最新數(shù)值分析試題A08.1.doc

1、中國石油大學(xué)(北京)2007-2017學(xué)年第一學(xué)期研究生期末考試試題 A(閉卷考試)課程名稱：數(shù)值分析注：計算題取小數(shù)點后四位、填空題(每空3分，共24分)(1)設(shè)A= _1 運，則A的奇異值為。 設(shè)x =0.00013753為真值xT =0.00013759的近似值，則x有位有效數(shù)字。 設(shè)數(shù)據(jù)x1,x2,x3的絕對誤差為0.002，那么x - x x3的絕對誤差約為1。( X),li( X),，ln( X)是以X0,Xi,|,Xn,(n _ 2)為節(jié)點的拉格朗日插值基函數(shù)，n則 (x； 2)lk(x) =。k =022nn 插值型求積公式0 x f(x)dx出瓦Akf(Xk)的求積系數(shù)之和送

2、Ak =。k -0k J0其中x2為權(quán)函數(shù)，n_ 1。(6)已知 x = (3,4)T, y = (0,1)T，求 Householder 陣 H 使 Hx = ky，其中 k R。1-2 )f (0fH=。的代數(shù)精度為。12 _數(shù)值求積公式f (x )dx f (-3 IL(8) 下面Matlab程序所求解的數(shù)學(xué)問題是 。(輸入向量x ,輸出S)x=input(輸入 x： x=);n=length(x);S=x (1);for i=2:nif x (i)S， S=x (i);else,continue;endendS2、(12分)(1)證明對任何初值x0 R，由迭代公式xk計=4 cosxk

3、,k = 0,1,2,.3所產(chǎn)生的序列xk廠亠都收斂于方程12 - 3x 2cosx二0的根。k k n三、(12分)(1 )用辛浦生公式計算積分4eXdx的近似值;0(2)若用復(fù)化辛浦生公式計算積分oedx，問至少應(yīng)將區(qū)間0，4多少等分才能保證計算結(jié)果有五位有效數(shù)字?四、(12分)已知數(shù)據(jù)表Xiywi-220.5-121030.5(1)構(gòu)造關(guān)于點集和權(quán)的正交函數(shù)組 0(x), 1(X)；(2)利用 o(x), i(X)擬合已知數(shù)據(jù)點，并求最小二乘擬合誤差五、(12分)利用Gauss變換陣，求矩陣A =-1LU分解。(要求寫出分解-2過程)六、(10分)已知求解線性方程組 Ax=b的分量迭代格

4、式屮41)=x/k)+ _(b -瓦 3乂心)-無 aijx(jk),aiij=1j=i(1 )試導(dǎo)出其矩陣迭代格式及迭代矩陣;(2)證明當(dāng)A是嚴格對角占優(yōu)陣，=1時此迭代格式收斂。七、(10分)用插值極小化方法求f(x)=e在1，2上的二次插值多項式 P2 ( x)，并在1，2上估計誤差。(已知 Chebyshev多項式 T3( t)的三個零點 t0 -0.8660, = 0,t2 = 0.8660)八、(8分)已知求解常微分方程初值問題y(x) = f(x y)的數(shù)值格式為ly(x) = yhyn 1 二 yn hf (Xn yn)2 f (XnYn )1f X n)y(x) = y問此數(shù)

5、值格式是幾階格式?中國石油大學(xué)（北京）2007-2017 學(xué)年第 一學(xué)期研究生期末考試試題標準答案 A （閉卷考試）課程名稱：數(shù)值分析填空題（每空3分，共24分）x22一4那一431(5)8(6) H =55或H =-553343455 一55 J(3)0.00633x的最小值求向量(8)(7) 32二、（12 分）記（x） =4 cosx，3則(x)=2 . sin x 。3（1）先考慮區(qū)間3，5，當(dāng)x 3,5時，2(x) = 4 cosx 3,5，3申（x）= -二sinx v二1。故對任意初值 x = 3,5，由迭代公式Xk i =4 2cosxk,k =0,1, 2,產(chǎn)生的序列 .二

6、都收斂于方程312 -3x 2cosx =0 的根。(6分)2（2）對任意初值X0 R，有X1 =4 cosx。，3,5，將此X1看成新的迭代初值,3則由（1）可知，由迭代公式2t 1=0Xk41=4 + C0Xk k,=0,1,產(chǎn)生的序列都收斂于方程12 -3x 2cosx二0的根。（2分）* 2 * 2 ： *Xk 1 -x(cosXk -cosx ) sin (Xk - x )33(3)*Xk -X2.蘆，.* sin ,limxk x3 k :Xk 1 一 XXkX1 =0m -2sin -1i*3(4分)此格式線性收斂性4A三、(12 分)(1)0exdxu(e0 4e2 同二 56

7、.1029(5分)(2)由f (x) =ex, f (x) =ex,5|R(Sn)|=| 上 a)h4f (4)( )|=|4 4 f(4)( )|28802880n4454 1;4 e 102880 n42(5分)n 14.0371至少將區(qū)間0, 4 15等分才能保證計算結(jié)果有五位有效數(shù)字(2分)四、（12分）（1）首先構(gòu)造關(guān)于點集和權(quán)的首一正交多項式i(x),i = 0,1,顯然 0(x) = 1，設(shè)(x)二 x a 0(x)，由1（x）與0（x）正交得a（0（x：）；x）廠子1故有：】（x） = X 1 o(4分)1/2191p1(x9 2(x 1)(4（2）設(shè) p2（x）0（x）印（x

8、），則=(咒(x),y)=9/2 = 9=(鴦(x),y)*0(x), 0(x)2 _4,a( ；(x), ；(x)2、 引丫 II2 -a；( l(x), 0(x) -a；( l(x), l(x)9 21 2-(4)2-(2)1=180.125(4分)五、（12,LZA(2)(3_12j0001f2 10010100 52,L2A(2) = 10 -21005100 013/5-10001 一1 0 01220010(3 分)513(3 分)13/5-1-21/13,A = LU(3513i六、(10 分)(1) aiixi(k+aiixi(k-( b-遲 aijx(jk41)n-z ajX

9、(k),i =1,2,|,nDx (k =DXi(k)( b Lx (k (U - D)x (k)(D - L)x(k =(1 一 )D U)x(k) bx(k1) =(D- L)(1 - )D U)x(k) (D- L)b迭代法的矩陣形 式x(k=B ,x(k) g迭代矩陣B . = (D - L)U (1-)D)(6 分)右端向量 g = (D-L)b(2)用=1時，迭代格式為 Gauss-seidel迭代格式，當(dāng) A嚴格對角 占優(yōu)時，Gauss-seidel 迭代格式收斂。(4分)七、(10 分)已知 Chebyshev多項式 T3(t)的三個零點 t0 =0.8660 = 0,t2 =

10、 0.8660,11作變量代換x (t 3),得三個插值節(jié)點Xk(tk 3), 0,1,222x0 = 1.0670,x1 = 1.5,x2 = 1.9330f(x ) =0.3440,f(Xi ) =0.2231,f(X2)=0.1447構(gòu)造差商表Xif(Xi)一階差商二階差商1.06700.34401.50000.2231-0.27921.93300.14470.18110.1133牛頓插值多項式P2(x) = 0.3440-0.2792(x-1.0670) 3.5863(x-1.0670)(x-1.5)0.1133X2 - 0.5701x 0.8234( )R2（x）二f(3)()6(X - X0 )( X - X1 )( X - X2 )e 1e 1乞E（2）3m