幾何證明中常見的輔助線的方法

1、專題學(xué)習(xí)專題學(xué)習(xí) -幾何證明中常見幾何證明中常見 “ “添添 輔助線輔助線”方法方法 1.1.連結(jié)連結(jié) 目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形 適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在兩個(gè)點(diǎn)存在兩個(gè)點(diǎn)A A和和B B 語言描述語言描述: :連結(jié)連結(jié)ABAB 注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法 1.1.連結(jié)連結(jié) 典例典例1: 1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D. AC B D 1. 1.連結(jié)連結(jié)ACAC, ,構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形. . 1.1

2、.連結(jié)連結(jié) 典例典例2: 2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點(diǎn)點(diǎn)M M是是CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). . A C B D 連結(jié)連結(jié)ACAC、ADAD 構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形 E M 1.1.連結(jié)連結(jié) 典例典例3: 3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD 的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：AMBAMB ANCANC A CB D 連結(jié)連結(jié)ADAD 構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形 NM 目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等

3、距離相等 適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)圖中已經(jīng)存在一個(gè)點(diǎn)存在一個(gè)點(diǎn)X X和和一條線一條線MNMN 語言描述語言描述: :過點(diǎn)過點(diǎn)X X作作XYXYMNMN 注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法 2. 2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 典例典例4: 4:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離的距離. . A C

4、 D 過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作DEAB,DEAB,垂足為垂足為E E 構(gòu)造了構(gòu)造了 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等 B E 2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 典例典例5: 5:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC. A C D 過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作DEAB,DEAB,垂足為垂足為E E 構(gòu)造了構(gòu)造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等 B E 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,

5、則則BEDBED的周長是多少的周長是多少? ? 2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 典例典例6: 6:如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD中中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD. A C D 過點(diǎn)過點(diǎn)E E作作EFBCEFBC，垂足為，垂足為F. F. 構(gòu)造了構(gòu)造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等 B F E 2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 2. 2.如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDAB

6、CD中中, A= D , A= D =90=90o o, ,BEBE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD. 解法解法2. 2. 延長延長BEBE和和CDCD交于點(diǎn)交于點(diǎn)F F 構(gòu)造了構(gòu)造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形 F A C D B E 2.2.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段 典例典例4: 4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, OEP +ODP =180AOB, OEP +ODP =180o o, , 求證求證: PD=PE.: PD=PE. A C D 過點(diǎn)過點(diǎn)P P作作PFOAPFOA于于F,P

7、G OBF,PG OB于于G.G. 構(gòu)造了構(gòu)造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等B F E P G O 目的目的: :構(gòu)造構(gòu)造全等三角形全等三角形, ,將相關(guān)線段聚成三角形將相關(guān)線段聚成三角形 適用情況適用情況: :圖中已經(jīng)存在圖中已經(jīng)存在一條線段一條線段MN MN 和和中線中線 【或中點(diǎn)】【或中點(diǎn)】 語言描述語言描述: :延長延長ADAD到到E, E,使使DE=AD,DE=AD,連接連接CE.CE. 注意點(diǎn)注意點(diǎn): :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法 3.3.中線延長一倍中線延長一倍 例例7. 7.已知，如圖已知，如

8、圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線， A B C D E )( 2 1 ACABAD求證： 延長延長ADAD到點(diǎn)到點(diǎn)E E，使，使DE=ADDE=AD， 連結(jié)連結(jié)CE.CE. 思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5 求求ADAD的取值范圍？的取值范圍？ 倍長中線 例例8、如圖，、如圖，AD為為ABC的中線，的中線，ADB、ADC 的平分線交的平分線交AB、AC于于E、F。求證：。求證：BE+CFEF 分析：本題中已知分析：本題中已知D D為為BCBC的中點(diǎn)，要證的中點(diǎn)，要證BEBE、CFCF、EFEF間的不等關(guān)系，可利用點(diǎn)間的不等關(guān)系，可利用點(diǎn) D D將將BEBE旋轉(zhuǎn)，使這

9、三條線段在同一個(gè)三角形內(nèi)。旋轉(zhuǎn)，使這三條線段在同一個(gè)三角形內(nèi)。 線段與角求相等，先找全等試試看。線段與角求相等，先找全等試試看。 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 線段計(jì)算和與差，巧用截長補(bǔ)短法。線段計(jì)算和與差，巧用截長補(bǔ)短法。 三角形里有中線，延長中線三角形里有中線，延長中線=中線。中線。 想作圖形輔助線，切莫忘記要雙添。想作圖形輔助線，切莫忘記要雙添。 課外練習(xí)課外練習(xí) ；【拓展題】；【拓展題】 1.如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求證:BCEF B C A F E D

10、 2如圖如圖1，AD是是ABC的中線，的中線，AB=3,AC=5，求中線，求中線AD的取的取 值范圍。值范圍。 A 1 B C D 2 3 4 3.如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2， 3=4，直線，直線DC經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)E交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)D， 交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)C。求證：。求證：AD+BC=AB E F 在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)F使得使得AF=AD,連接連接EF 截長補(bǔ)短 m = 42.35 m = 42.23 4.已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2 求證求證:AB=AC+CD A DB C E 1 2 在在AB上取點(diǎn)上取點(diǎn)E使得使得AE=AC，連接，連接DE 截長截長 F 或延長或延長AC至點(diǎn)至點(diǎn)F,使得使得CF=CD，連接，連接DF 補(bǔ)短補(bǔ)短 5. 5.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,A