一微積分產(chǎn)生的歷史背景

1、第第5講講 微積分的誕生微積分的誕生 人類精神的最高勝利人類精神的最高勝利 導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課 17世紀(jì)中葉，微積分誕生了，它是世紀(jì)中葉，微積分誕生了，它是 繼歐幾里得幾何學(xué)后數(shù)學(xué)中最偉大的創(chuàng)造，繼歐幾里得幾何學(xué)后數(shù)學(xué)中最偉大的創(chuàng)造， 它的誕生掀開了數(shù)學(xué)乃至整個科學(xué)發(fā)展史它的誕生掀開了數(shù)學(xué)乃至整個科學(xué)發(fā)展史 嶄新的一頁嶄新的一頁. 那么微積分是在怎樣的那么微積分是在怎樣的 背景下產(chǎn)生的呢？背景下產(chǎn)生的呢？ 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 知識與能力知識與能力 理解微積分產(chǎn)生的歷史背景理解微積分產(chǎn)生的歷史背景. 了解促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題了解促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題. 了解微積分誕生之前，眾多數(shù)學(xué)家所作了解微

2、積分誕生之前，眾多數(shù)學(xué)家所作 出的不懈努力出的不懈努力. 過程與方法過程與方法 結(jié)合學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，對微積分結(jié)合學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，對微積分 產(chǎn)生的歷史背景有更深的了解產(chǎn)生的歷史背景有更深的了解. 情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀 通過對本課的學(xué)習(xí)，使大家了解歷史的發(fā)通過對本課的學(xué)習(xí)，使大家了解歷史的發(fā) 展需要偉人的推動展需要偉人的推動. 教學(xué)重難點教學(xué)重難點 重點重點 理解微積分產(chǎn)生的歷史背景理解微積分產(chǎn)生的歷史背景. 了解促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題了解促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題. 難點難點 理解微積分產(chǎn)生的歷史背景理解微積分產(chǎn)生的歷史背景. 微積分微積分是描述運動過程的數(shù)學(xué)，它的是

3、描述運動過程的數(shù)學(xué)，它的 產(chǎn)生為力學(xué)、天文學(xué)以及后來的電磁學(xué)等產(chǎn)生為力學(xué)、天文學(xué)以及后來的電磁學(xué)等 提供了必不可少的工具提供了必不可少的工具. 微積分并不是憑空產(chǎn)生的，它經(jīng)歷了微積分并不是憑空產(chǎn)生的，它經(jīng)歷了 長時間的醞釀過程長時間的醞釀過程. 內(nèi)容解析內(nèi)容解析 微積分產(chǎn)生的前提有兩個：幾何坐微積分產(chǎn)生的前提有兩個：幾何坐 標(biāo)和函數(shù)概念標(biāo)和函數(shù)概念.這兩個方面由于笛卡兒和這兩個方面由于笛卡兒和 費馬等人的工作，其基礎(chǔ)已基本具備費馬等人的工作，其基礎(chǔ)已基本具備. 恩格斯說：恩格斯說：“社會一旦有技術(shù)上的需社會一旦有技術(shù)上的需 要，則這種需要就會比十所大學(xué)更能把科要，則這種需要就會比十所大學(xué)更能把

4、科 學(xué)推向前進(jìn)學(xué)推向前進(jìn)”. 到了到了17世紀(jì)，由于解析幾何的世紀(jì)，由于解析幾何的 創(chuàng)立，使自然科學(xué)研究的中心轉(zhuǎn)向創(chuàng)立，使自然科學(xué)研究的中心轉(zhuǎn)向 自然界的運動和變化，古典算術(shù)或自然界的運動和變化，古典算術(shù)或 幾何、代數(shù)方法，甚至解析幾何，幾何、代數(shù)方法，甚至解析幾何， 對自然界的運動和變化都無能為力對自然界的運動和變化都無能為力 了，這就激起不少數(shù)學(xué)家致力尋找了，這就激起不少數(shù)學(xué)家致力尋找 解決這些問題的新方法解決這些問題的新方法. 那么，促使微積分產(chǎn)生的科那么，促使微積分產(chǎn)生的科 學(xué)問題都有什么呢學(xué)問題都有什么呢? 瞬時速度問題瞬時速度問題 切線問題切線問題 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題 面

5、積、體積、曲線面積、體積、曲線 長、重心和引力的計算長、重心和引力的計算 瞬時速度問題瞬時速度問題 已知物體移動的距離表示為時間的函已知物體移動的距離表示為時間的函 數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加 速度；反過來，已知物體的加速度表示為速度；反過來，已知物體的加速度表示為 時間的函數(shù)的公式，求速度和距離，時間的函數(shù)的公式，求速度和距離， 如何如何 求不做勻速運動物體的瞬時速度就成為數(shù)求不做勻速運動物體的瞬時速度就成為數(shù) 學(xué)家們的一個當(dāng)務(wù)之急學(xué)家們的一個當(dāng)務(wù)之急. 如果物體的運動是勻速的，那如果物體的運動是勻速的，那 么計算它的瞬時速度就是用運動時么計算它

6、的瞬時速度就是用運動時 間去除運動距離間去除運動距離. 如果物體的運動不是勻速時，它如果物體的運動不是勻速時，它 的瞬時速度就不能用運動時間去除運的瞬時速度就不能用運動時間去除運 動距離，因為在給定的瞬間，移動的動距離，因為在給定的瞬間，移動的 距離和所用的時間都是距離和所用的時間都是0，而，而0除以除以0 是沒有意義的是沒有意義的. 分析分析 已知物體的速度公式求運動的距離也已知物體的速度公式求運動的距離也 會遇到同樣的問題會遇到同樣的問題.求變速運動物體的瞬求變速運動物體的瞬 時速度或運動距離可以說是微分或積分概時速度或運動距離可以說是微分或積分概 念最基本的現(xiàn)實原型之一念最基本的現(xiàn)實原型

7、之一. 切線問題切線問題 馬克思曾指出：馬克思曾指出：“全部微分學(xué)本來產(chǎn)生全部微分學(xué)本來產(chǎn)生 于求任意一條曲線上任意一點的切線問題于求任意一條曲線上任意一點的切線問題”. 切線概念，古希臘時代已有切線概念，古希臘時代已有.例如歐幾里得例如歐幾里得 的的原本原本對圓的切線定義為與圓僅接觸一對圓的切線定義為與圓僅接觸一 點的直線點的直線. 希臘時代的這種切線定義，只是希臘時代的這種切線定義，只是 一種靜態(tài)的直覺定義，即是一種定性一種靜態(tài)的直覺定義，即是一種定性 的描述，沒有給出求切線的一般方法的描述，沒有給出求切線的一般方法. 后來根據(jù)圓的切線意義拓展到了后來根據(jù)圓的切線意義拓展到了 曲線的一般定

8、義曲線的一般定義:“一條與曲線如此相一條與曲線如此相 切的直線，使得在這條直線與曲線之切的直線，使得在這條直線與曲線之 間的空間中不能插進(jìn)其他的直線間的空間中不能插進(jìn)其他的直線.” 17世紀(jì)，光學(xué)成為非常重世紀(jì)，光學(xué)成為非常重 要的研究領(lǐng)域，要研究光線通要的研究領(lǐng)域，要研究光線通 過透鏡的通道，必須知道光線過透鏡的通道，必須知道光線 射入透鏡的角度以便應(yīng)用反射射入透鏡的角度以便應(yīng)用反射 與折射定律，而重要的角是光與折射定律，而重要的角是光 線與鏡面曲面法線（過曲線的線與鏡面曲面法線（過曲線的 切點與切線垂直的直線）的夾切點與切線垂直的直線）的夾 角，法線是垂直于切線的，所角，法線是垂直于切線的

9、，所 以問題在于求法線或切線以問題在于求法線或切線. 另一個涉及曲線的切線的科學(xué)問另一個涉及曲線的切線的科學(xué)問 題出現(xiàn)在運動的研究中，運動物體在題出現(xiàn)在運動的研究中，運動物體在 它的軌跡上任一點處的運動方向，是它的軌跡上任一點處的運動方向，是 軌跡的切線方向軌跡的切線方向. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題 早在早在16世紀(jì)，西歐各世紀(jì)，西歐各 軍事強國的火炮制造技術(shù)軍事強國的火炮制造技術(shù) 就已經(jīng)非常先進(jìn)就已經(jīng)非常先進(jìn).那么，那么， 一個現(xiàn)實的問題就是，發(fā)一個現(xiàn)實的問題就是，發(fā) 射角多大時炮彈獲得最大射角多大時炮彈獲得最大 射程射程. 16世紀(jì)的榴彈炮世紀(jì)的榴彈炮 17世紀(jì)初，意大利科學(xué)家伽利略世

10、紀(jì)初，意大利科學(xué)家伽利略 （Galileo Galilei，15641642）認(rèn)識到）認(rèn)識到 炮彈彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言，在不考炮彈彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言，在不考 慮空氣阻力的情況下，當(dāng)發(fā)射角為慮空氣阻力的情況下，當(dāng)發(fā)射角為45時時 炮彈的射程最大炮彈的射程最大.此外，他還得到了發(fā)射角此外，他還得到了發(fā)射角 變化時炮彈所能達(dá)到的最大高度變化時炮彈所能達(dá)到的最大高度. 研究行星的運動也涉及到求最大、最研究行星的運動也涉及到求最大、最 小值的問題，比如求行星離太陽最遠(yuǎn)和最小值的問題，比如求行星離太陽最遠(yuǎn)和最 近的距離近的距離. 面積、體積、曲線長、面積、體積、曲線長、 重心和引力的計算重心和引

11、力的計算 面積與體積計算問題古來有之：如曲面積與體積計算問題古來有之：如曲 線圍成的面積；曲面圍成的體積線圍成的面積；曲面圍成的體積.17世紀(jì)上世紀(jì)上 半葉，隨著天文學(xué)的長足進(jìn)步，這方面的半葉，隨著天文學(xué)的長足進(jìn)步，這方面的 問題變得更為突出問題變得更為突出. 如德國天文學(xué)家開普勒給出的行星運動如德國天文學(xué)家開普勒給出的行星運動 三大定律和其他許多天文問題都涉及到行星三大定律和其他許多天文問題都涉及到行星 運動的軌道、行星矢徑掃過的面積以及物體運動的軌道、行星矢徑掃過的面積以及物體 重心與引力等計算重心與引力等計算. 公元前公元前4世紀(jì)，歐多克索斯（世紀(jì)，歐多克索斯（Eudoxus， 約公元前

12、約公元前400約前約前347）提出計算曲邊形）提出計算曲邊形 面積和體積的方法，此法在面積和體積的方法，此法在17世紀(jì)時稱世紀(jì)時稱“窮窮 竭法竭法”. 古希臘人曾用窮竭法計算出一些面古希臘人曾用窮竭法計算出一些面 積和體積，盡管他們只是對于比較簡單積和體積，盡管他們只是對于比較簡單 的面積和體積應(yīng)用了這個方法，但也必的面積和體積應(yīng)用了這個方法，但也必 須加上很多技巧，所以這個方法缺乏一須加上很多技巧，所以這個方法缺乏一 般性般性.這些長度、面積和體積計算問題就這些長度、面積和體積計算問題就 成為積分學(xué)的基本來源成為積分學(xué)的基本來源. 在微積分誕生之前，有眾多數(shù)學(xué)家為在微積分誕生之前，有眾多數(shù)學(xué)

13、家為 解決上述問題做出了不懈努力解決上述問題做出了不懈努力. 1615年，為了研究旋轉(zhuǎn)體的體積，開普年，為了研究旋轉(zhuǎn)體的體積，開普 勒引入了無窮大和無窮小概念，并指出：圓勒引入了無窮大和無窮小概念，并指出：圓 是由無數(shù)個頂點在圓心的三角形構(gòu)成，圓周是由無數(shù)個頂點在圓心的三角形構(gòu)成，圓周 是由這些三角形的無窮小底邊構(gòu)成，把無限是由這些三角形的無窮小底邊構(gòu)成，把無限 小的弧看成直線，把無限窄的面看成直線，小的弧看成直線，把無限窄的面看成直線， 把無限薄的體看做面把無限薄的體看做面. 開普勒的求積術(shù)開普勒的求積術(shù) 意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利系統(tǒng)地運用意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利系統(tǒng)地運用 無窮小方法計算面積和體積

14、無窮小方法計算面積和體積.他假定：他假定： 線是由無窮多個點組成，面是由無窮多線是由無窮多個點組成，面是由無窮多 條線組成，體是由無窮多個面組成條線組成，體是由無窮多個面組成.卡卡 瓦列利利用幾何方法巧妙地求得若干曲瓦列利利用幾何方法巧妙地求得若干曲 邊圖形的面積，還證明了旋轉(zhuǎn)體的表面邊圖形的面積，還證明了旋轉(zhuǎn)體的表面 積和體積公式積和體積公式. 卡瓦列里不可分量原理卡瓦列里不可分量原理 法國的笛卡兒的求切線方程的法國的笛卡兒的求切線方程的“圓圓 法法”、費馬、帕斯卡的求極大、極小值的、費馬、帕斯卡的求極大、極小值的 方法以及英國的巴羅的方法以及英國的巴羅的“微分三角形微分三角形”和和 沃利斯

15、的沃利斯的“無窮算術(shù)無窮算術(shù)” 為解決上述問題為解決上述問題 都作出了獨特的貢獻(xiàn)都作出了獨特的貢獻(xiàn). 雖然眾多數(shù)學(xué)家的研究工作為微積雖然眾多數(shù)學(xué)家的研究工作為微積 分的誕生做了積極的準(zhǔn)備，但他們的方分的誕生做了積極的準(zhǔn)備，但他們的方 法粗糙且缺乏一般性法粗糙且缺乏一般性.當(dāng)時還無人認(rèn)識當(dāng)時還無人認(rèn)識 到求面（體）積、求極值、求瞬時速度到求面（體）積、求極值、求瞬時速度 和求切線四者之間的內(nèi)在聯(lián)系，更未能和求切線四者之間的內(nèi)在聯(lián)系，更未能 意識到微分與積分之間的互逆關(guān)系意識到微分與積分之間的互逆關(guān)系.歷歷 史的發(fā)展需要偉人的推動，在時代的召史的發(fā)展需要偉人的推動，在時代的召 喚下，牛頓與萊布尼茨

16、脫穎而出，擔(dān)負(fù)喚下，牛頓與萊布尼茨脫穎而出，擔(dān)負(fù) 起這項偉大的任務(wù)起這項偉大的任務(wù). 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 微積分產(chǎn)生的歷史背景微積分產(chǎn)生的歷史背景: 微積分產(chǎn)生的前提有兩個：幾何坐標(biāo)微積分產(chǎn)生的前提有兩個：幾何坐標(biāo) 和函數(shù)概念和函數(shù)概念. 近代微積分的產(chǎn)生經(jīng)過了半近代微積分的產(chǎn)生經(jīng)過了半 個多世紀(jì)的準(zhǔn)備與醞釀，有著深刻的社會個多世紀(jì)的準(zhǔn)備與醞釀，有著深刻的社會 背景背景.隨著資本主義社會生產(chǎn)力的蓬勃發(fā)展，隨著資本主義社會生產(chǎn)力的蓬勃發(fā)展， 17世紀(jì)上半葉出現(xiàn)了許多重大的科學(xué)問題，世紀(jì)上半葉出現(xiàn)了許多重大的科學(xué)問題， 這些問題的解決需要新的數(shù)學(xué)工具這些問題的解決需要新的數(shù)學(xué)工具. 促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)