用反證法證明幾何問(wèn)題.doc

1、65yttrgoi用反證法證明幾何專題對(duì)于一個(gè)幾何命題，當(dāng)用宜接證法比較困難時(shí)，則可采用間接證法，反證法就是一種間接證法，它 不是宜接去證明命題的結(jié)論成立，而是去證明命題結(jié)論的反面不能成立.從而推出命題的結(jié)論必然成立， 它給我們提供了一種可供選擇的新的證題途徑，掌握這種方法，對(duì)于提高推理論證的能力、探索新知識(shí)的 能力都是非常必要的。下面我們對(duì)反證法作一個(gè)簡(jiǎn)單介紹.一、反證法的概念：（又稱歸謬法、背理法）是一種論證方式，不直接從題設(shè)推出結(jié)論，而是從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引 出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.二、反證法的基本思路：社先假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，然后再在這個(gè)假定條件下

2、進(jìn)行一系列的正確邏輯推理，宜至得出一 個(gè)矛盾的結(jié)論來(lái)，并據(jù)此否定原先的假設(shè)，從而確認(rèn)所要證明的結(jié)論成立。這里所說(shuō)的矛盾是指與題目 中所給的已知條件矛盾，或是與數(shù)學(xué)中已知定理、公理和定義相矛盾，還可以是與日常生活中的事實(shí)相矛 盾，甚至還可以是從兩個(gè)不同角度進(jìn)行推理所得出的結(jié)論之間相互矛盾（即自相矛盾）.三、反證法的一般步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。簡(jiǎn)而言之就是“反設(shè)一歸謬一結(jié)論”三步曲.在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命 題的方面情況只有一種，

3、那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方 面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法” 歸繆法窮舉法四、適用范圍“反證法”宜用于證明否定性命題.唯一性命題、“至少” “至多”命題和某些逆命題等，一般地說(shuō) “正難則反”凡是直接法很難證明的命題都可考虎用反證法.五、反證法在平面幾何中的應(yīng)用例1.己知：ABx CD是00內(nèi)非宜徑的兩弦（如圖1）,求證AB與CD不能互相平分。證明：假設(shè)AB與CD互相平分于點(diǎn)則由已知條件AB、CD均非O0直徑, 可判定M不是圓心0,連結(jié)OA、OBx 0M.VOA=OB M 是 AB 中點(diǎn)A0M1

4、AB （等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）同理可得：0M丄CD,從而過(guò)點(diǎn)M有兩條直線AB. CD都垂直于0M 這與已知的定理相矛盾。故AB與CD不能互相平分。例2 (窮舉法直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.假設(shè) 如圖.在ZABC=d,M是AB的中點(diǎn)。求證 CM=AM=BM證明：CM與AM的大小關(guān)系有窮舉而互斥的三種：CMAM , CMAM,則 CMBM于是，由ZkACM 和BCM 得ZA ZACM, ZB ZBCM相加的NA +NB ZC,即2d-ZC ZC,或ZCd,與假設(shè)矛盾.2若CMAM,則CMd,也與假設(shè)矛盾.結(jié)論反面的這兩款都不成立.所以結(jié)論成立；CM=AB.證畢 丄例3、已知：

5、在四邊形ABCD中，M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，且MN= 2 (AD+BC)。求證：ADBC在ZXABD中1_從而 MP+PN=2 (AD+BC)這時(shí)，BD的中點(diǎn)不在MN上證明：假設(shè)ADBC,連結(jié)ABD,并設(shè)P是BD的中點(diǎn)，再連結(jié)MP. PN。若不然，則由MN/7AD, MN/7BC,得AD/BC與假設(shè)ADBC矛盾，于是P、N三點(diǎn)不共線。從而MP+PNMN丄丄4由、得2 (AD+BC) MN,這與已知條件MN= 2 (AD+BC)相矛盾，故假設(shè)AD冰BC 不成立，所以ADBC。例4求證六邊形都等于1的凸六邊形至少有一條對(duì)角線的長(zhǎng)不大于x/3。證明：假設(shè)存在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的凸六邊形ABCDEF,

6、其中每一條對(duì)角線之長(zhǎng)均大于朽如圖：作BM丄AU AB = BC = L ACV3ZSinABM 則上ABM12(尸那么六邊形的內(nèi)角和大于120。x 6 這與六邊形的內(nèi)角和等于7 2(耦所以命題成立。例5求證：凸多邊形的銳角不能多于三個(gè)。證明：凸多邊形有一個(gè)特點(diǎn)，內(nèi)角和二(總內(nèi)角和-2X180 假設(shè)內(nèi)角數(shù)為m其中銳角數(shù)為4,鈍角數(shù)為n-4,則有內(nèi)角和=480 X (n-2)=銳角和+鈍角和即 180 X (n-2) 90X4+飩角和即180 X (n-4) ZAPC,求證：PBVPC。參考答案：1.證明：假設(shè)存在凸四邊形ABCD,使ZiABC、BCD、ACDAx ZkDAB都是銳角三角形。 則ZA+ZB+ZC+ZDV360。這與四邊形ABCD中ZA+ZB+ZC+ZD=360矛盾。故假設(shè)不能成立，所以原命題成立2.證明：假設(shè) PB -PC,即 PBPC 或 PB=PC當(dāng)PBPC時(shí)（如圖）在ZkPBC 中，可得 VPCBZPBCVAB=AC/.ZABC=ZACB,從而ZABPZACP 在厶砂與ZXCAP中VAB=AC, AP=AP, PBPCA ZBAPZCAP