流體力學動力學

1、 第四章第四章 流體動力學基礎流體動力學基礎 第一節(jié)第一節(jié) 流體的運動微分方程流體的運動微分方程 第二節(jié)第二節(jié) 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 第三節(jié)第三節(jié) 總流的伯努利方程總流的伯努利方程 第四節(jié)第四節(jié) 總流的動量方程總流的動量方程 第五節(jié)第五節(jié) 理想流體的無旋流動理想流體的無旋流動 第一節(jié)流體的運動微分方程第一節(jié)流體的運動微分方程 連續(xù)性微分方程是控制流體運動的運動 學方程，還需建立控制流體運動的動力學方 程這就是液體的運動微分方程。這就是流體 的運動微分方程這就是液體的運動微分方程。 一、理想流體運動微分方程一、理想流體運動微分方程 在運動的理想流體中，取微小平行六面 體(質點)，正交

2、的三個邊長dx,dy,dz,分別平行 于x,y,z坐標軸(圖41)。設六面體的中心點 o，速度壓強，分析該微小六面體方向 的受力和運動情況。 1.表面力：理想流體內(nèi)不存在切應力只有 壓強方向受壓面(abcd面和abcd面)形心 點 圖41連續(xù)性微分方程 的壓強為： （41） （42） 受壓面上的壓力為： （43） （44） 質量力： （45） 由牛頓第二定律 得： ( ) -( ) + dxpp x p M 2 1 dxpp x p N 2 1 dydzpP MM dydzpP NN dxdydzXFBx dt du x x mF dxp x p 2 1 dxp x p 2 1 dydz dx

3、dydzX dt du dxdydz x 化簡得： （46） 將加速度項展成歐拉法表達式 : （47） 用矢量表示為： （48） dt du z p dt du y p dt du x p z y x Z Y X 1 1 1 z u zy u yx u xt u z p z u zy u yx u xt u y p z u zy u yx u xt u x p zzzz yyyy xxxx uuuZ uuuY uuuX 1 1 1 uupf t u 1 上式即理想流體運動微分方程式，又稱歐拉運動 微分方程式。該式是牛頓第二定律的表達式，因此是 控制理想流體運動的基本方程式。 1755年歐拉在所

4、著的流體運動的基本原理中 建立了歐拉運動微分方程式，及上一節(jié)所述的連續(xù)性 微分方程式。對于理想流體的運動，含 有和 四個未知量，由式(330)和式(336)組成的基本 方程組，滿足未知量和方程式數(shù)目一致，流動可以求 解。因此說，歐拉運動微分方程和連續(xù)性微分方程奠 定了理想流體動力學的理論基礎。 zyxuuu, 二、粘性流體運動微分方程二、粘性流體運動微分方程 一切實際流體都具有粘性，理想流體運動微分方程存在局 限。為此需要建立粘性流體的運動微分方程 ，本書不做詳細推 導，僅從物理概念上做簡要說明。 1粘性流體的動壓強粘性流體的動壓強 理想流體因無粘滯性，運動時不出現(xiàn)切應力，只有法向應 力，即動

5、壓強。用類似分析流體靜壓強特性的方法，便可證 明任一點動壓強的大小與作用面的方位無關，是空間坐標和時 間變量的函數(shù)， 即 （，）。 粘性流體的應力狀態(tài)和理想流體不同，由于粘性作用，運動 時出現(xiàn)切應力，使任一點的法向應力的大小與作用面的方位有 關。如以應力符號的第個下角標表示作用面的方位， 第二個角標表示應力的方向，則法向應力 進步研究證明，任一點任意三個正交面上的法向應力之和都 不變，即 （49） 據(jù)此，在粘性流體中，把某點三個正文面上的法向應力的 平均值定義為該點的動壓強以p表示： （410） 如此定義，粘性流體的動壓強也是空間坐標和時間變量的函數(shù) （411） 2.應力和變形速度的關系應力和

6、變形速度的關系 粘性流體的應力與變形速度有關，其中法向應力與線變形 速度有關，切應力則與角變形速度有關。 zzyyxx ppp pppppp zzyyxx tzyxpp, zzyyxx pppp 3 1 流動中某點的動壓強是過該點三個相互正交平面上法向應 力的平均值，同某一平面上的法向應力有一定差值，稱為附加 法向應力，以表示，它是流體微團在法線方向 上發(fā)生線變形(伸長或縮短)引起的。 （412） 切應力與角變形速度的關系，在簡單剪切流動中符合牛頓 內(nèi)摩擦定律 zzyyxxppp, z u zzzz y u yyyy x u xxxx z y x pppp pppp pppp 2 2 2 dy

7、 du u 將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到一般空間流動,得出 （413） 3粘性流體運動微分方程粘性流體運動微分方程 采用類似于推導理想流體運動微分方程式（46）的方 法，取微小平行 六面體，根據(jù)牛頓第二定律建立以應力(包括切應 力)表示的運動微分方程式，并以式(412)、式(413)代人整 理，使得到粘性液體運動微分方程： y u x u yxxy x u z u xzzx z u y u zyyz x y zx y z （414） 用矢量表示為 （415） 式中： 拉普拉斯算子。 自歐拉提出理想流體運動微分方程以來，法國工程師納維 (Claude.Louis.Marie.Henri. Navier

8、，1785.2.101836.8.21，法國力 學家、工程師 )、英國數(shù)學家斯托克斯(Stokes 18191903 )等人 經(jīng)過近百年的研究，最終完成現(xiàn)在形式的粘性流體運動微分方 程，又稱為納維斯托克斯方程(簡寫為NS方程)。 z u zy u yx u xt u zz p z u zy u yx u xt u yy p z u zy u yx u xt u xx p zzzz yyyy z y xx uuuuZ uuuuY uuuuX 2 1 2 1 2 1 uuupf t u 2 1 2 2 2 2 2 2 2 zyx NS方程表示作用在單位質量流體上的質量力、表面力 (壓力和粘性力)

9、的相平衡。由NS方程式和連續(xù)性微分方程式 組成的基本方程組，原則上可以求解速度場和壓強場p,可以說 粘性流體的運動分析，歸結為對NS方程的研究。 例41 理想流體速度場為 為常數(shù)。試求：（1）流動是否可能實現(xiàn)；（2）流線方程； （3）等壓面方程(質量力忽略不計) 解 (1)由連續(xù)性微分方程 滿足連續(xù)性條件，流動是可能實現(xiàn)的。 (2)由流線方程 得 ： baubxuayuzyx, 0, 0 z u y u x uzyx yxu dy u dx bx dy ay dx aydybxdx 積分得流線方程 a,b同號，流線是雙曲線a,b異號,流線是圓。 (3)由歐拉運動微分方程式，不計質量力： 將方程

10、組化為全微分形式: aby x u u abx y u u y xy p x yx p 1 1 )( 1 )()( 1 ydyxdxabdp ydyxdxabdy y p dx x p caybx 22 積分，得 令p=常數(shù) 即得等壓面方程 等壓面是以坐標原點為中心的圓。 2 22 c yx abp cyx 22 第二節(jié)第二節(jié) 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 一、理想流體運動微分方程的伯努利積分一、理想流體運動微分方程的伯努利積分 理想流體運動微分方程式是非線性偏微分方程組，只有特定 條件下的積分，其中最為著名的是伯努利(Daniel Bernoull， 17001782，瑞士科學家)積分。

11、 （416） z u zy u yx u xz p z u zy u yx u xy p z u zy u yx u xx p zzz yyy z y x uuuZ uuuY uuuX 1 1 1 由理想流體運動微分方程式 （417） 各式分別乘以沿流線的坐標增量dx，dy，dz，然后相加，得： （418 ） 1.引人限定條件引人限定條件： 作用在流體上的質量力只有重力：X=Y=0,Z=-g; （419） .不可壓縮，恒定流： （420） p z p y p x p ddpdzdydx 11 dzdydxZdzYdyXdx z p y p x p 1 )(dz dt du dy dt du d

12、x dt du z y x gdzZdzYdyXdx)( ,C zyxpp, dt du z p dt du y p dt du x p z y x Z Y X 1 1 1 .恒定流流線與跡線重合：dx=uxdt，dy=uydt， dz=uzdt 則 （421） 將式（419） （420） （421）帶入式（418） 積分得： （422） 即: （423） 或: （424） dzdydxZdzYdyXdx z p y p x p 1 )( dz dt du dy dt du dx dt du z y x Cgz u g p 2 2 Cz g u p 2 2 g up z g up z 22 2

13、 22 2 2 11 1 2 222 zyx z y x uuu ddz dt du dy dt du dx dt du 上述理想流體運動微分方程沿流線的積分稱為伯努利積分，所得式 稱為伯努利方程，以紀念在理想流體運動微分方程建立之前，1738年 瑞士物理學家和數(shù)學家伯努利根據(jù)動能原理提出式，用于計算流動向 題的著名方程 。 由于元流的過流斷面積無限小，所以沿流線的伯努利方程就是元 流的伯努利方程。推導該方程引入的限定條件，就是理想流體元流伯 努利方程的應用條件，歸納起來有：理想流體；恒定流動；質量力中 只有重力；沿元流(流線)；不可壓縮流體。 1.物理意義式物理意義式 (423)中的前兩項

14、、 和 的物理意義， 在第二章第三節(jié)中已說明，分別是單位重量流體具有的比位能壓能或 比勢能；單位重量流體具有的動能。 g p z g u 2 2 g p z , 三項之和 是單位重量流體具 有的機械能，式(423)則表示理想流體的 恒定流動，沿同一無流(沿同一流線)。單 位重量流體的機械能守恒。伯努利方程又 稱為能量方程。 2.流體意義流體意義 式(423)各項的流體力學意義為：z是位 置水頭， 壓強水頭；兩項之和 是測壓管水頭， 是流速水頭，能夠直接 量測，量測原理在隨后的例題中說明。三項之和 稱為總水頭式(423)則表示理想流體的恒定流動，沿同一元流 (沿同一流線)各斷面的總水頭相等理想流

15、體的水頭線是水平線 (圖42)。 g p g p zHp g u 2 2 g u g p zH 2 2 圖42水頭線 g u g p z 2 2 3.幾何意義幾何意義 式(423)各項的幾何意義是不同的幾何高度：z 是位置高度，測壓管高度?？偨Y如下： 項 目 z 物理意義 單位位能 單位壓能 單位勢能 單位動能 單位總能量 或比位能 或比壓能 或比勢能 或比動能 總比能 幾何意義 位置高度 測壓管高度 勢能高度 流體意義 位置水頭 壓強水頭 測壓管水頭 流速水頭 總水頭 p p z g u 2 2 g u p z 2 2 p 例例42 應用皮托(Pito，H.)管測量點流速 前文指出，流速水頭

16、可直接量測，現(xiàn)以均勻管流為例加以說明。 設均勻管流，欲量測過流斷面上某點A的流速(圖43)。在該點放置 一根兩端開口，前端彎轉90的細管，使前端管口正對來流方向， 另一端垂直向上，此管稱為測速管。來流在A點受測速管的阻滯速 度為零，動能全部轉化為壓能測速管中液面升高。 另在A點上游的同一流線取相距很近的o點，因這兩點相距很 近，o點的壓強p實際上等于放置測速管以前A點的壓強 應用理想流 體元流伯努利方程： （425） （426） 0 2 2 h g p g p g u g p g u g p 2 2 圖43點流速的測量 式中o點的壓強水頭，由另根測壓管量測， 于是測速管和測壓管中液面的高度差,

17、就是A 點的流速水頭，該點的流速： （427） 根據(jù)上述原理，將測速管和測風管組合 成測量點流速的儀器，圖44所示，與迎流 孔(測速孔)相通的是測速管，與側面順流孔 （測壓孔或環(huán)形窄縫）相通的是測壓管?？?慮到粘性流體從迎流孔至順流孔存在粘性效 應，以及皮托管隊員流場的干擾等影響，引 用修正系數(shù)C： 02 2ghC g pp gCu 圖44 畢托管構造 02 2gh g pp gu 錄像 式中C是修正系數(shù)數(shù)值接近于1.0，由實驗測定。 【例4-3】 有一貯水裝置如圖（4-5）所示，水池足夠大，當閥 門關閉時，壓強計讀數(shù)為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管 中流出時，壓強計讀數(shù)是0.6個大

18、氣壓強，試求當水管直徑d=12cm 時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。 【解解】 當閥門全開時列1-l、2-2截面的伯努利方程 當閥門關閉時，根據(jù)壓強計的讀數(shù)， 應用流體靜力學基本方程 ， 求出值： g V g pp g p H aaa 2 6.0 00 2 2 圖45 aaa ppgHp8 . 2 OmH g p H a 2 28 9806 980608 .28 .2 所以管內(nèi)流量： 三、粘性流體元流的伯努利方程三、粘性流體元流的伯努利方程 實際流體具有粘性，運動時產(chǎn)生流動阻力，克服阻力作功，使流 體的一部分機械能不可逆地轉化為熱能而散失。因此，粘性流體流 動時，單位重量流體具有的機械

19、能沿程減少，總水頭線是沿程下降。 自19世紀30年代以來，人們從大量經(jīng)驗事實中，總結出一個重 要結論。能量可以從一種形式轉換成另一種形式，既不能創(chuàng)造、也 不能消滅，總能量是恒定的，這就是能量守恒原理。 sm g p HgV a /78.20 9806 980606 .0 8 .2806.92 6 .0 2 2 smVdq V /235.078.20785.0 4 3 2 2 因此，設為粘性流體元流單位重量流體由過流斷面11運動至 過流斷面22的機械能損失，稱為元流的水頭損失，根據(jù)能量守恒 原理，便可得到粘性流體元流的伯努利方程 水頭損失 也具有長度的量綱。 g up z 21 2 11 22

20、2 22 wg up hz w h 第三節(jié)第三節(jié) 總流的伯努利方程總流的伯努利方程 上一節(jié)的最后得到了粘性液體元流的伯努利方程式(429)，為 了解決實際問題，還需要將其推廣到總流中去。 一、漸變流及其性質一、漸變流及其性質 在推導總流的伯努利方程之前，做為方程的導出條件，將流動 區(qū)分為漸變流和急變流。凡質點的遷移加速度(位變加速度)很小，的 流動，或者說流線近于平行直線的流動定義為漸變流，否則是急變 流(圖335)。顯然，漸變流是均勻流的寬延，所以均勻流的性質， 對于漸變流都近似成立，主要是： 1漸變流的過流斷面近于平面。面上各點的速度方向近于平行； 2恒定漸變流過流斷面上的動壓強 按靜壓強

21、的規(guī)律分布，即： （430） 由定義可知，漸變流沒有準確的界定 標準，流動是否按均勻流處理，所得結果 能否滿足以工程要求的精度而定。 二、總流的伯努利方程二、總流的伯努利方程 設恒定總流，過流斷面11、22為漸變流斷面，面積為 A1,A2(圖48)。在總流內(nèi)任取元流，過流斷面的微元面積、位置高 度、壓強及流速分別為dA1,z1,p1,u1; dA2,z2,p2,u2 。 由元流的伯努利方程： 圖47急變流和漸變流 cz p g up z 21 2 11 22 2 22 wg up hz 以乘上式即是單位時間通過元流兩過流斷面的能量關系 （431） 總流是由無數(shù)元流構成的，上式對總流過流斷面積分

22、便得 到單位時間通過總流兩過流斷面的總能量關系 （432） 分別確定三種類型的積分 第一類積分： 因所取過流斷面是漸變流斷面 dQz g up 21 2 11 dQz g up 22 2 22 dQhw 1 1 111 A p dAuz 1 2 1 112 A g u dAu 2 2 222 A p dAuz 2 2 2 222 A g u dAu Q w aQh A p udAz cz p (433) 第二類積分： 各點的速度不同，引入校正系數(shù)，積分按斷面平均速度v計算： (434) 流速分布不均勻動能校正系數(shù)， 式中 是為校正以斷面平均速度計算的動能與實際功能的差異而 引入的校正系數(shù)，值取

23、決于過流斷面上的流速分布情況，分布均 勻的流動。 通常取 A g u udA 2 2 A g u udA 2 2 A g u dA 2 3 Q g v 2 2 A g v A g u dA dA 2 3 2 3 Av dAu A 3 3 10. 105. 1 1 A p udAz Q p z 第三類積分： 積分式 單位時間總流由11至22的械能損失?，F(xiàn)在 定 義 為總流單位重量流體由11至22斷面的平均機械能損失，稱 總流的水頭損失 (434) 將(432)、(433)、(434)代人式(431) (435) 兩斷面間無分流及匯流，Q1Q2Q，并以 除上式，得 （436） Q w dQh Q

24、w dQh w h Q w dQh Qhw Q p z 1 1Q g v 2 2 1 Q p z 2 2Q g v 2 2 2 Qhw 2gQ dQz g up 21 2 11 dQz g up 22 2 22 w h 2. 伯努利方程的適用條件伯努利方程的適用條件 式(437)即粘性流體總流的伯努利方程。將元流的伯努 利方程推廣為總流的伯努利方程，引入了某些限制條件， 也就是總流伯努利方程的適用條件包括： .不可壓縮流體恒定流； .質量力只有重力； 不可壓縮流體(以上引自粘性流體元流的伯努利方程)； .所取過流斷面為漸變流斷面； .兩斷面間無分流和匯流； .兩斷面間無能量的輸入或支出； .不

25、存在相對運動。 3. 伯努利方程的方法步驟伯努利方程的方法步驟 式式(436)是能量守恒原理的總流表達式。下面舉例說明伯努利是能量守恒原理的總流表達式。下面舉例說明伯努利 方程的應用方程的應用 .斷面選擇斷面選擇 通常選擇未知量所在的斷面和已知量最多的斷面，它們 都必須是漸 變流斷面； .代表點選擇代表點選擇 無壓流一般選擇自由液面，有壓流一般選在管道中心； .位置基準面選擇位置基準面選擇 習慣選擇在過各代表點最低者的水平面。位置準 面選擇對結果無影響； .壓強基準面選擇壓強基準面選擇 液體一般選取相對壓強；氣體一般選取絕對壓強。 壓強準面選擇對結果無影響； .列伯努利方程列伯努利方程 對于初

26、學者，應該分項列出，哪怕是零，也應該寫 出。但一般只用符號代替，而不代入具體數(shù)值，以 便推導出未知量的計算公式； .解伯努利方程解伯努利方程 求解出題目中所要求的未知量； .給出答案給出答案 給出正確的答案 例例43 用直徑d100mm的水管從水箱引水(圖49)。水箱水面 與管道出口斷面中心的高差H4m保持恒定，水頭損失 3m 水柱。試求管道的流量。 解解 這是一道簡單的總流問題，應用伯努利方程： 圖49管道出流 w h g vp z 21 2 11 wg vp hz 22 2 22 求解的關鍵是“三選”：選基準面、計算斷面和計算點。為 便于計算，選通過管道出口斷面中心的水平面為基準面00(圖

27、 49)。計算斷面應選在漸變流斷面，并使其中一個已知量最多， 另一個含待求量。技以上原則本題選水箱水面為11斷面，計算 點在自由水面上、運動參數(shù)z1=H,p1=0 (相對壓強), v1=0 。選管道 出口斷面為22斷面，以出H斷面的中心運動參數(shù)z2=0,p2=0, v2待 求。將各量代人總流伯努利方程： 取 得： wg v hH 2 2 2 0 . 12 smhHgvw/43. 4)(2 2 錄像1錄像2 錄像3 四、總流伯努利方程應用的修正四、總流伯努利方程應用的修正 伯努利方程是古典水動力學應用最廣的基本方程。應用伯努 利方程要重視方程的應用條件，切忌不顧應用條件，隨意套用公 式，要對實際

28、問題做具體分析，靈活運用。下面結合三種情況加 以討論。 1.氣體的伯努利方程 總流的伯努利方程式(436)是對不可 壓縮流體導出的，氣體是可壓縮流體，但 是對流速不很大(60ms)，壓強變化不 大的統(tǒng)，如工業(yè)通風管道、煙道等，氣流 在運動過程中密度的變化很小，在這樣的 條件下，伯努利方程仍可用于氣流。由于 氣流的密度同外部空氣的密度是相同的數(shù)量級，在用相對壓強進 行計算時，需要考慮外部大氣壓在不同高度的差值。 設恒定氣流(圖410)、氣流的密度為 外部空氣的密度 為 ，過流斷面上計算點的絕對壓強 。 列11和22斷面的伯努利方程式： a absabsPP21, 圖410恒定氣流 （438） 進

29、行氣流計算，通常把上式表示為壓強的形式 （439） 式中pw為壓強損失 （440） 將式(439)中的壓強用相對壓強p1,p2表示，則： （441） （442） 式中 為 處的大氣壓， 為高程 處的大 壓，代人式(437)，整理得： （443） g vp z 21 2 11 w g vp hz 22 2 22 1 21 2 2 1 11 v pz abs wabs p v pz 2 2 2 22 wwghp aabs ppp 11 1222 zzppp aaabs 12 zzp aa a p 1 z 2 z 1221 2 1 zzp a v w v pp 22 2 2 這里 稱為靜壓； 稱為動

30、壓。 為單位體積氣體所受有效浮力， 為氣體沿 浮力方向升高的距離，乘積 為11斷面相對于22 斷面單位體積氣體的位能，稱為位壓。 式（442）就是以相對壓強計算的氣流伯努利方程。 當氣流的密度和外界空氣的密度相同 ，或兩計算點的高 度相同 時，位壓為零，式（442）化簡為： （444） 式中靜壓與動壓之和稱為全壓。 當氣流的密度遠大于外界空氣的密度( )，此時相當 于液體總流，式(443)中 可忽略不計，認為各點的當?shù)卮髿?壓相同，式(443)化簡為： 21, p p 2 , 2 2 2 2 1 vv g a 12 zz 12 zzg a a 21 zz 21 2 1 v p w v pp 2

31、2 2 2 a a （445） 除以 ，即 （446） 由此可見，對于液體總流來說，壓強 不論是絕對壓強， 還是相對壓強，伯努利方程的形式不變。 2.有能量輸入或輸出有能量輸入或輸出 總流伯努利方程式(437)是在兩過流斷面問除水頭損失之外， 在無能量輸入或輸出的條件下導出的。當面過流斷面間有水泵、 風機(圖411)或水輪機(圖412)等流體機械時，存在能量的輸入 或輸出。 此種情況，根據(jù)能量守恒原理，計入單位重量流體經(jīng)流體機 械獲得或失去的機械能， 1221 2 1 zzp v wg v pp 22 2 2 g g v z p 2 2 1 1 1 w p h g v z 2 2 2 2 2

32、21, pp 式(429)便擴展為有能量輸入或輸出的伯努利方程式： （447） 式中：+H表示單位重量流體通過流體機械(如水泵)獲得的機械 能，對于水泵稱為水泵的揚程； -H 表示單位重量流體給流體機械(如水輪機)的機械 能，又稱為水輪機的設計水頭。 H p z g v 2 1 1 2 11 w p h v z 2 2 2 2 2 圖412有能量輸出的總流 圖411有能量輸入的總流 3.兩斷面間有分流或匯流兩斷面間有分流或匯流 總流的伯努利方程式(436)，是 在兩過流斷面間無分流和匯流的條件下 導出的。而實際的供水供氣管道沿程多 有分流和匯流這種情況式(436)是否 還能用呢?對于兩斷面間有

33、分流的流動 (圖413)，設想11斷面的來流，分為 兩股(以虛線劃分)分別通過22、33 斷面。 對 (11斷面中的一部分)和22 斷面列伯努利方程，其間無分流： （448） 圖413沿程分流 1 1 g v g p z 2 1 1 2 1 2 1 2 22 2 2 w h g v g p z 因所取11斷面為漸變流斷面。面上各點的勢能相等，則： （449） 如11斷面流速分布較為均勻，則： （450） 故 （451） 近似成立。同理可得： （452） 由以上分析，對于實際I程中沿程分流的總流，當所取過流斷面為漸 變流斷面，斷面上流速分布較為均勻，并計人相應斷面之間的水頭 損失。 g P Z

34、g P Z 1 11 g v g P Z g v g P Z 22 2 1 1 1 2 11 1 21 2 2 2 1 2 1 22 21 w P h g v g Z g v g p Z 31 2 3 3 3 2 1 1 1 22 wh g v g P Z g v g P Z g v g v 22 2 1 2 1 第四節(jié)第四節(jié) 總流的動量方程總流的動量方程 總流的動量方程是繼連續(xù)性方程式、伯努利方程式(436)之 后的第三個積分形式基本方程，它們在流體力學及水力學中習慣 地被稱為三大方程，下面由動量原理，推導總流的動量方程。 一、總流的動量方程一、總流的動量方程 設恒定總流，取過流斷面、為漸變

35、流斷面，面 積為以過流斷面及總流的例表面圍成的空間為控制體(圖314)。 控制體內(nèi)的流體，經(jīng)dt時間，由運動到位置。 在流過控制體的總流內(nèi)，任取元流12,斷面面積dA1,dA2，點 流速為 ，dt時間，元流動量的增量 （453） （454） 21, uu 2121 KKKd dtt KK 22212111 KK 1122 KKKd 2221KK 2111 KK dt時間，總流動量的增量，因為過流斷面為漸變流斷面，各點的 流速平行，按平行矢量和的法則，定義為方向的基 本單位向量，為方向的基本單位向量 （455） 對于不可壓縮液體，并引入校正系數(shù)，以斷面 平均流速v代替點流速 積分得： （456）

36、 式中 是為校正以斷面平均速度計算的動量與實際動量的 差異而引入的校正系數(shù)，稱為流速分布不均勻動量校正系數(shù)： （457） 2i2u 1i1u Kd 2 2222 2 iudtdAu A 1 1111 1 iudtdAu A Kd 21 2 222 vAvdt 1 111 vAvdt 1122 vvdtQ dtF Av dAu A 2 2 值取決于過流斷面上的速度分布，速度分布較均勻的流 動， 1.021. 05，通常取 1.0 由動量原理，質點系動員的增量等于作用于該質點系上的外 力的沖量： (458) 投影式： (459) 式(458)、式(459)就是恒定總流的動量方程。方程表 明，作用于

37、控制體內(nèi)流體上的外力，等于單位時間控制體流出動 量與流人動量之差。綜合推導式(447)規(guī)定的條件，總流動量方 程的應用條件有：恒定流；過流斷面為漸變流斷面，不可壓縮流 體。 dtF 1122 vvdtQ F 1122 vvQ zzz yyy xxx vvQF vvQF vvQF 1122 1122 1122 錄像 二、動量方程應用舉例二、動量方程應用舉例 【例例39】 水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩 端與等直徑管相連接處的斷面11上壓力表讀數(shù) p1=17.6104Pa ，管中流量qv=0.1m3/s，若直徑d1=300， d2=200，轉角=60，如圖414所示。求水對彎管作用力F

38、的 大小。 【解解】 水流經(jīng)彎管，動量 發(fā)生變化，必然產(chǎn)生作用力F。而 F與管壁對水的反作用力R平衡。 管道水平放置在xoy面上，將R分 解成Rx和Ry兩個分力。 取管道進、出兩個截面和管內(nèi)壁 為控制面，如圖所示，坐標按圖示方向設置。 圖414 .根據(jù)連續(xù)性方程可求得： .列管道進出口的伯努利方程 ，則： .所取控制體受力分析，進、出口控制面上得總壓力： sm d q v v /42. 1 3 . 0 41 . 0 4 2 2 1 1 sm d q v v /18. 3 2 . 0 41 . 0 4 2 2 2 2 g v g p g v g p 22 2 22 2 11 2 2 2 2 11

39、2 vvpp218. 342. 11000106 .17 223 Pa 3 102 .17 43.123 .0 4 106 .17 23 111 ApP 40.52 .0 4 106 .17 23 222 ApP （kN） （kN） 壁面對控制體內(nèi)水的反力Rx、Ry，其方向先假定如圖(414)所示。 .寫出動量方程 選定坐標系后，凡是作用力（包括其分力）與坐標軸方向一 致的，在方程中取正值；反之，為負值。 沿x軸方向 沿y軸方向 coscos 1 221 vvqRPP Vx coscos 122 1 PPvvqR Vx 568. 060cos43.1240. 560cos42. 118. 31

40、 . 0 (KN) sin0sin 11 vqRP Vx sinsin 11 vqPR Vy 88.1060sin42. 11 . 060sin43.12 (KN) 管壁對水的反作用力 水流對彎管的作用力F與R大小相等，方向相反?？偭鲃恿糠?程是動量原理的總流表達式，方程給出了總流動量變化與作用力 之間的關系。根據(jù)這一特點，求總流與邊界面之間的相互作用力 問題，以及因水頭損失難以確定運用伯努利方程受到限制的問 題，適于用動量方程求解。 三、動量矩方程三、動量矩方程 上面對動量定理的推導過程中所用之方法、步驟，對動量矩 定理也完全適用，而所得結果與動量定理完全相似，只要在以上 的相應式個，將動量

41、換成動量短就成為動量矩定理；這里不作重 復的推演。 恒定流動的動量矩定理為： 89.1088.10568. 0 2 2 22 YX RRR (KN) 上式表明，在流出面上的流出動 量矩與流入面上的流入動量矩之差等 于外力矩之和。 常見的流體機械中，離心式水 泵、風機都是將其機械能轉換為流體 的動能和壓能的。水輪機則是利用流 體的動能使葉片機械轉動向外輸出功 率，其工作原理都是相同的。 圖415表示水輪機葉輪的兩個 葉片所形成的槽道，流體自葉輪外徑 的圓周面流入槽道， 經(jīng)葉輪 內(nèi)徑的 圓周面流出槽道，進入 葉輪中心區(qū)域的導管沿軸向流出；葉 輪葉片就是在流體流動時獲得力矩而 轉動向外作功的。 ii

42、n A n A FrdAVVrdAVVr INou (460) 圖415 1r 2r 假定葉片數(shù)目足夠多，則葉片間的槽道可近似為一元流動， 各截面上的速度是均勻的。還假定葉輪作等角速 的旋轉， 則葉輪個流場雖為不定常，但葉輪中的總體動量矩不隨時間變化， 可適用定常的動量矩公式，下面我們來導出水輪機(也稱渦輪機) 的動量矩公式。 先選取控制面：半徑的 進口圓周團和半徑 的出口圓周 團之間的流體表面，其中包括各葉片與流體的接觸面； 現(xiàn)在分析控制面上的運動情況及受力情況。設流體以相對速 度 經(jīng)半徑 的圓周團流入葉片槽道，由于半徑 的圓周 速度即牽連速度 ，則流體流入槽道的絕對速度為 (461) 設絕

43、對速度為 與圓周切向夾角為 則其徑向分量 和周向分量 的大小分別為： (462) 1r 2 r rv 1 r 1 r 1 1rVe 111erVVV 111sinVVn 111cosVVt 1V1 1Vn 1Vt (463) 同理，流體在流出半徑 圓周面上的相對速度 ，牽連速 度 ，則絕對速度為 (464) 設絕對速度為 與圓周切向夾角為 ，則其徑向分量 和周向分量 的大小分別為： (465) (466) 在流量為Q的情況下，流出控制面的動量矩為其切向動量 與半 徑 的乘積，即： (467) 同理，流入控制團的動量矩為其切向動量與半徑之乘積，即 ： (468) 假定無粘性力作用，則控制面中的兩

44、圓周面上的壓力合力不 產(chǎn)生力矩，只有葉片對流體的作用力矩。 2r 2Vr 22rVe 222erVVV 2V2 2Vn 2Vt 222sinVVn 222cosVVt 2tQV 2r 22222cosrQVrQVt 11111cosrQVrQVt 則根據(jù)動量矩定理，(464)式減(465)式等于外力矩： (469) 根據(jù)作用反作用原理，葉片上獲得流體所給的作用力矩力 （470） 這就是歐拉渦輪方程式，是渦輪機械的基本方程式。葉輪所獲得 的功率為 （471） 當流出葉片槽道的絕對速度 的方向取半徑方向，即 時， 則葉輪獲得的力矩公式變?yōu)?（472） 相應地，葉輪所獲得的功率公式為 （473） 1

45、1221112220coscosrVtrVtQrVrVQM 22112221110coscosrVtrVtQrVrVQM 22112211110coscosVeVtVeVtQVeVVeVQMp 2V 90 111110cosrQVrQVMt 11111coseteVQVVQVP 第五節(jié)第五節(jié) 理想流體的無旋流動理想流體的無旋流動 在第三章中，在微團運動分析的基礎上，見流體的運動分為有旋流動和無旋 流動。理論研究證明只有不可壓縮理想流體，運動初始無旋。嚴格地說，粘性流 體的運動都是有旋流動，但在實際流動中，多有粘性的影響很小，從靜止轉入流 動（初始無旋）的情況，諸如通風車間，用吸風裝置抽氣，工作

46、區(qū)內(nèi)形成的氣流; 水庫中的靜水，因閘門開啟形成的閘孔出流或堰流；以及空氣或水繞物體流動 時，在邊界層外面，廣闊區(qū)域的流動等，都可視為無旋流動。 一、勢函數(shù)一、勢函數(shù)： 根據(jù)曲線積分定理，無旋流的條件式（550）是表達式 成為某一函數(shù)的全微分的必要和充分條件 （474） （475） 得： ， ， （ 476） zzyyxxdududu dzudyudxud zyx dzdydxd zyx xx u yy u zz u gradu 函數(shù) 仿照應力場勢函數(shù)，靜電場勢函數(shù)的定義，稱為 速度勢函數(shù)。由此得出，無旋流是有速勢的流動，簡稱勢流; 反之，有速勢的流動是無旋流，兩者含義相同。 將式（4-37）不

47、可壓縮流體連續(xù)性微分方程 ： （478） 即： （479） 式中 拉普拉斯算子 式（478）是著名的拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函 數(shù)是調(diào)和函數(shù)。所以，調(diào)和函數(shù)的一切性質，也是速度勢函數(shù) 擁有的性質。 ),(zyx x u x y u y z u z 0 2 2 2 2 2 2 zyx 0 2 2 2 2 2 2 2 2 zyx 由以上分析可知，不可壓縮流體無旋流動的問題，歸結為在 給定的邊界條件下，求解拉普拉斯方程，一旦求得速度勢 ， 就可由式（476）求得流速 ，解得壓強，問題得 到解決。 二、流函數(shù)二、流函數(shù) 對于平面運動，有連續(xù)性微分方程 ，移項得 根據(jù)曲線積分定理，前式是表達式

48、成為某一函數(shù) 的全微分的必要和充分條件 （480） 比較 （481） 得 （482） ),(zyxuuuu x u x y u y 0 x u x y u y dxudyu yx yx, dxudyud yx dydxd yx xx u yy u 函數(shù) 稱為流函數(shù)。由流函數(shù)的引出條件可知，凡是不可 壓縮流體的平面的流動，連續(xù)性微分方程成立，不論無旋流動 或有旋流動，都存在流函數(shù)，而只有無旋流動才有流速勢，可 見流函數(shù)比流速勢更具有普遍意義。 1.流函數(shù)具有以下性質： 流函數(shù)的等值線是流線 證明： 流函數(shù)值相等 ，由式得流函數(shù)等值線方 程 則 上式即平面流動的流線方程，故 流函數(shù)的等值線是流線，

49、給流線以不同值，便得到族流線給流 函數(shù)以不同值，便得到流線族。 .兩條流線的流函數(shù)的差值，等于通過該兩流線間的單 寬流量： yx, 0,dc 0dxudyu yx yx u dy u dx （483） 這一性質也可表述為：平面流動中，通過任一曲線的單寬 流量，等于該曲線兩端流函數(shù)的差值。 .平面無旋流動的等流函數(shù)線（流線）與等勢線正交。 證明：對于平面無旋流動，同時存 在流速勢函數(shù)和流函數(shù)，由等流函數(shù)線方程 某一點的斜率 由等勢線方程 dlynuxnudludq yxn ,cos,cos dluu dl dx ydl dy x dxudyu yx d 12 2 1 2 1 ddqq q q 0

50、dxudyud yx x y u u dx dy m 1 0dyudxud yx 圖416流函數(shù) 同一點等勢線斜率 （484） 等流函數(shù)線與等勢線正交，故等勢線也就是過流斷面線。 .平面無旋流動，流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。 證明：因為平面無旋流動 則 得 帶入上式，得 （485） x y u u dx dy m 2 1 21 y x x y u u u u mm 0 2 1 y u x u x y z x u y u yx , 0 y u x u x y 0 2 2 2 2 yx 即： 平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。 式中 拉樸拉斯算子 （486） 式即柯西黎曼條件。滿足拉普拉斯方

51、程和柯西黎曼條 件，是一對共軛調(diào)和函數(shù)。 三、幾種常見的基本平面勢流：三、幾種常見的基本平面勢流： 拉普拉斯方程在復雜的邊界條件下，雖然難以求解，一 些簡單的平面勢流，其流速勢和流函數(shù)卻不難求得。研究這些 簡單的平面勢流的意義在于通過簡單勢流的疊加，往往能組合 成符合某些給定邊界條件的復雜流場。 0 2 2 2 2 2 2 yx xy yx 錄像 1均勻直線流均勻直線流 均勻直線流是流場中各點速度大小相等，方向相同的流動，是 一種最簡單的平面勢。速度場 ， ; 速度勢 （487） （488） 若均勻直線流流速平行于軸 （489） 若均勻直線流流速平行于軸 （490） au x bu y dyudxu yx byax dxudyu yx bxay ayaxuy, 0 bxbyux, 0 圖417均勻直線流 2源流源流 如圖418所示，在平面勢流中，源流就是流體從潭點均勻地向各個 方向出流的流動。組成這種流型的線，就是源點所在平面勢流中i面 上，從源點0出發(fā)的一族射線。 速度場 速度 流函數(shù) 等勢線方程 等勢線是以o點為圓心的同心圓。 流線方程 ，流線是由o點引出的射線以直角坐標 系表示。 r q r u 2 0 u rd udrur rdr q r q ln 22 drurdur 22 q r qr d crc