理論力學第三章 剛體力學-3

1、3.53.5剛體定點轉(zhuǎn)動剛體定點轉(zhuǎn)動運動學運動學 1、運動分析：、運動分析： （1）剛體的定點轉(zhuǎn)動可以看成是任一瞬時軸的）剛體的定點轉(zhuǎn)動可以看成是任一瞬時軸的“定定”軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 動。動。 常平架常平架 在工程與生活中經(jīng)?？梢杂龅酱祟愡\動在工程與生活中經(jīng)常可以遇到此類運動 l 雷達跟蹤天線雷達跟蹤天線 l 陀螺儀中的轉(zhuǎn)子陀螺儀中的轉(zhuǎn)子 l 行星齒輪系中動錐齒輪行星齒輪系中動錐齒輪 l 玩具陀螺等玩具陀螺等 O （2）自由度）自由度 S=3 （4）本體極面，空間極面）本體極面，空間極面 空間極面：轉(zhuǎn)動瞬軸在空間空間極面：轉(zhuǎn)動瞬軸在空間(固定坐標固定坐標 系中系中)描繪的曲面。描繪的曲面。 本體極面：

2、轉(zhuǎn)動瞬軸在剛體內(nèi)本體極面：轉(zhuǎn)動瞬軸在剛體內(nèi)(動坐標動坐標 系中系中)描繪的曲面。描繪的曲面。 （3）運動學方程）運動學方程 t t t 潘索定理：潘索定理：本體極面在空間極面上作純滾動本體極面在空間極面上作純滾動 2、速度，加速度、速度，加速度 (1) 速度：速度：r 的位矢。點是剛體上一點相對固定 角速度。是剛體定點轉(zhuǎn)動的瞬時其中， or (2) 加速度：加速度： )(rr dt d a )(是向軸加速度。 是轉(zhuǎn)動加速度。其中， r r dt d (3)剛體作一般運動時，將運動分解為剛體隨基點剛體作一般運動時，將運動分解為剛體隨基點A的平動的平動 剛體繞基點剛體繞基點A的的“定點定點”轉(zhuǎn)動，

3、則剛體上任一點轉(zhuǎn)動，則剛體上任一點P的速度為的速度為 r A 加速度為加速度為 )(rr dt d aa A 的位矢點相對于基點是AP r 3、剛體繞兩相交軸轉(zhuǎn)動的合成、剛體繞兩相交軸轉(zhuǎn)動的合成 剛體繞某點剛體繞某點O作定點轉(zhuǎn)動，相當于剛體繞某軸作作定點轉(zhuǎn)動，相當于剛體繞某軸作“定軸定軸” 轉(zhuǎn)動，而該軸又繞另一固定軸轉(zhuǎn)動，這兩個軸相交于轉(zhuǎn)動，而該軸又繞另一固定軸轉(zhuǎn)動，這兩個軸相交于O點。點。 x y z o 1 2 結(jié)論：當剛體繞兩個相交軸轉(zhuǎn)動時，剛體的瞬時角速結(jié)論：當剛體繞兩個相交軸轉(zhuǎn)動時，剛體的瞬時角速 度等于它分別繞這兩個軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和。度等于它分別繞這兩個軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和

4、。 21 的方向。方向沿轉(zhuǎn)動瞬軸，即其中， 21 【例例9 9】半徑為半徑為R R的圓盤以不變的角速度的圓盤以不變的角速度 繞水平軸繞水平軸ABAB轉(zhuǎn)動，而轉(zhuǎn)動，而 軸軸ABAB又以不變的角速度又以不變的角速度 繞豎直軸繞豎直軸CDCD轉(zhuǎn)動，求圓盤水平直轉(zhuǎn)動，求圓盤水平直 徑一端徑一端M M點的速度和加速度。點的速度和加速度。 1 2 解：建立平面轉(zhuǎn)動坐標系解：建立平面轉(zhuǎn)動坐標系oxyzoxyz iRkR jRkir M 21 21 ox y z M A B C D 1 2 軸轉(zhuǎn)動平面繞方向不變，zxyz rr dt d aM ji dt id dt id dt kid dt d 2121 1

5、 21 jRaM 2 2 2 1 0 【例例10】高為高為h，頂角為，頂角為2的圓錐在一平面上滾動而的圓錐在一平面上滾動而 不滑動，如已知此錐以勻角速度不滑動，如已知此錐以勻角速度繞繞 軸轉(zhuǎn)動，試求軸轉(zhuǎn)動，試求 圓錐底面上圓錐底面上A點的轉(zhuǎn)動加速度點的轉(zhuǎn)動加速度a1和向軸加速度和向軸加速度a2的量值。的量值。 解解 : 分析 分析 )(rr dt d a 總總 總 是向軸加速度。 是轉(zhuǎn)動加速度。其中， 總總 總 )(r r dt d 21 總 的方向。方向沿轉(zhuǎn)動瞬軸，即其中， 總21 k 2 總 z x y o 1 2 A h o 1、在圓錐上建立、在圓錐上建立o-xyz坐標系，母線坐標系，母

6、線 與與ox重合，與圓錐一起運動。重合，與圓錐一起運動。 ictgictg 2總 k h i h r 2sin cos 2cos cos 2、求、求 總 總 z x y o 1 2 A h 軸轉(zhuǎn)動平面繞方向不變，zxyz r dt d a 總 1 jctg ik dt id ctg dt i d ctgictg dt d dt d 2 )( 總 其中， i h ctgk h ctg k h i h jctgr dt d a 2sin cos 2cos cos )2sin cos 2cos cos ( 22 2 1 總 3、求、求 （轉(zhuǎn)動加速度（轉(zhuǎn)動加速度 ） 1 a )2sin2(cos si

7、n 2sin cos 2cos cos 2 22 ik h i h ctgk h ctg sin 2sin2cos) sin ( 2 222 2 1 hh a 大?。?sin 2 1 h a 所以： )( 2 ra 總總 3、求、求 （向軸加速度（向軸加速度 ） 2 a jh j h j h ctg k h i h ictgr cos2 cossin2 cossin cos 2sin cos )2sin cos 2cos cos ( 總 其中， kh jhictgra sin cos 2 )cos2()()( 2 2 2 總總 sin cos 2 2 2 22 haa 所以： z軸不動，xy平

8、面繞z軸轉(zhuǎn)動 1 【例例11】 軸轉(zhuǎn)動平面繞方向不變，zxyz 角 A 剛體的一般運動 【例例12】 2 1 11 22 22 1 11 2 sincos sincos 2 sinsincoscos A aarr VV iililk RR VV jkjklilk RR VlVV l lijlk RRR 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 coscos 2 sinsin l R lV R lV l R V a 3.6 3.6 歐拉角歐拉角 O y xN Nz eee 3.7 轉(zhuǎn)動慣量 一、定點轉(zhuǎn)動剛體的動量矩一、定點轉(zhuǎn)動剛體的動量矩 設設 為剛體上任一質(zhì)點，該質(zhì)點對定點為剛體上任一質(zhì)點，

9、該質(zhì)點對定點 o o的動量矩為的動量矩為 i P iii rm 整個剛體對同一點整個剛體對同一點o o的動量矩為的動量矩為 1 1 n iii i n iii i Jrm m rr B CB C AC B AA 其中， 2 1 n iiii i Jmrrr (1) o z x y i r i i 動坐標系oxyz 下面求動量矩下面求動量矩 的分量表達式的分量表達式 J 2 1 n iiii i Jmrrr iiii xyz rxiy jz k ijk xxxxxyyxzz yyxxyyyyzz zzxxzyyzzz JIII JIII JIII 其中， 22 1 22 1 22 1 n xxi

10、ii i n yyiii i n zziii i Imyz Imzx Imxy 1 1 1 n xyyxiii i n yzzyiii i n xzzxiii i IIm x y IIm y z IIm x z 以 及 物理意義？ xxxxyxzx yyxyyyzy zzxzyzzz JIII JIII JIII 二、定點轉(zhuǎn)動剛體的動能二、定點轉(zhuǎn)動剛體的動能 2 11 1 11 22 1 2 nn iiiii ii n iii i Tmm mr 1 222 11 22 1 222 2 n iii i xxxyyyzzzyzyzzxzxxyxy TrmJ IIIIII B CB C AA 其中，

11、 1 2 xxxyxzx xyzyxyyyzy zxzyzzz III TIII III 三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動慣量：描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量。描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量。 2 iid mI 1 1、對定軸轉(zhuǎn)動慣性的大小用轉(zhuǎn)動慣量描述，對定軸轉(zhuǎn)動慣性的大小用轉(zhuǎn)動慣量描述， 其定義為：其定義為： 2 Id dm 或 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑 2 I Imkk m 即轉(zhuǎn)動慣量即轉(zhuǎn)動慣量=各質(zhì)點的質(zhì)量與該點到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積各質(zhì)點的質(zhì)量與該點到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積 之和。轉(zhuǎn)動慣量由剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置決定。之和。轉(zhuǎn)動慣量由剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置決定。 剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對定軸

12、的轉(zhuǎn)動慣量 等效質(zhì)點對定軸的轉(zhuǎn)動慣量等效質(zhì)點對定軸的轉(zhuǎn)動慣量 2 2 1 mRI 平行軸定理平行軸定理 2 mdII c 敘述：剛體對某一軸線的轉(zhuǎn)動慣量，等于對通過質(zhì)敘述：剛體對某一軸線的轉(zhuǎn)動慣量，等于對通過質(zhì) 心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量與兩心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量與兩 軸間垂直距離平方的乘積。軸間垂直距離平方的乘積。 常用到的結(jié)果：常用到的結(jié)果： 半徑為半徑為R R的均質(zhì)圓盤繞過圓心且垂直圓面的轉(zhuǎn)動慣量是：的均質(zhì)圓盤繞過圓心且垂直圓面的轉(zhuǎn)動慣量是： 長為長為 的均質(zhì)細桿繞過中心且與桿垂直的均質(zhì)細桿繞過中心且與桿垂直 的軸線的轉(zhuǎn)動慣量：的軸線的轉(zhuǎn)動慣量： 2 12 1 mlI

13、 l xxxyxz yxyyyz zxzyzz III III III 慣量張量： 1 , xxyyzz III其中其中 叫做軸轉(zhuǎn)動慣量，叫做軸轉(zhuǎn)動慣量， , yzzxxy III叫做慣量積叫做慣量積 2 2、對定點轉(zhuǎn)動慣性的大小，由于轉(zhuǎn)軸的方向不斷變對定點轉(zhuǎn)動慣性的大小，由于轉(zhuǎn)軸的方向不斷變 化，要用一個張量才能描述?；?，要用一個張量才能描述。 22 22 22 xx yy zz Iyzdm Izxdm Ixydm xyyx yzzy xzzx IIxydm IIyzdm IIxzdm 和和 o x y z x y z P(dm) 注意：若選動坐標系系，慣量系數(shù)均為常數(shù)注意：若選動坐標系系，

14、慣量系數(shù)均為常數(shù) (2)(2)慣量橢球慣量橢球用幾何方法求剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量用幾何方法求剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量 o z x y l Q Q點的坐標為：點的坐標為： xR yR zR R x R y R z 代入*得 表示為矩陣形式：表示為矩陣形式： zzzyzx yzyyyx xzxyxx III III III I * 222 2221 xxyyzzyzzxxy I xI yI zI yzI zxI xy 橢球面方程橢球面方程 中心慣量橢球：中心慣量橢球：剛體的質(zhì)心剛體的質(zhì)心(或重心或重心)在在O點點 1 R I 計算出剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量計算出剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量 I 用幾何方法計

15、算剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量如下：若用幾何方法計算剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量如下：若 已知橢球面方程，在動系已知橢球面方程，在動系oxyz中描出橢球面，某瞬時中描出橢球面，某瞬時 軸與橢球面的交點軸與橢球面的交點Q到到O點的距離即為點的距離即為R，再根據(jù)，再根據(jù) z o x y l Q (3) (3) 慣量主軸及其求法慣量主軸及其求法( (適當選擇坐標系消去慣量積適當選擇坐標系消去慣量積) ) 慣量主軸：使慣量積為零的坐標系慣量主軸：使慣量積為零的坐標系(慣量橢球的慣量橢球的 三條相互垂直的主軸三條相互垂直的主軸) 0 zxyzxy III 則橢球面方程變?yōu)椋簞t橢球面方程變?yōu)椋?1 2 3 2 2

16、 2 1 zIyIxI 這里 , , , 321zzyyxx IIIIII 主慣量剛體對慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量主慣量剛體對慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量 321 , ,III 注意：注意：1、剛體作定點轉(zhuǎn)動時，總有三個慣量主軸存在，、剛體作定點轉(zhuǎn)動時，總有三個慣量主軸存在， 且互相垂直；且互相垂直； 2、過質(zhì)心的三個慣量主軸叫中心慣量主軸。、過質(zhì)心的三個慣量主軸叫中心慣量主軸。 慣量主軸坐標系中的若干物理量的簡化表達式慣量主軸坐標系中的若干物理量的簡化表達式 慣量張量：慣量張量： 3 2 1 00 00 00 I I I I 動量矩：動量矩： z y x z y x I I I J J J 3 2 1 00

17、00 00 動能：動能： z y x zyx I I I T 3 2 1 00 00 00 2 1 kIjIiIJ zyx 321 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 zyx IIIT 慣量主軸的求法慣量主軸的求法(均質(zhì)剛體均質(zhì)剛體) 幾何對稱軸是慣量主軸幾何對稱軸是慣量主軸 幾何對稱面的垂線是慣量主軸幾何對稱面的垂線是慣量主軸 o x z y M M 舉例：半徑為舉例：半徑為r，高為，高為h的均勻圓柱體的均勻圓柱體 證明證明：(1) (1) 幾何對稱軸是慣量主軸幾何對稱軸是慣量主軸 取取z軸為對稱軸，軸為對稱軸，zyxMzyxM, 0 0 1 1 n i iiizx n i ii

18、izy xzmI yzmI z軸為慣量主軸軸為慣量主軸 (2) (2) 幾何對稱軸的垂線是慣量主軸幾何對稱軸的垂線是慣量主軸 取對稱面取對稱面oyzoyz， zyxMzyxM, 0 0 1 1 n i iiizx n i iiixy xzmI yxmI x軸為慣量主軸軸為慣量主軸 若分別取對稱面若分別取對稱面oxy和對稱面和對稱面oxz，同理可證得相應的，同理可證得相應的 垂線垂線z軸和軸和y軸均為慣量主軸。軸均為慣量主軸。 o x z y 說明：說明：(1) 若若 ，則為旋轉(zhuǎn)橢球，則為旋轉(zhuǎn)橢球， 則在則在xy平面內(nèi)的各軸都是主軸；平面內(nèi)的各軸都是主軸； (2) 若若 ，橢球變?yōu)榍蝮w，橢球變?yōu)?/p>

19、球體， 所有通過所有通過O點的軸都是主軸。點的軸都是主軸。 yyxx II zzyyxx III 【例例1313】均勻長方形薄片的邊長為均勻長方形薄片的邊長為 與與 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 ，求，求 此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。 a b m 設薄片的厚度為設薄片的厚度為t,t,密度為密度為 22 22Iy dmytudy (1) 其中，其中， 22 22 sinsin sinsin ayabuay u aa ab (2) 將將(2)(2)式代入式代入(1)(1)式得式得 22 sin 22233 0 1 2sin sin sin6 a ab Ity

20、ay dyt aba a x y o u y dy a b 解：解：方法一方法一 直接用定積分計算直接用定積分計算 動坐標系動坐標系oxyz 22 sin b ab 得得 22 22 1 6 a b Im ab 方法二方法二 利用利用 計算計算 x y o dy a b dx 222 222 xxyyzzyzzxxy IIIIIII 2222 cos, , =0 ab abab 23 0 1 3 b xx Iyt adytab 23 0 1 3 a yy Ixt bdxta b 22 00 1 4 ba xy Ixy t dxdyta b 得 22 22 1 6 a b Im ab 方法三方法

21、三 取慣量主軸為坐標軸取慣量主軸為坐標軸 x y o dy a b dx 22 12 III 23 2 1 2 1 12 b b Iyt adytab 23 2 2 2 1 12 a a Ixt bdxta b 得 22 22 1 6 a b Im ab 結(jié)論：結(jié)論：取慣量主軸為坐標軸來計算薄片繞對角線轉(zhuǎn)動取慣量主軸為坐標軸來計算薄片繞對角線轉(zhuǎn)動 時的轉(zhuǎn)動慣量最簡便。時的轉(zhuǎn)動慣量最簡便。 由剛體對定點由剛體對定點o的動量矩定理的動量矩定理 M dt Jd (1) 建立剛聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標系建立剛聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標系oxyz kIjIiIJ zyx 321 (2) JkJjJiJJ dt

22、 Jd dt Jd zyx (3) kMjMiMM kji zyx zyx 其中，(4) 3.83.8剛體定點轉(zhuǎn)動剛體定點轉(zhuǎn)動動力學動力學 將將(3),(4)代人代人(1)得歐拉動力學方程得歐拉動力學方程 zyxz yxzy xzyx MIII MIII MIII 213 132 321 聯(lián)合歐拉運動學方程聯(lián)合歐拉運動學方程 cos sincossin cossinsin z y x (5) (6) 聯(lián)立方程聯(lián)立方程(5),(6) 消去消去 得到關(guān)于得到關(guān)于 的的 二階常微分方程，求解三個微分方程的剛體定點轉(zhuǎn)動二階常微分方程，求解三個微分方程的剛體定點轉(zhuǎn)動 的運動學方程，從而確定剛體的運動規(guī)律。的運動學方程，從而確定剛體的運動規(guī)律。 zyx , 定點轉(zhuǎn)動剛體的機械能守恒定點轉(zhuǎn)動剛體的機械能守恒 條件：只有保守力做功 EVT 選慣量主軸坐標系選慣量主軸坐標系 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 zyx IIIT 作業(yè)作業(yè)-5 定點轉(zhuǎn)動定點轉(zhuǎn)動 P177 3.20；3.22；3.23（選作（選作 ） 1、剛體的各種運動 第三章 小 結(jié) 運動的特點：運動的特點： 1 1）剛體的質(zhì)心始終位于同一個平面上。）剛體的質(zhì)心始終位于同一個平面上。 2 2）剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上各點具有完全相）剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上各點具有完全相 同運動狀態(tài)。同運動狀態(tài)。 3 3