求函數(shù)值域的常用方法2

1、 求函數(shù)值域的常用求函數(shù)值域的常用 方法方法 特別提示2： 求函數(shù)值域沒有通用求函數(shù)值域沒有通用 的方法和固定的模式。只的方法和固定的模式。只 能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu) 特征來確定相應(yīng)的解法。特征來確定相應(yīng)的解法。 無論采用什么方法無論采用什么方法 求函數(shù)的值域，均應(yīng)優(yōu)求函數(shù)的值域，均應(yīng)優(yōu) 先考慮定義域。先考慮定義域。 特別提示1： 例1 求下列函數(shù)的值域： ; 1) 2 xy;2) 3 2 xy;21) 1xy 分析：本題是求解析式結(jié)構(gòu)比較簡單的函數(shù)的值域，分析：本題是求解析式結(jié)構(gòu)比較簡單的函數(shù)的值域， 可用直接法、不等式法或圖像法求解。可用直接法、不等式法或圖像法求解。

2、 .2| 2, 22, 0 .2- , 2)3( , 1 111|, 0|)2( .0| 002-11 22 2 yy yxx Rxxy yxx yy y 所以函數(shù)的值域為 即 另解（不等式性質(zhì)） ，為（可以看出該函數(shù)的值域從圖像 的圖像如圖所示：函數(shù) ）故所求函數(shù)的值域為 ，即則由于 故所求函數(shù)的值域為 ，即）通過觀察函數(shù)式可得解：（ x y 0 2 2 2 xy 分析：本題是求二次函數(shù)在區(qū)間上的分析：本題是求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，值域問題， 可用配方法或圖像法求解?？捎门浞椒ɑ驁D像法求解。 例2 求函數(shù)的值域) 11( 2 1 2 xxxy 如圖， y-3/4,3/2. , 2 3

3、, 1, 4 3 , 2 1 ,1 , 1, 4 3 ) 2 1 ( maxmin 2 yxyx xxy解： x-1 o y 1 4 3 2 1 x 2 3 ; 24 15 的值域求 x x y例3 分析：本題分子分母都是一次式的分式函數(shù)，此類函數(shù)的分析：本題分子分母都是一次式的分式函數(shù)，此類函數(shù)的 值域求解可采用分離常數(shù)法、反函數(shù)法（注意：值域求解可采用分離常數(shù)法、反函數(shù)法（注意： 原函數(shù)要有反函數(shù)）。原函數(shù)要有反函數(shù)）。 . 4 5 | 4 5 0 )24(2 7 )( )24(2 7 4 5 24 4 10 1)24( 4 5 24 15 yRyy y x ok x k y xx x x

4、 x y 且即函數(shù)的值域為 。的值域知：函數(shù)由反比例 ）數(shù)值域的方法函數(shù)的和，從而求得函 常數(shù)與另一個把已知函數(shù)分離成一個解一：（分離常數(shù)法： 解二：（反函數(shù)法） 故所求函數(shù)的值域為： 54 21 y y x 54 21 y y y 4 5 由原函數(shù)式可得： 則其反函數(shù)為： 其定義域為：x 4 5 yRyy且 例4 求函數(shù) 322 1 2 2 xx xx y 分析：函數(shù)是分式函數(shù)且都含有二次項，可用判別式法分析：函數(shù)是分式函數(shù)且都含有二次項，可用判別式法 和單調(diào)性法求解。和單調(diào)性法求解。 解法1：（判別式法）判別式法） 由函數(shù)知定義域為R,則變形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y

5、1)=0. 當(dāng)2y-1=0即y=1/2時，代入方程 左邊1/23-10,故y1/2. 當(dāng)2y-10,即y 1/2時，因xR,必有 =(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2, 綜上所得，原函數(shù)的值域為y3/10,1/2). 例5的值域；求函數(shù)xxy142 分析：帶有根式的函數(shù)，本身求值域較難，可考慮用分析：帶有根式的函數(shù)，本身求值域較難，可考慮用 換元再利用配方法或圖像法，平方升次再用判換元再利用配方法或圖像法，平方升次再用判 別式法。別式法。 解法一：（換元，配方法） ，）（注意新元的取值范圍設(shè) 2 101txtx 。則4)0(4) 1(2242 22 tttty 1

6、 4 t y o .4|yy故函數(shù)的值域為 函數(shù)圖像如右圖所示：函數(shù)圖像如右圖所示： 242 2 tty 解法二：（平方升次再用判別式）解法二：（平方升次再用判別式） 016)4(44 22 yxyx 。40)16( 44)4(4 222 yyy 。所以函數(shù)的值域為4 , )1 (16)2(142 2 xxyxxy 解法三：（整體配方）解法三：（整體配方） 2 2(1)4 122( 11)4yxxx 10 x因為， 2 2( 11)44x所以y=。 4.y|y故函數(shù)的值域為 課堂練習(xí)：求下列函數(shù)的值域 ; 12 32 )3 x x y ) 2 1 , 1, 12 2 xxxy 1 2)1 x

7、y ) 1( 1 52 )4 2 x x xx y 3 2 y y R y 答 案且 2 , 2-答案 0|yy答案 5|yy答案： 求函數(shù)值域方法很多，常用求函數(shù)值域方法很多，常用配方法、換元法、配方法、換元法、 判別式法、不等式法、反函數(shù)法、圖像法（數(shù)形判別式法、不等式法、反函數(shù)法、圖像法（數(shù)形 結(jié)合法）、結(jié)合法）、函數(shù)的單調(diào)性法以及均值不等式法等。函數(shù)的單調(diào)性法以及均值不等式法等。 這些方法分別具有極強(qiáng)的針對性，每一種方法又這些方法分別具有極強(qiáng)的針對性，每一種方法又 不是萬能的。要順利解答求函數(shù)值域的問題，必不是萬能的。要順利解答求函數(shù)值域的問題，必 須熟練掌握各種技能技巧，根據(jù)特點(diǎn)選擇求值域須熟練掌握各種技能技巧，根據(jù)特點(diǎn)選擇求值域 的方法。的方法。 有時一題有多種解法，而有時又要同時使用有時一題有多種解法，而有時又要同時使用 多種方法才能解決。只有靈活選用最合適的方法多種方法才能解決。只有靈活選用最合適的方法 才能快捷解題。才能快捷解題。 小結(jié)小結(jié) 1）求下列函數(shù)的