理論力學(xué)第三章 剛體力學(xué)-3

1、3.53.5剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué) 1、運(yùn)動分析：、運(yùn)動分析： （1）剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動可以看成是任一瞬時軸的）剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動可以看成是任一瞬時軸的“定定”軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 動。動。 常平架常平架 在工程與生活中經(jīng)?？梢杂龅酱祟愡\(yùn)動在工程與生活中經(jīng)?？梢杂龅酱祟愡\(yùn)動 l 雷達(dá)跟蹤天線雷達(dá)跟蹤天線 l 陀螺儀中的轉(zhuǎn)子陀螺儀中的轉(zhuǎn)子 l 行星齒輪系中動錐齒輪行星齒輪系中動錐齒輪 l 玩具陀螺等玩具陀螺等 O （2）自由度）自由度 S=3 （4）本體極面，空間極面）本體極面，空間極面 空間極面：轉(zhuǎn)動瞬軸在空間空間極面：轉(zhuǎn)動瞬軸在空間(固定坐標(biāo)固定坐標(biāo) 系中系中)描繪的曲面。描繪的曲面。 本體極面：

2、轉(zhuǎn)動瞬軸在剛體內(nèi)本體極面：轉(zhuǎn)動瞬軸在剛體內(nèi)(動坐標(biāo)動坐標(biāo) 系中系中)描繪的曲面。描繪的曲面。 （3）運(yùn)動學(xué)方程）運(yùn)動學(xué)方程 t t t 潘索定理：潘索定理：本體極面在空間極面上作純滾動本體極面在空間極面上作純滾動 2、速度，加速度、速度，加速度 (1) 速度：速度：r 的位矢。點(diǎn)是剛體上一點(diǎn)相對固定 角速度。是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的瞬時其中， or (2) 加速度：加速度： )(rr dt d a )(是向軸加速度。 是轉(zhuǎn)動加速度。其中， r r dt d (3)剛體作一般運(yùn)動時，將運(yùn)動分解為剛體隨基點(diǎn)剛體作一般運(yùn)動時，將運(yùn)動分解為剛體隨基點(diǎn)A的平動的平動 剛體繞基點(diǎn)剛體繞基點(diǎn)A的的“定點(diǎn)定點(diǎn)”轉(zhuǎn)動，

3、則剛體上任一點(diǎn)轉(zhuǎn)動，則剛體上任一點(diǎn)P的速度為的速度為 r A 加速度為加速度為 )(rr dt d aa A 的位矢點(diǎn)相對于基點(diǎn)是AP r 3、剛體繞兩相交軸轉(zhuǎn)動的合成、剛體繞兩相交軸轉(zhuǎn)動的合成 剛體繞某點(diǎn)剛體繞某點(diǎn)O作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，相當(dāng)于剛體繞某軸作作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，相當(dāng)于剛體繞某軸作“定軸定軸” 轉(zhuǎn)動，而該軸又繞另一固定軸轉(zhuǎn)動，這兩個軸相交于轉(zhuǎn)動，而該軸又繞另一固定軸轉(zhuǎn)動，這兩個軸相交于O點(diǎn)。點(diǎn)。 x y z o 1 2 結(jié)論：當(dāng)剛體繞兩個相交軸轉(zhuǎn)動時，剛體的瞬時角速結(jié)論：當(dāng)剛體繞兩個相交軸轉(zhuǎn)動時，剛體的瞬時角速 度等于它分別繞這兩個軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和。度等于它分別繞這兩個軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和

4、。 21 的方向。方向沿轉(zhuǎn)動瞬軸，即其中， 21 【例例9 9】半徑為半徑為R R的圓盤以不變的角速度的圓盤以不變的角速度 繞水平軸繞水平軸ABAB轉(zhuǎn)動，而轉(zhuǎn)動，而 軸軸ABAB又以不變的角速度又以不變的角速度 繞豎直軸繞豎直軸CDCD轉(zhuǎn)動，求圓盤水平直轉(zhuǎn)動，求圓盤水平直 徑一端徑一端M M點(diǎn)的速度和加速度。點(diǎn)的速度和加速度。 1 2 解：建立平面轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系解：建立平面轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系oxyzoxyz iRkR jRkir M 21 21 ox y z M A B C D 1 2 軸轉(zhuǎn)動平面繞方向不變，zxyz rr dt d aM ji dt id dt id dt kid dt d 2121 1

5、 21 jRaM 2 2 2 1 0 【例例10】高為高為h，頂角為，頂角為2的圓錐在一平面上滾動而的圓錐在一平面上滾動而 不滑動，如已知此錐以勻角速度不滑動，如已知此錐以勻角速度繞繞 軸轉(zhuǎn)動，試求軸轉(zhuǎn)動，試求 圓錐底面上圓錐底面上A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動加速度點(diǎn)的轉(zhuǎn)動加速度a1和向軸加速度和向軸加速度a2的量值。的量值。 解解 : 分析 分析 )(rr dt d a 總總 總 是向軸加速度。 是轉(zhuǎn)動加速度。其中， 總總 總 )(r r dt d 21 總 的方向。方向沿轉(zhuǎn)動瞬軸，即其中， 總21 k 2 總 z x y o 1 2 A h o 1、在圓錐上建立、在圓錐上建立o-xyz坐標(biāo)系，母線坐標(biāo)系，母

6、線 與與ox重合，與圓錐一起運(yùn)動。重合，與圓錐一起運(yùn)動。 ictgictg 2總 k h i h r 2sin cos 2cos cos 2、求、求 總 總 z x y o 1 2 A h 軸轉(zhuǎn)動平面繞方向不變，zxyz r dt d a 總 1 jctg ik dt id ctg dt i d ctgictg dt d dt d 2 )( 總 其中， i h ctgk h ctg k h i h jctgr dt d a 2sin cos 2cos cos )2sin cos 2cos cos ( 22 2 1 總 3、求、求 （轉(zhuǎn)動加速度（轉(zhuǎn)動加速度 ） 1 a )2sin2(cos si

7、n 2sin cos 2cos cos 2 22 ik h i h ctgk h ctg sin 2sin2cos) sin ( 2 222 2 1 hh a 大?。?sin 2 1 h a 所以： )( 2 ra 總總 3、求、求 （向軸加速度（向軸加速度 ） 2 a jh j h j h ctg k h i h ictgr cos2 cossin2 cossin cos 2sin cos )2sin cos 2cos cos ( 總 其中， kh jhictgra sin cos 2 )cos2()()( 2 2 2 總總 sin cos 2 2 2 22 haa 所以： z軸不動，xy平

8、面繞z軸轉(zhuǎn)動 1 【例例11】 軸轉(zhuǎn)動平面繞方向不變，zxyz 角 A 剛體的一般運(yùn)動 【例例12】 2 1 11 22 22 1 11 2 sincos sincos 2 sinsincoscos A aarr VV iililk RR VV jkjklilk RR VlVV l lijlk RRR 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 coscos 2 sinsin l R lV R lV l R V a 3.6 3.6 歐拉角歐拉角 O y xN Nz eee 3.7 轉(zhuǎn)動慣量 一、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的動量矩一、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的動量矩 設(shè)設(shè) 為剛體上任一質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)為剛體上任一質(zhì)點(diǎn)，

9、該質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn) o o的動量矩為的動量矩為 i P iii rm 整個剛體對同一點(diǎn)整個剛體對同一點(diǎn)o o的動量矩為的動量矩為 1 1 n iii i n iii i Jrm m rr B CB C AC B AA 其中， 2 1 n iiii i Jmrrr (1) o z x y i r i i 動坐標(biāo)系oxyz 下面求動量矩下面求動量矩 的分量表達(dá)式的分量表達(dá)式 J 2 1 n iiii i Jmrrr iiii xyz rxiy jz k ijk xxxxxyyxzz yyxxyyyyzz zzxxzyyzzz JIII JIII JIII 其中， 22 1 22 1 22 1 n xxi

10、ii i n yyiii i n zziii i Imyz Imzx Imxy 1 1 1 n xyyxiii i n yzzyiii i n xzzxiii i IIm x y IIm y z IIm x z 以 及 物理意義？ xxxxyxzx yyxyyyzy zzxzyzzz JIII JIII JIII 二、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的動能二、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的動能 2 11 1 11 22 1 2 nn iiiii ii n iii i Tmm mr 1 222 11 22 1 222 2 n iii i xxxyyyzzzyzyzzxzxxyxy TrmJ IIIIII B CB C AA 其中，

11、 1 2 xxxyxzx xyzyxyyyzy zxzyzzz III TIII III 三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動慣量：描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量。描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量。 2 iid mI 1 1、對定軸轉(zhuǎn)動慣性的大小用轉(zhuǎn)動慣量描述，對定軸轉(zhuǎn)動慣性的大小用轉(zhuǎn)動慣量描述， 其定義為：其定義為： 2 Id dm 或 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑 2 I Imkk m 即轉(zhuǎn)動慣量即轉(zhuǎn)動慣量=各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積 之和。轉(zhuǎn)動慣量由剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置決定。之和。轉(zhuǎn)動慣量由剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置決定。 剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對定軸

12、的轉(zhuǎn)動慣量 等效質(zhì)點(diǎn)對定軸的轉(zhuǎn)動慣量等效質(zhì)點(diǎn)對定軸的轉(zhuǎn)動慣量 2 2 1 mRI 平行軸定理平行軸定理 2 mdII c 敘述：剛體對某一軸線的轉(zhuǎn)動慣量，等于對通過質(zhì)敘述：剛體對某一軸線的轉(zhuǎn)動慣量，等于對通過質(zhì) 心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量與兩心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量與兩 軸間垂直距離平方的乘積。軸間垂直距離平方的乘積。 常用到的結(jié)果：常用到的結(jié)果： 半徑為半徑為R R的均質(zhì)圓盤繞過圓心且垂直圓面的轉(zhuǎn)動慣量是：的均質(zhì)圓盤繞過圓心且垂直圓面的轉(zhuǎn)動慣量是： 長為長為 的均質(zhì)細(xì)桿繞過中心且與桿垂直的均質(zhì)細(xì)桿繞過中心且與桿垂直 的軸線的轉(zhuǎn)動慣量：的軸線的轉(zhuǎn)動慣量： 2 12 1 mlI

13、 l xxxyxz yxyyyz zxzyzz III III III 慣量張量： 1 , xxyyzz III其中其中 叫做軸轉(zhuǎn)動慣量，叫做軸轉(zhuǎn)動慣量， , yzzxxy III叫做慣量積叫做慣量積 2 2、對定點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣性的大小，由于轉(zhuǎn)軸的方向不斷變對定點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣性的大小，由于轉(zhuǎn)軸的方向不斷變 化，要用一個張量才能描述?；?，要用一個張量才能描述。 22 22 22 xx yy zz Iyzdm Izxdm Ixydm xyyx yzzy xzzx IIxydm IIyzdm IIxzdm 和和 o x y z x y z P(dm) 注意：若選動坐標(biāo)系系，慣量系數(shù)均為常數(shù)注意：若選動坐標(biāo)系系，

14、慣量系數(shù)均為常數(shù) (2)(2)慣量橢球慣量橢球用幾何方法求剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量用幾何方法求剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量 o z x y l Q Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：點(diǎn)的坐標(biāo)為： xR yR zR R x R y R z 代入*得 表示為矩陣形式：表示為矩陣形式： zzzyzx yzyyyx xzxyxx III III III I * 222 2221 xxyyzzyzzxxy I xI yI zI yzI zxI xy 橢球面方程橢球面方程 中心慣量橢球：中心慣量橢球：剛體的質(zhì)心剛體的質(zhì)心(或重心或重心)在在O點(diǎn)點(diǎn) 1 R I 計算出剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量計算出剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量 I 用幾何方法計

15、算剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量如下：若用幾何方法計算剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量如下：若 已知橢球面方程，在動系已知橢球面方程，在動系oxyz中描出橢球面，某瞬時中描出橢球面，某瞬時 軸與橢球面的交點(diǎn)軸與橢球面的交點(diǎn)Q到到O點(diǎn)的距離即為點(diǎn)的距離即為R，再根據(jù)，再根據(jù) z o x y l Q (3) (3) 慣量主軸及其求法慣量主軸及其求法( (適當(dāng)選擇坐標(biāo)系消去慣量積適當(dāng)選擇坐標(biāo)系消去慣量積) ) 慣量主軸：使慣量積為零的坐標(biāo)系慣量主軸：使慣量積為零的坐標(biāo)系(慣量橢球的慣量橢球的 三條相互垂直的主軸三條相互垂直的主軸) 0 zxyzxy III 則橢球面方程變?yōu)椋簞t橢球面方程變?yōu)椋?1 2 3 2 2

16、 2 1 zIyIxI 這里 , , , 321zzyyxx IIIIII 主慣量剛體對慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量主慣量剛體對慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量 321 , ,III 注意：注意：1、剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，總有三個慣量主軸存在，、剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，總有三個慣量主軸存在， 且互相垂直；且互相垂直； 2、過質(zhì)心的三個慣量主軸叫中心慣量主軸。、過質(zhì)心的三個慣量主軸叫中心慣量主軸。 慣量主軸坐標(biāo)系中的若干物理量的簡化表達(dá)式慣量主軸坐標(biāo)系中的若干物理量的簡化表達(dá)式 慣量張量：慣量張量： 3 2 1 00 00 00 I I I I 動量矩：動量矩： z y x z y x I I I J J J 3 2 1 00

17、00 00 動能：動能： z y x zyx I I I T 3 2 1 00 00 00 2 1 kIjIiIJ zyx 321 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 zyx IIIT 慣量主軸的求法慣量主軸的求法(均質(zhì)剛體均質(zhì)剛體) 幾何對稱軸是慣量主軸幾何對稱軸是慣量主軸 幾何對稱面的垂線是慣量主軸幾何對稱面的垂線是慣量主軸 o x z y M M 舉例：半徑為舉例：半徑為r，高為，高為h的均勻圓柱體的均勻圓柱體 證明證明：(1) (1) 幾何對稱軸是慣量主軸幾何對稱軸是慣量主軸 取取z軸為對稱軸，軸為對稱軸，zyxMzyxM, 0 0 1 1 n i iiizx n i ii

18、izy xzmI yzmI z軸為慣量主軸軸為慣量主軸 (2) (2) 幾何對稱軸的垂線是慣量主軸幾何對稱軸的垂線是慣量主軸 取對稱面取對稱面oyzoyz， zyxMzyxM, 0 0 1 1 n i iiizx n i iiixy xzmI yxmI x軸為慣量主軸軸為慣量主軸 若分別取對稱面若分別取對稱面oxy和對稱面和對稱面oxz，同理可證得相應(yīng)的，同理可證得相應(yīng)的 垂線垂線z軸和軸和y軸均為慣量主軸。軸均為慣量主軸。 o x z y 說明：說明：(1) 若若 ，則為旋轉(zhuǎn)橢球，則為旋轉(zhuǎn)橢球， 則在則在xy平面內(nèi)的各軸都是主軸；平面內(nèi)的各軸都是主軸； (2) 若若 ，橢球變?yōu)榍蝮w，橢球變?yōu)?/p>

19、球體， 所有通過所有通過O點(diǎn)的軸都是主軸。點(diǎn)的軸都是主軸。 yyxx II zzyyxx III 【例例1313】均勻長方形薄片的邊長為均勻長方形薄片的邊長為 與與 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 ，求，求 此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。 a b m 設(shè)薄片的厚度為設(shè)薄片的厚度為t,t,密度為密度為 22 22Iy dmytudy (1) 其中，其中， 22 22 sinsin sinsin ayabuay u aa ab (2) 將將(2)(2)式代入式代入(1)(1)式得式得 22 sin 22233 0 1 2sin sin sin6 a ab Ity

20、ay dyt aba a x y o u y dy a b 解：解：方法一方法一 直接用定積分計算直接用定積分計算 動坐標(biāo)系動坐標(biāo)系oxyz 22 sin b ab 得得 22 22 1 6 a b Im ab 方法二方法二 利用利用 計算計算 x y o dy a b dx 222 222 xxyyzzyzzxxy IIIIIII 2222 cos, , =0 ab abab 23 0 1 3 b xx Iyt adytab 23 0 1 3 a yy Ixt bdxta b 22 00 1 4 ba xy Ixy t dxdyta b 得 22 22 1 6 a b Im ab 方法三方法

21、三 取慣量主軸為坐標(biāo)軸取慣量主軸為坐標(biāo)軸 x y o dy a b dx 22 12 III 23 2 1 2 1 12 b b Iyt adytab 23 2 2 2 1 12 a a Ixt bdxta b 得 22 22 1 6 a b Im ab 結(jié)論：結(jié)論：取慣量主軸為坐標(biāo)軸來計算薄片繞對角線轉(zhuǎn)動取慣量主軸為坐標(biāo)軸來計算薄片繞對角線轉(zhuǎn)動 時的轉(zhuǎn)動慣量最簡便。時的轉(zhuǎn)動慣量最簡便。 由剛體對定點(diǎn)由剛體對定點(diǎn)o的動量矩定理的動量矩定理 M dt Jd (1) 建立剛聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標(biāo)系建立剛聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標(biāo)系oxyz kIjIiIJ zyx 321 (2) JkJjJiJJ dt

22、 Jd dt Jd zyx (3) kMjMiMM kji zyx zyx 其中，(4) 3.83.8剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動動力學(xué)動力學(xué) 將將(3),(4)代人代人(1)得歐拉動力學(xué)方程得歐拉動力學(xué)方程 zyxz yxzy xzyx MIII MIII MIII 213 132 321 聯(lián)合歐拉運(yùn)動學(xué)方程聯(lián)合歐拉運(yùn)動學(xué)方程 cos sincossin cossinsin z y x (5) (6) 聯(lián)立方程聯(lián)立方程(5),(6) 消去消去 得到關(guān)于得到關(guān)于 的的 二階常微分方程，求解三個微分方程的剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動二階常微分方程，求解三個微分方程的剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動 的運(yùn)動學(xué)方程，從而確定剛體的運(yùn)動規(guī)律。的運(yùn)動學(xué)方程，從而確定剛體的運(yùn)動規(guī)律。 zyx , 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的機(jī)械能守恒定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的機(jī)械能守恒 條件：只有保守力做功 EVT 選慣量主軸坐標(biāo)系選慣量主軸坐標(biāo)系 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 zyx IIIT 作業(yè)作業(yè)-5 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動定點(diǎn)轉(zhuǎn)動 P177 3.20；3.22；3.23（選作（選作 ） 1、剛體的各種運(yùn)動 第三章 小 結(jié) 運(yùn)動的特點(diǎn)：運(yùn)動的特點(diǎn)： 1 1）剛體的質(zhì)心始終位于同一個平面上。）剛體的質(zhì)心始終位于同一個平面上。 2 2）剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上各點(diǎn)具有完全相）剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上各點(diǎn)具有完全相 同運(yùn)動狀態(tài)。同運(yùn)動狀態(tài)。 3 3