第二章大學(xué)物理

1、一、平面力系：當(dāng)力系中各分力的作用線都位于一、平面力系：當(dāng)力系中各分力的作用線都位于 同一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，該力系稱為平同一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，該力系稱為平 面力系面力系 二、平面力系又可根據(jù)力系中各分力的作用線的二、平面力系又可根據(jù)力系中各分力的作用線的 分布情況劃分為：平面匯交力系、平面力偶分布情況劃分為：平面匯交力系、平面力偶 系、平面平行力系和平面系、平面平行力系和平面 任意力系任意力系 三、本章研究的主要問題：力系的簡化、合成及三、本章研究的主要問題：力系的簡化、合成及 平衡問題平衡問題 第二章第二章 平面力系平面力系 2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系 1 1、平面匯交力系合成的幾何法、平面

2、匯交力系合成的幾何法-力多邊形法則力多邊形法則 設(shè)一剛體受一平面匯交力系的作設(shè)一剛體受一平面匯交力系的作 用，各力作用線匯交與點(diǎn)用，各力作用線匯交與點(diǎn)A 根據(jù)力的可傳性推理，可將根據(jù)力的可傳性推理，可將 各力沿其作用線移至匯交點(diǎn)各力沿其作用線移至匯交點(diǎn)A A 對匯交力系進(jìn)行合成的基本原則是公理對匯交力系進(jìn)行合成的基本原則是公理1 1（力的平行四（力的平行四 邊形法則）或邊形法則）或三角形法則：三角形法則： 平面匯交力系平面匯交力系: :平面力系中各分力的作用線分布情況平面力系中各分力的作用線分布情況 為均匯交于同一點(diǎn)為均匯交于同一點(diǎn) 三角形法則的矢序規(guī)則為：分力首尾相接，合力三角形法則的矢序規(guī)

3、則為：分力首尾相接，合力 逆向封閉三角形逆向封閉三角形 對多個(gè)力組成的匯交力系，其合成原則是通過對多個(gè)力組成的匯交力系，其合成原則是通過 依次使用平行四邊形法則或三角形法則而確定依次使用平行四邊形法則或三角形法則而確定 其合力的大小、方向和作用點(diǎn)其合力的大小、方向和作用點(diǎn) 這樣，分力和合力之間的矢量幾何關(guān)系就這樣，分力和合力之間的矢量幾何關(guān)系就 變?yōu)榱艘粋€(gè)力的多邊形關(guān)變?yōu)榱艘粋€(gè)力的多邊形關(guān) 系；而合力和分力的矢序系；而合力和分力的矢序 規(guī)則為分力首尾相接、合規(guī)則為分力首尾相接、合 力逆向封閉多變形，此匯力逆向封閉多變形，此匯 交力系的合成原則稱為力交力系的合成原則稱為力 的多邊形法則的多邊形法

4、則 平面匯交力系合成的數(shù)學(xué)表達(dá)式：平面匯交力系合成的數(shù)學(xué)表達(dá)式： i n i i FFF 1 R 2 2、平面匯交力系平衡的幾何條件、平面匯交力系平衡的幾何條件 力多邊形自行封閉；力多邊形自行封閉； 數(shù)學(xué)表達(dá)式：數(shù)學(xué)表達(dá)式：0 i F 3 3、平面匯交力系合成的解析法、平面匯交力系合成的解析法-合力投影定理合力投影定理 1 1）、平面匯交力系中的單個(gè)分）、平面匯交力系中的單個(gè)分 力在坐標(biāo)系中的分解：力在坐標(biāo)系中的分解： 大?。捍笮。?方向：方向： 作用線固定，沿坐標(biāo)軸方向；作用線固定，沿坐標(biāo)軸方向； ),cos(iFFF iixi ),cos(jFFF iiyi 其空間方位只需要通過指向即可確

5、定，而其空間方位只需要通過指向即可確定，而 指向只有兩種選擇，因此可以簡單地用、指向只有兩種選擇，因此可以簡單地用、 號表示，故這種矢量已轉(zhuǎn)化為標(biāo)量號表示，故這種矢量已轉(zhuǎn)化為標(biāo)量 ),cos(iFFF iixi ),cos(jFFF iiyi 于是：力在坐標(biāo)軸上的分量可以表示為一個(gè)帶有、于是：力在坐標(biāo)軸上的分量可以表示為一個(gè)帶有、 號的標(biāo)量，其中號表示與坐標(biāo)軸正向一號的標(biāo)量，其中號表示與坐標(biāo)軸正向一 致、號表示與坐標(biāo)軸正向相反致、號表示與坐標(biāo)軸正向相反 2 2）、）、合力投影定理：合力在一個(gè)坐標(biāo)軸上的分量等于各合力投影定理：合力在一個(gè)坐標(biāo)軸上的分量等于各 個(gè)分力在同一個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代個(gè)分力在

6、同一個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代 數(shù)和數(shù)和 即：即： ixx FF iyy FF 作用點(diǎn)：匯交力系的匯交點(diǎn)作用點(diǎn)：匯交力系的匯交點(diǎn) 3 3）、合力矢量的確定：）、合力矢量的確定： 大?。捍笮。?22 Ryx FFF 方向：方向： R cos F Fix R cos F F iy 4 4、平面匯交力系平衡的解析條件、平面匯交力系平衡的解析條件-平衡方程平衡方程 平面匯交力系平衡的解析條件：平面匯交力系平衡的解析條件： 平衡的解析條件為：平衡的解析條件為： 0 22 R yx FFF 0 y F 0 x F 上述平面匯交力系平衡的解析條件，由于其等上述平面匯交力系平衡的解析條件，由于其等 式左端包含的力分量

7、有已知的主動(dòng)力，也有未知的式左端包含的力分量有已知的主動(dòng)力，也有未知的 約束反力，因此關(guān)系式中存在未知量，同時(shí)等式右約束反力，因此關(guān)系式中存在未知量，同時(shí)等式右 端又等于零，因此是標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)方程式，故稱為平端又等于零，因此是標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)方程式，故稱為平 面匯交力系的平衡方程面匯交力系的平衡方程. . 0 ix F 0 iy F 即：即： - - 平衡方程平衡方程 已知：已知：系統(tǒng)如圖，不計(jì)桿、繩和滑輪自重，忽略摩擦及滑輪系統(tǒng)如圖，不計(jì)桿、繩和滑輪自重，忽略摩擦及滑輪 大小，大小，P=20kNP=20kN； 求：系統(tǒng)平衡時(shí)，桿求：系統(tǒng)平衡時(shí)，桿AB，BC受力受力. . 例例2-12-1 解：解：

8、1 1、取滑輪取滑輪B B為受力體：為受力體： 2 2、畫受力圖：畫受力圖： 受力如圖所示；受力如圖所示； 060cos30cos 21 FFF BC 0 y F kN32.27 BC FkN321. 7 BA F 0 x F 建圖示坐標(biāo)系，沿兩個(gè)坐標(biāo)軸列建圖示坐標(biāo)系，沿兩個(gè)坐標(biāo)軸列 平衡方程：平衡方程： 3 3、列平衡方程：列平衡方程： 030cos60cos 21 FFF BA 4 4、求解方程：求解方程： 其中其中 PFF 21 1 1、平面力對點(diǎn)之矩（力矩）、平面力對點(diǎn)之矩（力矩） 2-22-2 平面力對點(diǎn)之矩平面力對點(diǎn)之矩 平面力偶理論平面力偶理論 在力的作用面內(nèi)，點(diǎn)在力的作用面內(nèi)，

9、點(diǎn) 稱稱 為矩心，點(diǎn)為矩心，點(diǎn) 到力的作用線的到力的作用線的 垂直距離垂直距離 稱為力臂；則：平稱為力臂；則：平 面內(nèi)力對點(diǎn)的矩的定義為：面內(nèi)力對點(diǎn)的矩的定義為： O h O 它的大?。ń^對值）等于力的大小與力臂的乘積，它的大小（絕對值）等于力的大小與力臂的乘積， 它的方向由正負(fù)號規(guī)定：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向它的方向由正負(fù)號規(guī)定：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向 時(shí)為正，反之為負(fù)；因此其為一個(gè)代數(shù)量時(shí)為正，反之為負(fù)；因此其為一個(gè)代數(shù)量. . hF)F(M O 1 1）平面力對點(diǎn)之矩的定義）平面力對點(diǎn)之矩的定義 平面力對物體繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的作用效果取決于平面平面力對物體繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的作用效果取決于平面 力對

10、點(diǎn)之矩的兩個(gè)要素：力對點(diǎn)之矩的兩個(gè)要素： 1 1）大?。毫Γ┐笮。毫?的大小與力臂的乘積；的大小與力臂的乘積； 2 2）方向：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)）方向：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù). . F mNmkN （1 1） ：力：力 的大小為零；的大小為零； （2 2） ：即力的作用線通過矩心：即力的作用線通過矩心. . F 0F 0h 力矩的單位常用：力矩的單位常用： 或或 . . 2 2）平面力對點(diǎn)之矩的兩要素：）平面力對點(diǎn)之矩的兩要素： 3 3）力對點(diǎn)的矩為零的條件：）力對點(diǎn)的矩為零的條件： 2 2、合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式、合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式 1 1）合力矩定理：平面匯）合力矩

11、定理：平面匯 交力系的合力對平面內(nèi)任一交力系的合力對平面內(nèi)任一 點(diǎn)之矩等于所有各分力對于點(diǎn)之矩等于所有各分力對于 該點(diǎn)之矩的代數(shù)和該點(diǎn)之矩的代數(shù)和. . 按力系等效概念，上式必按力系等效概念，上式必 然成立，且該結(jié)論適用于任何有合力存在的力系然成立，且該結(jié)論適用于任何有合力存在的力系. . )( RiOO FM)F(M xy xoyoo yFxF yFxF FMFMFM cossin )()()( 2 2）力矩的解析表達(dá)式）力矩的解析表達(dá)式 單個(gè)力的力矩解析表達(dá)式：單個(gè)力的力矩解析表達(dá)式： 合力的力矩的解析表達(dá)式：合力的力矩的解析表達(dá)式： )()( ixiiyiRo FyFxFM O x y

12、y F F x F x y A ),(yx 3 3、力偶和力偶矩、力偶和力偶矩 力偶力偶 FF , 由兩個(gè)等值、反向、不共線的（平行）力組成由兩個(gè)等值、反向、不共線的（平行）力組成 的力系稱為力偶，作記的力系稱為力偶，作記 . . 力偶中兩力所在平面稱為力偶作用面；力力偶中兩力所在平面稱為力偶作用面；力 偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂. . 力偶不能合成為一個(gè)力，因此力偶不能力偶不能合成為一個(gè)力，因此力偶不能 等效于一個(gè)單個(gè)力、也不可能和一個(gè)力平衡、等效于一個(gè)單個(gè)力、也不可能和一個(gè)力平衡、 力偶只能與力偶平衡力偶只能與力偶平衡. . 力偶對物體的作用效果，可用力偶

13、矩來度力偶對物體的作用效果，可用力偶矩來度 量，平面力偶矩的定義為：量，平面力偶矩的定義為： 力和力偶是力表現(xiàn)的兩種基本形式力和力偶是力表現(xiàn)的兩種基本形式. . 大?。毫Υ笮。毫?的大小與力偶臂乘積的大小與力偶臂乘積; ; 方向：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)方向：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù). . ABCdFM2 力偶矩的單位常用：力偶矩的單位常用： 或或 . .mNmkN 它的大?。ń^對值）等于它的大?。ń^對值）等于 力的大小與力偶臂的乘積，正力的大小與力偶臂的乘積，正 負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，反之為負(fù)；逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，反之為負(fù)； 因此它是一個(gè)代數(shù)量

14、因此它是一個(gè)代數(shù)量. . 平面力偶對物體的作用效果取決于平面力偶矩平面力偶對物體的作用效果取決于平面力偶矩 的兩個(gè)要素：的兩個(gè)要素： F 4 4、對剛體，同平面內(nèi)力偶的等效定理、對剛體，同平面內(nèi)力偶的等效定理 定理：定理：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力 偶對剛體的作用效果相同偶對剛體的作用效果相同. 該定理給出了在同一平面內(nèi)力偶對剛體作用效果相同該定理給出了在同一平面內(nèi)力偶對剛體作用效果相同 的條件，由此可得推論：的條件，由此可得推論： （2 2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大

15、 小與力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用效果小與力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用效果. . （1 1）任一力偶可在它的作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它）任一力偶可在它的作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它 對剛體的作用對剛體的作用 . 因此力偶對剛體的作用與力偶在其作用面因此力偶對剛體的作用與力偶在其作用面 內(nèi)的位置無關(guān)內(nèi)的位置無關(guān). 由此可見，力偶的臂和力的大小都不是平面力偶對剛由此可見，力偶的臂和力的大小都不是平面力偶對剛 體作用的特征量，只有力偶矩是平面力偶作用的唯一度量體作用的特征量，只有力偶矩是平面力偶作用的唯一度量. = = 今后常用圖示的符號表示力偶，今后常用圖示的符號表示力偶，M

16、 M為力偶矩為力偶矩. . 5 5、平面力偶系的合成和平衡、平面力偶系的合成和平衡 （1 1）平面力偶系的合成）平面力偶系的合成 合力偶矩定理：在同平面內(nèi)的任意個(gè)力偶可合力偶矩定理：在同平面內(nèi)的任意個(gè)力偶可 合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的 代數(shù)和代數(shù)和. . 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： i n i i MMM 1 （2 2）平面力偶系的平衡）平面力偶系的平衡 平面力偶系的平衡條件：所有各力偶矩的代平面力偶系的平衡條件：所有各力偶矩的代 數(shù)和等于零數(shù)和等于零. . 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 0 i M 例例2-2 2-2 求：平

17、衡時(shí)的求：平衡時(shí)的 及鉸鏈及鉸鏈 處的約束力處的約束力. . 2 M ；， 305 . 02 1 mrOAkmM已知：已知： BO, 畫受力圖：由力偶只能由力偶平衡的畫受力圖：由力偶只能由力偶平衡的 性質(zhì)性質(zhì), ,畫受力圖畫受力圖. . 建立平衡方程：建立平衡方程： 0 M 0sin 1 rFM A 解得：解得： 8kN OA FF 2 2、取桿、取桿 為受力體；為受力體；BC 解：解： 1 1、取輪為受力體；取輪為受力體； 畫受力圖：由力偶只能由力偶平衡的畫受力圖：由力偶只能由力偶平衡的 性質(zhì)性質(zhì), 畫受力圖如圖畫受力圖如圖. 建立平衡方程：建立平衡方程： 平面任意力系：當(dāng)力系中各力的作用線

18、處于同一平平面任意力系：當(dāng)力系中各力的作用線處于同一平 面內(nèi)且任意分布時(shí)，稱其為平面任面內(nèi)且任意分布時(shí)，稱其為平面任 意力系意力系. . 平面任意力系簡化的基本原理是力的平移定理：平面任意力系簡化的基本原理是力的平移定理： 2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化 解得：解得： 2 8kN mM 8kN BA FF 0 M 0 sin 2 M r FA 1 1、力的平移定理：可以把作用在剛體上點(diǎn)、力的平移定理：可以把作用在剛體上點(diǎn) 的力的力 平行移到任一點(diǎn)平行移到任一點(diǎn) ，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這 個(gè)附加力偶的矩等于原來的力個(gè)附加力偶的矩等于原來的力 對

19、新作用點(diǎn)對新作用點(diǎn) 的矩的矩. . 證明：證明： A F BF B 2 2、平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化、平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化 主矢和主矩主矢和主矩 1 1）取簡化中心：）取簡化中心：O O點(diǎn)；點(diǎn)； 2 2）通過力的平移定理對平面任意力系進(jìn)行簡化：）通過力的平移定理對平面任意力系進(jìn)行簡化： 1111 () O FF MMF 2222 () O FFMMF i FF R 其中其中 稱為力系的主矢；稱為力系的主矢； ii FFF R )( iOo FMM 其中其中 稱為力系的主矩；稱為力系的主矩； () nnnOn FFMMF 即，平面任意力系等效為兩個(gè)簡單力系：平面即，平面任意力系等

20、效為兩個(gè)簡單力系：平面 匯交力系和平面力偶系匯交力系和平面力偶系. . 3 3）通過力的多邊形法則和合力偶矩定理對上述）通過力的多邊形法則和合力偶矩定理對上述 平面匯交力系和平面力偶系進(jìn)行合成：平面匯交力系和平面力偶系進(jìn)行合成： )( ioio FMMM 作用于簡化中心上（與簡化中心有關(guān)）作用于簡化中心上（與簡化中心有關(guān)） 大小大小 方向方向 作用點(diǎn)：作用點(diǎn)： 主矩主矩 主矢主矢 （1 1）、主矢和主矩與簡化中心的關(guān)系：）、主矢和主矩與簡化中心的關(guān)系： i F （與簡化中心無關(guān)）（與簡化中心無關(guān)） 大小大小 轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向 )( iO FM （與簡化中心有關(guān)）（與簡化中心有關(guān)） 注意兩點(diǎn)：注意兩點(diǎn)：

21、 = 一個(gè)物體的一端完全固定在另一物體上，這種一個(gè)物體的一端完全固定在另一物體上，這種 約束稱為固定端約束約束稱為固定端約束 約束特點(diǎn)：限制被約束體的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)約束特點(diǎn)：限制被約束體的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 約束力：一個(gè)力和一個(gè)力偶約束力：一個(gè)力和一個(gè)力偶 （2 2）、）、固定端約束：固定端約束： 0 R F0 o M（1 1）簡化合成為一個(gè)合力偶：簡化合成為一個(gè)合力偶： 3 3、平面任意力系的簡化、合成結(jié)果分析、平面任意力系的簡化、合成結(jié)果分析 （2 2）簡化合成為一個(gè)合力：簡化合成為一個(gè)合力： 1 1） 2 2） 0 R F 0 R F 則則：0 oo MM 0 o M 0 o M R F 大小大小

22、方向方向 作用線：作用線： ，合力作用線在，合力作用線在 作用線的哪一側(cè)，需根據(jù)主作用線的哪一側(cè)，需根據(jù)主 矢和主矩的方向確定矢和主矩的方向確定 （3 3）平衡：平衡：0 R F R F R F R F M d o 0 o M 例例2-32-3 求：求： （3 3）合力作用線方程）合力作用線方程 （1 1）力系向）力系向 點(diǎn)的簡化點(diǎn)的簡化 結(jié)果；結(jié)果； （2 2）合力與基線）合力與基線 的交的交 點(diǎn)到點(diǎn)到 點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離 ； 已知已知: : 重力壩受力如圖，重力壩受力如圖， ; ; 1 450kN,P 2 200kN,P 1 300kN,F kN70 2 F O OA Ox 解：解：設(shè)設(shè) 0

23、 7 .16arctan CB AB ACB 主矢（使用解析法）：主矢（使用解析法）： 12 122 cos232.9kN sin670.1kN x y FFF FPPF 22 R ()()709.4kN xy FFF RR RR cos(, )0.3283, cos(, )0.9446 yx FF FiFj FF RR (, )70.84 ,(, )18019.16FiFj 主矩：主矩： 112 ( )31.53.92355kN m OO MMFFPP Rx F Ry F （1 1）力系向）力系向 點(diǎn)的簡化結(jié)果；點(diǎn)的簡化結(jié)果； O o M o M 作用線：作用線： ， 合力作用線在點(diǎn)合力作用

24、線在點(diǎn) 的哪一側(cè)，需根據(jù)主矢和主矩的哪一側(cè)，需根據(jù)主矢和主矩 的方向確定：因?yàn)橹骶仨槙r(shí)針，主矢指向右下方，因的方向確定：因?yàn)橹骶仨槙r(shí)針，主矢指向右下方，因 此只有當(dāng)主矢向右側(cè)平移時(shí)才會(huì)和原來的力系等效此只有當(dāng)主矢向右側(cè)平移時(shí)才會(huì)和原來的力系等效 （可由力的平移定理逆推）（可由力的平移定理逆推） （2 2）合力與基線）合力與基線 的交的交 點(diǎn)到點(diǎn)到 點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離 ； OA O x R F 大小大小 方向方向 同同 R F O d m F M d o 3 . 3 4 .709 2355 R 求求 ： 或由合力矩定理及力的平移定理逆推：或由合力矩定理及力的平移定理逆推： x )(514. 3 8

25、4.70sin 0 m d x d Ry RyoRxo Roo xF FMFM FMM )()( )( )(514. 3 1 .670 2355 m F M x Ry o o M （3 3）合力作用線方程：）合力作用線方程： 設(shè)合力作用線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（設(shè)合力作用線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, yx, y），將合力滑移），將合力滑移 至此點(diǎn)，則合力對坐標(biāo)表遠(yuǎn)點(diǎn)的解析表達(dá)式為：至此點(diǎn)，則合力對坐標(biāo)表遠(yuǎn)點(diǎn)的解析表達(dá)式為： 將已求得的將已求得的 、 、 代入其中，得：代入其中，得： 整理得合力作用線方程為：整理得合力作用線方程為： 607.1232.923550 xy o M Rx F Ry F xFy

26、FFMM yxRoo )( xy1 .6709 .2322355 o M 由由2-3.3.2-3.3.（3 3）可知，平面任意力系平衡的幾）可知，平面任意力系平衡的幾 何條件為：何條件為： 即平面任意力系的主矢和主矩都等于零即平面任意力系的主矢和主矩都等于零. . 2-42-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 )()()( 22 RiOoyx FMMFFF 在解析坐標(biāo)系中，上述矢量可以表示為：在解析坐標(biāo)系中，上述矢量可以表示為： 1 1）平面任意力系平衡的幾何條件：）平面任意力系平衡的幾何條件： 0 R F 0 o M 2 2）平面任意力系平衡的解析條件：）平

27、面任意力系平衡的解析條件： 1 1、平面任意力系的平衡條件：、平面任意力系的平衡條件： 即，平面任意力系平衡的解析條件為：所有各分力在兩個(gè)即，平面任意力系平衡的解析條件為：所有各分力在兩個(gè) 任選的垂直坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各任選的垂直坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各 力對于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零力對于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零. . 上述平面任意力系平衡的解析條件，由于其等式左端上述平面任意力系平衡的解析條件，由于其等式左端 包含的力分量有已知的主動(dòng)力，也有未知的約束反力，因包含的力分量有已知的主動(dòng)力，也有未知的約束反力，因 此關(guān)系式中存在未知量，同時(shí)等式右端又

28、等于零，因此是此關(guān)系式中存在未知量，同時(shí)等式右端又等于零，因此是 標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)方程式，故稱為平面任意力系的平衡方程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)方程式，故稱為平面任意力系的平衡方程. . 因此，其平衡的解析條件為：因此，其平衡的解析條件為： 0)( iO FM 0 y F 0 x F 2 2、平面任意力系的平衡方程：、平面任意力系的平衡方程： 平面任意力系的平衡方程共有三種形式：平面任意力系的平衡方程共有三種形式： 2 2、二矩式：、二矩式： 0 0 0 B A x M M F 需附加條件才能成為力系需附加條件才能成為力系 的平衡條件：兩個(gè)矩心的的平衡條件：兩個(gè)矩心的 連線不得與投影軸垂直連線不得與投影軸垂直. （

29、證明略）（證明略） 0 0 0 C B A M M M 3 3、三矩式：、三矩式： 附加條件：三個(gè)矩心的連附加條件：三個(gè)矩心的連 線不得共線線不得共線.（證明略）（證明略） 1 1、基本式：、基本式： （最常用）（最常用） 0 0 0 B y x M F F 3 3、平面任意力系的兩種特殊情況：、平面任意力系的兩種特殊情況： 1 1）平面平行力系的平衡方程）平面平行力系的平衡方程 0 0 A y M F （各力不得與投影軸垂直）（各力不得與投影軸垂直） 2 2）平面匯交力系的平衡方程）平面匯交力系的平衡方程 0 0 y x F F （取匯交點(diǎn)為矩心）（取匯交點(diǎn)為矩心） A 例例2-42-4 已

30、知：圖示水平橫梁已知：圖示水平橫梁ABAB，A A端端 為固定鉸支座，為固定鉸支座，B B端為一滾動(dòng)支座端為一滾動(dòng)支座. . 梁的長為梁的長為4a4a，梁重，梁重P P，作用在梁的，作用在梁的 中點(diǎn)中點(diǎn)C.C.在梁的在梁的ACAC段上受均布載荷段上受均布載荷q q 作用，在梁的作用，在梁的BCBC段上受力偶作用，段上受力偶作用， 力偶矩力偶矩 . .qaM 求：求：支座支座 處的約束力處的約束力. .BA、 1 1、取、取 梁為受力體；梁為受力體； 2 2、畫受力圖；、畫受力圖； AB解：解： 4 4、求解：、求解： 0 x F 0 A M 0 y F 0 Ax F 4220 B FaMPaq

31、a a 31 42 B FPqa 20 AyB FqaPF 3 42 Ay P Fqa 3 3、建立坐標(biāo)系如圖，列平衡方程：、建立坐標(biāo)系如圖，列平衡方程： 補(bǔ)充：計(jì)算一般分布力系合力和合力矩的方法：補(bǔ)充：計(jì)算一般分布力系合力和合力矩的方法： 1 1、合力的計(jì)算：、合力的計(jì)算： 1 1）微元段上的合力計(jì)算：）微元段上的合力計(jì)算： 設(shè)一分布力系的集度為設(shè)一分布力系的集度為 q(xq(x) )，在，在x x處考慮處考慮dxdx微元段的微元段的 合力，由于合力，由于dxdx很小，很小， 因此可因此可 認(rèn)為認(rèn)為q(xq(x) )沒有變化，沒有變化， 這樣分這樣分 布力系在布力系在dxdx上的合力為上的合

32、力為: : 2 2）合力的計(jì)算：在整個(gè)跨度）合力的計(jì)算：在整個(gè)跨度l l范圍內(nèi)，合力應(yīng)為對上式范圍內(nèi)，合力應(yīng)為對上式 在在l l范圍內(nèi)進(jìn)行積分：范圍內(nèi)進(jìn)行積分： dxxqdF)( l dxxqF 0 )( )(xq dx xx y o l 2 2、合力矩的計(jì)算：、合力矩的計(jì)算： 1 1）取矩心）取矩心O O； 2 2）微元段）微元段dxdx上的合力對上的合力對O O點(diǎn)產(chǎn)生的矩：點(diǎn)產(chǎn)生的矩： 3 3）合力矩的計(jì)算：在整個(gè)跨度）合力矩的計(jì)算：在整個(gè)跨度l l范圍內(nèi)，合力矩應(yīng)為范圍內(nèi)，合力矩應(yīng)為 對上式在對上式在l l范圍內(nèi)進(jìn)行積分：范圍內(nèi)進(jìn)行積分： l o xdxxqM 0 )( - - 當(dāng)分布力

33、系是均布力系時(shí)，即當(dāng)分布力系是均布力系時(shí)，即q(xq(x)=q)=q（常數(shù)）：（常數(shù)）： 1 1、合力：由、合力：由 得：得： 2 2、合力矩：由、合力矩：由 得：得： l dxxqF 0 )( lll qldxqqdxdxxqF 000 )( l o xdxxqM 0 )( 2 0 2 00 2 1 2 1 )(qlqxqxdxxdxxqM l ll o xdxxqdM o )( 2-52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題 1 1、物體系：由兩個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)稱為物、物體系：由兩個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)稱為物 體系體系. 2 2、靜定問題：系統(tǒng)中所有未知力都能由

34、靜平衡、靜定問題：系統(tǒng)中所有未知力都能由靜平衡 方程加以確定的問題稱為靜定問方程加以確定的問題稱為靜定問 題題. 3 3、超靜定問題：系統(tǒng)中的未知力不能完全由靜、超靜定問題：系統(tǒng)中的未知力不能完全由靜 平衡方程加以確定的問題稱為平衡方程加以確定的問題稱為 超靜定問題超靜定問題. 4 4、物體系的平衡問題：、物體系的平衡問題： 1 1）理論力學(xué)的靜力學(xué)問題只處理靜定物體系）理論力學(xué)的靜力學(xué)問題只處理靜定物體系 的平衡問題，因?yàn)槌o定問題必須結(jié)合受力和變的平衡問題，因?yàn)槌o定問題必須結(jié)合受力和變 形之間的關(guān)系才能解決，而理論力學(xué)討論的物體形之間的關(guān)系才能解決，而理論力學(xué)討論的物體 只是剛體只是剛體

35、. 2 2）物體系的平衡方程：若系統(tǒng)中共有）物體系的平衡方程：若系統(tǒng)中共有n n個(gè)單個(gè)單 個(gè)剛體，而每個(gè)單個(gè)剛體所受的平面力系最復(fù)雜個(gè)剛體，而每個(gè)單個(gè)剛體所受的平面力系最復(fù)雜 的情況是平面任意力系，其的情況是平面任意力系，其擁有的獨(dú)立平衡方程擁有的獨(dú)立平衡方程 的個(gè)數(shù)最多是的個(gè)數(shù)最多是3 3個(gè)，因此物體系的獨(dú)立平衡方程個(gè)，因此物體系的獨(dú)立平衡方程 的總數(shù)不超過的總數(shù)不超過3n3n個(gè)個(gè). 3 3）物體系受力體的選?。嚎梢赃x取系統(tǒng)中的物體系受力體的選取：可以選取系統(tǒng)中的 單個(gè)剛體、也可以選取局部系統(tǒng)、也可以選取整單個(gè)剛體、也可以選取局部系統(tǒng)、也可以選取整 個(gè)系統(tǒng)作為受力體個(gè)系統(tǒng)作為受力體. 例例2

36、-52-5 求求: : A、E支座的約束力及支座的約束力及BD桿所受的力桿所受的力. . 已知已知: : 重力重力 , , DC=CE=CA=CB=2l，定滑輪半徑為定滑輪半徑為R，動(dòng)，動(dòng) 滑輪半徑為滑輪半徑為r，且且R=2r=l, ., . P 0 45 （問題（問題: : A處支座設(shè)計(jì)為處支座設(shè)計(jì)為 單面約束是否合單面約束是否合 理？）理？） 1 1、取整體為受力體；、取整體為受力體； 1 1）、畫受力圖；）、畫受力圖； 2 2）、建立平衡方程：）、建立平衡方程： 3 3）、求解：）、求解： 解解: : 0 E M PFA 8 25 0 x F 045cos 0 AEx FF 0 y F

37、045sin 0 AEy FPF PFEx 8 5 PFEy 8 13 0 2 5 245sin245cos 00 lPlFlF AA x y ),( AA yx （負(fù)號說明設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使用雙面導(dǎo)軌約束）（負(fù)號說明設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使用雙面導(dǎo)軌約束） 0 C M 02245cos 0 lFlFlF ExKDB PFDB 8 23 ( (拉拉) ) 2 2、取、取DCEDCE桿為受力體；桿為受力體； 1 1）、畫受力圖；）、畫受力圖； 2 2）、建立平衡方程：）、建立平衡方程： 3 3）、求解：）、求解： 例例2-62-6 已知：圖示結(jié)構(gòu)中，已知：圖示結(jié)構(gòu)中，a、 、 ；FaM FFF 21 求：求：A、D

38、處的約束力處的約束力. 解：解： 0 B M02 1 MaFaFCy 0 y F0 1 FFF CyBy 0 x F0 BxCx FF 1 1、取、取BC桿桿為受力體；為受力體； 1 1）、畫受力圖；）、畫受力圖； 2 2）、建立平衡方程：）、建立平衡方程： 3 3）、求解：）、求解： 由于三個(gè)方程、四個(gè)未知量，所以由于三個(gè)方程、四個(gè)未知量，所以 不能完全求解不能完全求解. . 022 2 aFaFaF ByBx 0 A M 0 x F 0 y F0 2 FFF ByAy FFF BxAx 2 1 FFAy 2 2、取、取AB桿為受力體；桿為受力體； 1 1）、畫受力圖；、畫受力圖； 2 2）

39、、建立平衡方程：）、建立平衡方程： 3 3）、求解：）、求解： 0 BxAx FF FF Cx 2 1 FFCy0 By F 0 x F0 CxDx FF 0 y F0 CyDy FF 0 D M 022aFaFM CxCyD FFDx 2 1 FFDy FaM D 3 3、取、取DC桿為受力體；桿為受力體； 1 1）、畫受力圖；、畫受力圖； 2 2）、建立平衡方程：）、建立平衡方程： 3 3）、求解：）、求解： 2-62-6 平面簡單桁架的內(nèi)力計(jì)算平面簡單桁架的內(nèi)力計(jì)算 1 1、桁架：一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成、桁架：一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成 的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何形狀不變

40、的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何形狀不變. . 2 2、節(jié)點(diǎn)：桁架中桿件的鉸鏈接頭、節(jié)點(diǎn)：桁架中桿件的鉸鏈接頭. . 1 1）各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內(nèi)；）各桿件為直桿，各桿軸線位于同一平面內(nèi)； 2 2）桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接；）桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接； 3 3）載荷作用在節(jié)點(diǎn)上，且位于桁架幾何平面內(nèi)；）載荷作用在節(jié)點(diǎn)上，且位于桁架幾何平面內(nèi)； 4 4）各桿件自重不計(jì)或平均分布在節(jié)點(diǎn)上）各桿件自重不計(jì)或平均分布在節(jié)點(diǎn)上. . 3 3、在工程中，對于平面桁架有以下幾點(diǎn)假設(shè)：、在工程中，對于平面桁架有以下幾點(diǎn)假設(shè)： 這種桁架稱為理想桁架，且桁架中每根這種桁架稱為理想桁架，且桁架中每根

41、桿件均為二力桿桿件均為二力桿. . 4 4、平面簡單桁架的內(nèi)力計(jì)算：、平面簡單桁架的內(nèi)力計(jì)算： 1 1）平面桁架屬于物體系，它是物體系中的一）平面桁架屬于物體系，它是物體系中的一 種特殊情況；種特殊情況； 2 2）理論力學(xué)只討論靜定的平面桁架；）理論力學(xué)只討論靜定的平面桁架； 3 3）靜定的平面桁架形式：）靜定的平面桁架形式： 基本靜定形式：以兩根桿通過一個(gè)節(jié)點(diǎn)連基本靜定形式：以兩根桿通過一個(gè)節(jié)點(diǎn)連 接，進(jìn)而組合形成的一個(gè)接，進(jìn)而組合形成的一個(gè) 封閉三角形；封閉三角形； 拓展靜定形式：在基本靜定形式的基礎(chǔ)上，逐拓展靜定形式：在基本靜定形式的基礎(chǔ)上，逐 步增加兩根桿和一個(gè)節(jié)點(diǎn)；步增加兩根桿和一個(gè)

42、節(jié)點(diǎn)； 4 4）平面簡單桁架的內(nèi)力：）平面簡單桁架的內(nèi)力： 平面簡單桁架內(nèi)力：桁架各桿內(nèi)部一部分給予平面簡單桁架內(nèi)力：桁架各桿內(nèi)部一部分給予 另外一部分的作用力；另外一部分的作用力； 這種平面靜定形式的桁架稱為平面簡單桁架；這種平面靜定形式的桁架稱為平面簡單桁架； 平面簡單桁架內(nèi)力與外力的關(guān)系：由于桿是二平面簡單桁架內(nèi)力與外力的關(guān)系：由于桿是二 力桿，因此桿的內(nèi)力大小等于桿所受到的外力，即力桿，因此桿的內(nèi)力大小等于桿所受到的外力，即 鉸鏈軸給予軸套的作用力，同時(shí)也等于軸套給予鉸鉸鏈軸給予軸套的作用力，同時(shí)也等于軸套給予鉸 鏈軸的反作用力鏈軸的反作用力. . 5 5）平面簡單桁架內(nèi)力的計(jì)算方法：）平面簡單桁架內(nèi)力的計(jì)算方法： 由于平面簡單桁架屬于物體系，因此凡是適用由于平面簡單桁架屬于物體系，因此凡是適用 于物體系求解的方法都適用于平面簡單桁架問題的于物體系求解的方法都適用于平面簡單桁架問題的 求解求解. .通常采用的方法是：節(jié)點(diǎn)法和截面法通常采用的方法是：節(jié)點(diǎn)法和截面法. . 節(jié)點(diǎn)法：依次取節(jié)點(diǎn)的鉸鏈軸為受力體，通過節(jié)點(diǎn)法：依次取節(jié)點(diǎn)的鉸鏈軸為受力體，通過 建立其所受的平面匯交力系的兩個(gè)平衡方程，求出建立其所受的平面匯交力系的兩個(gè)平衡方程，求出