學(xué)案1任意角的概念和弧度制

1、名師伴你行 名師伴你行 返回目錄返回目錄 名師伴你行 返回目錄返回目錄 名師伴你行 （1 1）了解任意角的概念和弧度制的概念）了解任意角的概念和弧度制的概念. . （2 2）能進(jìn)行弧度與角度的互化）能進(jìn)行弧度與角度的互化. . 名師伴你行 返回目錄返回目錄 以選擇題或填空題的形式考查任意角的三角函數(shù)以選擇題或填空題的形式考查任意角的三角函數(shù) 的定義、半角或的定義、半角或 角所處的象限等問題角所處的象限等問題. n 1 返回目錄返回目錄 1.角的概念角的概念 角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置 旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形,按

2、旋轉(zhuǎn)的方向按旋轉(zhuǎn)的方向,可分可分 為為 、 、 .零角零角 正角正角 負(fù)角負(fù)角 名師伴你行 返回目錄返回目錄 2.象限角象限角 象限角象限角象限角象限角的集合表示的集合表示 第一象限角第一象限角 第二象限角第二象限角 第三象限角第三象限角 第四象限角第四象限角|k360+270k360+360,kZ |k360k360+90,kZ |k360+90k360+180,kZ |k360+180k360+270,kZ 名師伴你行 3.終邊落在坐標(biāo)軸上的角終邊落在坐標(biāo)軸上的角 角角終邊位置終邊位置角角的集合的集合 在在x x軸非負(fù)半軸上軸非負(fù)半軸上 在在x x軸非正半軸上軸非正半軸上 在在y y軸非負(fù)

3、半軸上軸非負(fù)半軸上 在在y y軸非正半軸上軸非正半軸上 在在x x軸上軸上 在在y y軸上軸上 在坐標(biāo)軸上在坐標(biāo)軸上 返回目錄返回目錄 |=k90,kZ |=k360,kZ |=k360+180,kN |=k360+90,kZ |=k360+270,kZ |=k180,kZ |=k180+90,kZ 名師伴你行 返回目錄返回目錄 4.終邊相同的角終邊相同的角 所有與角所有與角終邊相同的角終邊相同的角,連同角連同角在內(nèi)在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合可構(gòu)成一個(gè)集合 或或 . 5.角的度量角的度量 角度與弧度的換算關(guān)系角度與弧度的換算關(guān)系 360= rad;1= rad; 1 rad= . 6.扇形的弧長(zhǎng)、扇

4、形面積的公式扇形的弧長(zhǎng)、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,圓心角大小為圓心角大小為(rad),半徑為半徑為r,則則l= , 扇形的面積為扇形的面積為S= = . |r2 S=|=k360+,kZS=|=2k+,kZ 2 180180 ) ) 180180 ( ( |r lr 2 2 1 1 2 2 1 1 名師伴你行 返回目錄返回目錄 考點(diǎn)考點(diǎn)1 象限角、三角函數(shù)值符號(hào)的判斷象限角、三角函數(shù)值符號(hào)的判斷 (1)如果點(diǎn)如果點(diǎn)P(sincos,2cos)位于第三象限，試判斷角位于第三象限，試判斷角 所在的象限；所在的象限； (2)若若是第二象限角是第二象限角,則則 的符號(hào)是什么的符號(hào)

5、是什么? )cos(sin2 )sin(cos 返回目錄返回目錄 名師伴你行 【分析【分析】 (1)由點(diǎn)由點(diǎn)P所在的象限所在的象限,知道知道sincos,2cos 的符號(hào)的符號(hào),從而可求從而可求sin與與cos的符號(hào)的符號(hào). (2)由由是第二象限角是第二象限角,可求可求cos,sin2的范圍的范圍,進(jìn)而把進(jìn)而把 cos,sin2看作一個(gè)用弧度制的形式表示的角看作一個(gè)用弧度制的形式表示的角,并判斷其所在并判斷其所在u 的象限的象限,從而從而sin(cos),cos(sin2)的符號(hào)可定的符號(hào)可定. 返回目錄返回目錄 名師伴你行 【解析【解析】(1)點(diǎn)點(diǎn)P(sincos,2cos)位于第三象限位于

6、第三象限, sincos0,2cos0 cos0, 為第二象限角為第二象限角.即角即角在第二象限在第二象限. (2)2k+ 2k+(kZ), -1cos0, 4k+24k+2,-1sin20. sin(cos)0, 0, 的符號(hào)是負(fù)號(hào)的符號(hào)是負(fù)號(hào). 2 )cos(sin2 )sin(cos )cos(sin2 )sin(cos 返回目錄返回目錄 (1)熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)是關(guān)鍵熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)是關(guān)鍵. (2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)就是要判斷角所在的象判斷三角函數(shù)值的符號(hào)就是要判斷角所在的象 限限. (3)對(duì)于已知三角函數(shù)式的符號(hào)判斷角所在象限對(duì)于已知三角函數(shù)式的符

7、號(hào)判斷角所在象限,可可 先根據(jù)三角函數(shù)式的符號(hào)確定三角函數(shù)值的符號(hào)先根據(jù)三角函數(shù)式的符號(hào)確定三角函數(shù)值的符號(hào),再判斷再判斷 角所在象限角所在象限. 返回目錄返回目錄 名師伴你行 (1)已知已知為第三象限的角為第三象限的角,則則 所在的象限是所在的象限是 ( ) A.第一或第二象限第一或第二象限 B.第二或第三象限第二或第三象限 C.第一或第三象限第一或第三象限 D.第二或第四象限第二或第四象限 (2)若角若角的終邊與的終邊與 的終邊相同的終邊相同,則在則在0,2)內(nèi)終邊與內(nèi)終邊與 角的終邊相同的是角的終邊相同的是. 2 7 6 3 返回目錄返回目錄 名師伴你行 【答案【答案】(1)D (2)

8、21 34 , 21 20 , 7 2 【解析【解析】 (1)為第三象限角為第三象限角,2k+ 2k+ ,k+ k+,kZ;當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)為偶數(shù) 時(shí)在第二象限時(shí)在第二象限,k為奇數(shù)時(shí)在第四象限為奇數(shù)時(shí)在第四象限. 故應(yīng)選故應(yīng)選D. (2)= +2k(kZ), = + k(kZ). 依題意依題意,依次令依次令k=0,1,2得得 = 2 3 2 2 7 6 3 7 2 3 2 3 21 34 , 21 20 , 7 2 返回目錄返回目錄 名師伴你行 已知扇形的周長(zhǎng)為已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值 時(shí)時(shí),扇形面積最大扇形面積最大?并求出這個(gè)最大面積并

9、求出這個(gè)最大面積. 【分析【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式,可以把扇形的面積表可以把扇形的面積表 示成圓心角的三角函數(shù)示成圓心角的三角函數(shù),或表示成半徑的函數(shù)或表示成半徑的函數(shù),進(jìn)而求解進(jìn)而求解. 返回目錄返回目錄 名師伴你行 【解析】解法一【解析】解法一:設(shè)扇形的圓心角為設(shè)扇形的圓心角為(02),半徑為半徑為r,面積為面積為S, 弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為l,則有則有l(wèi)= r. 由題意有由題意有 r+2r=4,得得r= (cm), S= 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)= ,即即=2時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào),此時(shí)此時(shí)r= =1(cm). 故當(dāng)半徑故當(dāng)半徑r=1 cm,圓心角為圓心角為2弧度時(shí)弧度時(shí),扇形面

10、積最大扇形面積最大,其最大值為其最大值為 1 cm2. 2 4 )cm( 1 4 4 2 8 44 4 8 44 8 ) 2 4 ( 2 1 2 2 2 4 22 4 返回目錄返回目錄 解法二解法二:設(shè)扇形的圓心角為設(shè)扇形的圓心角為(02),半徑為半徑為r,面積為面積為S,則則 扇形的弧長(zhǎng)為扇形的弧長(zhǎng)為r,由題意有由題意有2r+r=4 = . S= r2= r2=2r-r2=-(r-1)2+1, r=1(cm)時(shí)時(shí),S有最大值有最大值1(cm2), 此時(shí)此時(shí)= =2(弧度弧度), 故當(dāng)半徑為故當(dāng)半徑為1 cm,圓心角為圓心角為2弧度時(shí)弧度時(shí),扇形面積最大扇形面積最大,其最大值其最大值 為為1

11、cm2. r 2r-4 2 1 2 1 r 2r-4 r 2r-4 名師伴你行 返回目錄返回目錄 名師伴你行 涉及弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算涉及弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算,可用的公式有角度和弧度可用的公式有角度和弧度 表示兩種表示兩種,其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易記好用其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易記好用.弧長(zhǎng)和扇弧長(zhǎng)和扇 形面積的核心公式是圓周長(zhǎng)公式形面積的核心公式是圓周長(zhǎng)公式C=2r和圓面積公式和圓面積公式 S=r2,當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)代替代替2時(shí)時(shí),即可得到一般弧長(zhǎng)即可得到一般弧長(zhǎng) 和扇形面積公式和扇形面積公式l=r,S= r2. 2 1 返回目錄返回目錄 名師伴你行 （1）已知扇形的周長(zhǎng)為）已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積為，面積為4 cm2，求扇形圓，求扇形圓 心角的弧度數(shù)；心角的弧度數(shù)； （2）已知一扇形的圓心角是）已知一扇形的圓心角是72，半徑等于，半徑等于20 cm，求，求 扇形的面積扇形的面積. 返回目錄返回目錄 名師伴你行 【解析【解析】 (1)設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為(02 rad舍去；舍去； 當(dāng)當(dāng)