高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件上第7_5平面方程

1、第五節(jié) 一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 平面及其方程 第七七章 z y x o 0 M n 一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程 ),( 0000 zyxM設(shè)一平面通過已知點(diǎn) 且垂直于非零向 0)()()( 000 zzCyyBxxA M 稱式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程, 求該平面的方程. ,),(zyxM任取點(diǎn) ),( 000 zzyyxx 法向量. 量 , ),(CBAn nMM 0 0 0 nMM MM 0 則有 故 的為平面稱n 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 k

2、ji 例例1.1.求過三點(diǎn) , 1 M又 ) 1,9,14( 0)4() 1(9)2(14zyx 015914zyx 即 1 M 2 M 3 M 解解: 取該平面 的法向量為 ),2,3, 1(),4, 1,2( 21 MM)3,2,0( 3 M 的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程 346 231 n n 3121 MMMM 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程也可寫成 0 132 643 412zyx 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 一般情況一般情況 : 過三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxM kkkk 的

3、平面方程為 說明說明: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為 此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP 1 c z b y a x 時, )0,(cba bcax)( cay)(0baz abcbzaacybcx 平面方程為 P o z y x R Q 分析:利用三點(diǎn)式 按第一行展開得 即 0 ax yz ab0 a0c 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程 此方程稱為平面的一般平面的一般 0D

4、zCyBxA 任取一組滿足上述方程的數(shù), 000 zyx則 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0 000 DzCyBxA 顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價, )0( 222 CBA ),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是 法向量為 方程方程. 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x +

5、D =0 表示 B y + D =0 表示 0DCzByAx)0( 222 CBA 平行于 y 軸的平面; 平行于 z 軸的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. ,), 0(iCBn 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求通過 x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程. 例例3. .用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程. 解解: 因平面通過 x 軸 , 0 DA故 設(shè)所求平面方程為 0zCyB 代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得 BC3 化簡,得所求平面方程 03 zy (P327 例4 , 自己練習(xí)) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁

6、 返回 結(jié)束 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角 設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為 則兩平面夾角 的余弦為 cos 即 212121 CCBBAA 2 2 2 2 2 2 CBA 2 1 2 1 2 1 CBA 兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角. 1 2 2 n 1 n ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 21 21 cos nn nn 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論： 21 ) 1 ( 0 212121 CCBBAA 21 /)2( 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ),(: ),(: 22222 11

7、111 CBAn CBAn 1 1 2 21 21 cos nn nn 21 nn 21 / nn 2 n 1 n 2 n 1 n 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此有 例例4. 一平面通過兩點(diǎn) 垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 . 解解: 設(shè)所求平面的法向量為 ,020CBA即CA2 的法向量 ,0CBA CCAB)( )0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC 約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx 即 02zyx 0) 1() 1() 1(zCyBxA )1, 1, 1( 1 M, )1, 1,0( 2 M和 則所求平面 故 , ),(CBAn

8、方程為 n 21M Mn 且 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 外一點(diǎn),求 ),( 0000 zyxP0DzCyBxA例例5. 設(shè) 222 101010 )()()( CBA zzCyyBxxA 222 000 CBA DzCyBxA d 0 111 DzCyBxA 解解: :設(shè)平面法向量為 ),( 1111 zyxP 在平面上取一點(diǎn) 是平面 到平面的距離d . 0 P ,則P0 到平面的距離為 01 PrjPPd n n nPP 01 0 P 1 P n d , ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x y z o 0 M 例例6. 解解: 設(shè)球心為

9、求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成 則它位于第一卦限,且 222 000 111 1zyx 00 331xx , 1 000 zyx Rzyx 000 因此所求球面方程為 000 zyx 6 33 33 1 , ),( 0000 zyxM 四面體的球面方程. 從而 )(半徑R 2222 ) 6 33 () 6 33 ( 6 33 ) 6 33 ( zyx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1.平面平面基本方程: 一般式 點(diǎn)法式 截距式 0DCzByAx)0( 222 CBA 1 c z b y a x 三點(diǎn)式 0 131313 121212 111

10、 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 0)()()( 000 zzCyyBxxA )0(abc 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 212121 CCBBAA 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2.平面與平面之間的關(guān)系 平面 平面 垂直: 平行: 夾角公式: 21 21 cos nn nn 0 21 nn 0 21 nn , 0: 22222 DzCyBxA),( 2222 CBAn , 0: 11111 DzCyBxA 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),( 1111 CBAn 思考與練習(xí)思考與練習(xí) P330 題4 , 5, 8 第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P330 2 , 6 , 7 , 9 )5,15,10( 0) 1(5) 1(15) 1(1