)據(jù)擬合）問題 格式： x = leastsq (fun, x0) % 求解返回解向量x,初始解向量為x0 x = leastsq (fun, x0, options) x = leastsq (fun, x0, options, grad) x = leastsq (fun, x0, options, grad, p1, p2,) x, options = leastsq(fun, x0,) x, options, funval = leastsq(fun, x0, ) x, options, funval, Jacob = least

22、sq(fun, x0, ) options(2)控制x的精度 options(3)控制目標(biāo)函數(shù)f的精度 63 舉例：求下述非線性最小二乘問題 ( 2 + 2k ekx1 ekx2 ) k=1,2,10 初始解向量為x = 0.3 0.4 由于leastsq函數(shù)要求傳遞的函數(shù)為向量形式且不具有平方和形 式，因此對函數(shù)作以下變換：Fx(x) = 2 + 2k ekx1 ekx2 k=1, 2,10 第一步：編寫M文件 function f =fun(x) k = 1:10; f = 2+2*k exp(k*x(1) exp(k*x(2); 第二步：求解 x0 = 0.3 0.4 x = least

23、sq( fun, x0 ) 經(jīng)過42次運(yùn)算，得到以下結(jié)果 x = 0.25783 0.25783 sum (fun(x).*fun(x) % 求目標(biāo)函數(shù) ans = 124.3622 64 fzero 功能： 求解單變量函數(shù) 格式： z = fzero(fun,x0) % 單變量函數(shù)fun求解, 并設(shè)置初始搜 索點(diǎn)為x0 z = fzero(fun,x0,tol) % 設(shè)置解的精度 z = fzero(fun,x0,tol,trace) z = fzero(fun,x0tol,trace,p1,p1,) tol為相對容許誤差 1.9方程求解 fzero 采用數(shù)值解法求解非線性方程；fsolve

24、函數(shù)則采用非線性最 小二乘法求解線性方程組 65 舉例： 對下述函數(shù)求解： f(x) = x3 2x 5 第一步：編寫M文件 function y = f(x) y = x.3 2*x 5; 第二步：求解 z = fzero(f, 2) z = 2,0946 1. fsolve 功能： 非線性方程求解 非線性方程的一般描述： F(x) = 0 其中x為向量，F(xiàn)(x)為一個(gè)函數(shù)向量 格式： x = fsolve(fun, x0) % 非線性方程fun求根 x = fsolve(fun, x0, opntions) x = fsolve(fun, x0, opntions, grad) x = fsolve(fun, x0, opntions, grad, p1, p2,) x,options = fsolve(fun,x0,) 66 舉例：(1) 求下述系統(tǒng)的根 2x1 x2 = e-x1 -x1+2x2 = ex2 即解下述方程 2x1 x2 = e-x1 -x1+2x2 = ex2 并設(shè)初始解向量為x0= -5, -5 第一步：編寫M文件