正態(tài)分布的由來(lái).doc

1、正態(tài)分布的由來(lái)正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文 學(xué)家Moivre （棣莫佛）于1733年受次提出的，但由于德國(guó)數(shù)學(xué)家 Gauss率先將 其應(yīng)用于天文學(xué)家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布。高斯這項(xiàng)工作對(duì)后世的影響極大，他使正態(tài)分布同時(shí)有了 “高斯分布 ”的名 稱(chēng)，后世之所以多將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于他， 也是出于這一工作。 高斯是 一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，重要的貢獻(xiàn)不勝枚舉。但現(xiàn)今德國(guó) 1 0馬克的印有高斯頭像 的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。 這傳達(dá)了一種想法： 在高斯的一切科 學(xué)貢獻(xiàn)中，其對(duì)人類(lèi)文明影響最大者，就是這一項(xiàng)。在高斯剛作出這個(gè)發(fā)現(xiàn)之初，也許人們還只

2、能從其理論的簡(jiǎn)化上來(lái)評(píng)價(jià)其優(yōu) 越性，其全部影響還不能充分看出來(lái)。這要到 20 世紀(jì)正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展 起來(lái)以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并馬上將其與他發(fā)現(xiàn)的中心極限定理聯(lián)系起 來(lái)，為此，他在即將發(fā)表的一篇文章 （發(fā)表于 1 8 1 0年）上加上了一點(diǎn)補(bǔ)充，指出 如若誤差可看成許多量的疊加，根據(jù)他的中心極限定理，誤差理應(yīng)有高斯分布。 這是歷史上第一次提到所謂 “元誤差學(xué)說(shuō) ”誤差是由大量的、由種種原因產(chǎn) 生的元誤差疊加而成。后來(lái)到1837年，海根（G.Hagen）在一篇論文中正式提出了 這個(gè)學(xué)說(shuō)。 其實(shí)，他提出的形式有相當(dāng)大的局限性： 海根把誤差設(shè)想成個(gè)數(shù)很多 的、獨(dú)立同分布的 “元誤差

3、” 之和，每只取兩值， 其概率都是 1/2，由此出發(fā)， 按狄莫佛的中心極限定理，立即就得出誤差 （近似地）服從正態(tài)分布。拉普拉斯所指出的這一點(diǎn)有重大的意義，在于他給誤差的正態(tài)理論一個(gè)更自 然合理、更令人信服的解釋。因?yàn)椋咚沟恼f(shuō)法有一點(diǎn)循環(huán)論證的氣味：由于算 術(shù)平均是優(yōu)良的， 推出誤差必須服從正態(tài)分布； 反過(guò)來(lái)， 由后一結(jié)論又推出算術(shù) 平均及最小二乘估計(jì)的優(yōu)良性，故必須認(rèn)定這二者之一 （算術(shù)平均的優(yōu)良性，誤 差的正態(tài)性 ）為出發(fā)點(diǎn)。但算術(shù)平均到底并沒(méi)有自行成立的理由，以它作為理論 中一個(gè)預(yù)設(shè)的出發(fā)點(diǎn)， 終覺(jué)有其不足之處。 拉普拉斯的理把這斷裂的一環(huán)連接起 來(lái)，使之成為一個(gè)和諧的整體，實(shí)有著極重

4、大的意義T 分布的由來(lái)戈塞特(William Sealey Gosset)，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家。出生于英國(guó)肯特郡坎特 伯雷市，求學(xué)于曼徹斯特學(xué)院和牛津大學(xué)，主要學(xué)習(xí)化學(xué)和數(shù)學(xué)。 1899 年，戈 塞特進(jìn)入都柏林的 A. 吉尼斯父子釀酒廠，在那里可得到一大堆有關(guān)釀造方法、 原料(大麥等) 特性和成品質(zhì)量之間的關(guān)系的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。提高大麥質(zhì)量的重要性最終促使他研究農(nóng)田試驗(yàn)計(jì)劃， 并于 1904 年寫(xiě)成第一篇報(bào)告 誤差法則應(yīng)用 。戈塞特是英國(guó)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)方法發(fā)展的先驅(qū)， 由他導(dǎo)出的統(tǒng)計(jì)學(xué) T 檢驗(yàn)廣泛運(yùn)用 于小樣本平均數(shù)之間的差別測(cè)試。他曾在倫敦大學(xué)K. 皮爾遜生物統(tǒng)計(jì)學(xué)驗(yàn)室從事研究( 1906-1907)，對(duì)統(tǒng)

5、計(jì)理論的最顯著貢獻(xiàn)是平均數(shù)的機(jī)誤( 1908)。 這篇論文闡明， 如果是小樣本， 那么平均數(shù)比例對(duì)其標(biāo)準(zhǔn)誤差的分布不遵循正態(tài) 曲線。由于吉尼斯釀酒廠的規(guī)定禁止戈塞特發(fā)表關(guān)于釀酒過(guò)程變化性的研究成 果，因此戈塞特不得不于 1908年以“學(xué)生”的筆名發(fā)表他的論文，導(dǎo)致該統(tǒng)計(jì) 被稱(chēng)為 “學(xué)生”的筆名發(fā)表他的論文，導(dǎo)致該統(tǒng)計(jì)被稱(chēng)為 “學(xué)生的 T 檢驗(yàn)”。 1907-1937 年間，戈塞特發(fā)表了 22 篇統(tǒng)計(jì)學(xué)論文，這些論文于 1942年以 “學(xué) 生 ”論文集為書(shū)名重新發(fā)行。Gosset 在文章中使用 Z 統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)常態(tài)分配母群的平均數(shù)。由于這篇文章 提供了 “學(xué)生 t 檢驗(yàn)”的基礎(chǔ)，為此，許多統(tǒng)計(jì)學(xué)

6、家把 1908年看作是統(tǒng)計(jì)推斷 理論發(fā)展史上的里程碑。后來(lái)，哥塞特又連續(xù)發(fā)表了 “相關(guān)系數(shù)的概率誤 差”(1909) 、“非隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)分布 ” (1909) 、“從無(wú)限總體隨機(jī)抽樣 平均數(shù)的概率估算表 ”(1917) ，等等。他在這些論文中，第一，比較了平均誤差 與標(biāo)準(zhǔn)誤差的兩種計(jì)算方法； 第二， 研究了泊松分布應(yīng)用中的樣本誤差問(wèn)題； 第 三，建立了相關(guān)系數(shù)的抽樣分布；第四，導(dǎo)入了 “學(xué)生”分布，即 t 分布。這些 論文的完成， 為“小樣本理論 ”奠定了基礎(chǔ)； 同時(shí)，也為以后的樣本資料的統(tǒng)計(jì) 分析與解釋開(kāi)創(chuàng)了一條嶄新的路子。 由于哥塞特開(kāi)創(chuàng)的理論使統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)始由大樣 本向小樣本、 由描

7、述向推斷發(fā)展， 因此，有人把哥塞特推崇為推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)的先驅(qū) 者。William Sealey Grosset 在 20 世紀(jì)前三十余年是統(tǒng)計(jì)界的活躍人物，他的 成就不限于均文 . 同年他發(fā)表了在總體相關(guān)系數(shù)為 0 時(shí)，二元正態(tài)樣本相關(guān) 系數(shù)的精確分布，這是關(guān)于正態(tài)樣本相關(guān)系數(shù)的第 1 個(gè)小樣本結(jié)。他對(duì)回歸和試驗(yàn)設(shè)計(jì)方面也有相當(dāng)?shù)难芯浚?在與費(fèi)歇爾的通信中時(shí)常討論到 這些問(wèn)題。 費(fèi)歇爾很尊重他的意見(jiàn)， 常把自己工作的抽印本送給 William Sealey Grosset 請(qǐng)他指教 . 在當(dāng)時(shí)，能受到費(fèi)歇爾如此看待的學(xué)者為數(shù)不多。William Sealey Grosset 的一些思想，對(duì)他日后與奈曼合作建立其假設(shè)檢 驗(yàn)理論有著啟發(fā)性的影響 . 他說(shuō)（引自耐曼 &frac3