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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)
第1章隨機(jī)事件與概率.pptx第2章隨機(jī)變量及其分布.pptx第3章隨機(jī)向量及其分布.pptx第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征.pptx第5章大數(shù)定律與中心極限定理.pptx第6章樣本與抽樣分布.pptx第7章參數(shù)估計(jì).pptx第8章假設(shè)檢驗(yàn).pptx全套可編輯PPT課件一、什么是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?(是兩門(mén)課)1.概率論——是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學(xué)科。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。2.數(shù)理統(tǒng)計(jì)——是以概率論為基礎(chǔ),研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科。它也是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。二、什么是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?(從總體上看)
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)——是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。三、數(shù)學(xué)包括哪些學(xué)科?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)163三、數(shù)學(xué)包括哪些學(xué)科?第1編概率論基礎(chǔ)
本教材第1編概率論基礎(chǔ)主要介紹隨機(jī)事件和概率、隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、多維隨機(jī)變量及其分布、大數(shù)定律與中心極限定理等內(nèi)容,供讀者掌握概率論的基礎(chǔ)內(nèi)容,并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)奠定基礎(chǔ)。第1章隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件的頻率與概率古典型概率幾何型概率目錄1.11.21.31.4
案例引導(dǎo)—轟炸目標(biāo)
條件概率
事件的獨(dú)立性1.51.6案例引導(dǎo)—轟炸目標(biāo)
我機(jī)三架飛往敵區(qū)轟炸某一目標(biāo),其中只有領(lǐng)航機(jī)配有導(dǎo)航儀器,無(wú)此儀器即不可能飛達(dá)目的地。飛達(dá)目的地上空后,三機(jī)獨(dú)立地各自完成轟炸任務(wù)。每架飛機(jī)可將目標(biāo)炸毀的概率均為0.3。在飛行途中必須經(jīng)過(guò)敵方高射炮區(qū),而每架飛機(jī)被擊落的概率為0.2。問(wèn)題:目標(biāo)被炸毀的概率是多少?1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算
1.確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象
事前可以預(yù)知結(jié)果:即在某些確定的條件滿足時(shí),某一確定的現(xiàn)象必然會(huì)發(fā)生,或根據(jù)它過(guò)去的狀態(tài),完全可以預(yù)知其將來(lái)的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。這樣的現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象。
2.偶然性現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象
事前不能預(yù)知結(jié)果:即在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí),每次所得到的結(jié)果未必相同,或即使知道它過(guò)去的狀態(tài),也不能肯定它將來(lái)的狀態(tài)。這樣的現(xiàn)象為偶然性現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象。下列現(xiàn)象中哪些是隨機(jī)現(xiàn)象?A.在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水在100℃時(shí)沸騰;B.明天的最高溫度;C.擲一顆骰子,觀察其向上點(diǎn)數(shù);D.天上不會(huì)掉餡餅;E.新生嬰兒體重。
F.種瓜得瓜,種豆得豆。1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與事件I.隨機(jī)試驗(yàn)
把對(duì)某種隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察、測(cè)量或一次科學(xué)實(shí)驗(yàn)稱(chēng)為一個(gè)試驗(yàn)。如果這個(gè)試驗(yàn)在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行,且每次試驗(yàn)的結(jié)果事前不可預(yù)知,則稱(chēng)此試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn),也簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn),記為E。注:以后所提到的試驗(yàn)均指隨機(jī)試驗(yàn)。
隨機(jī)試驗(yàn)舉例E1:擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);E2:檢測(cè)工廠生產(chǎn)的手機(jī)零件是否合格;E3:觀察某城市某個(gè)月內(nèi)發(fā)生的火災(zāi)次數(shù);E4:觀察某天的氣溫在20°C-25°C;E5:檢測(cè)某型號(hào)電子產(chǎn)品的使用壽命。
II.樣本空間
III.隨機(jī)事件
把樣本空間Ω的任意一個(gè)子集稱(chēng)為一個(gè)隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件。常用大寫(xiě)字母A,B,C
等表示。特別地,如果事件只含一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果(即樣本空間中的一個(gè)元素),則稱(chēng)該事件為基本事件;否則為復(fù)合事件。
例1.1.1
擲一枚骰子,用A表示擲出“5點(diǎn)”,B表示“奇數(shù)點(diǎn)”,C表示“點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”,試寫(xiě)出樣本空間,表示事件A,B,C,并指出哪些是基本事件?哪些是復(fù)合事件?解:樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}A={5}B={1,3,5}C={1,2,3}A是基本事件,B,C是復(fù)合事件。
注意:只要做試驗(yàn),就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)結(jié)果,即樣本空間Ω中就會(huì)有一個(gè)點(diǎn)(樣本點(diǎn)
)出現(xiàn)。當(dāng)結(jié)果
A時(shí),稱(chēng)事件A發(fā)生。(1)由于樣本空間Ω包含了所有的樣本點(diǎn),且是Ω自身的一個(gè)子集。故,在每次試驗(yàn)中Ω總是發(fā)生。因此,稱(chēng)Ω為必然事件。(2)空集
不包含任何樣本點(diǎn),但它也是樣本空間Ω的一個(gè)子集,由于它在每次試驗(yàn)中肯定不發(fā)生,所以稱(chēng)
為不可能事件。例1.1.3一批產(chǎn)品共10件,其中2件是次品,其余為正品,從中任取3件,則:A={恰有1件正品},B={3件中有正品},C={至少有2件正品},D={3件都是次品}。從以上事件中指出必然事件和不可能事件。解:B是必然事件,D是不可能事件。
1.1.2
事件的關(guān)系與運(yùn)算
I.事件之間的關(guān)系(1)事件的包含與相等。事件A包含于事件B:若事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生,則稱(chēng)事件A包含于事件B,記成A?B。如圖1.1.1所示,如例1.1.1中,,則若A?B,且B?A,則稱(chēng)事件A與B相等,記為A=B。(2)事件的和或并
對(duì)于兩個(gè)事件A與B,定義一個(gè)新事件C={A發(fā)生或B發(fā)生},稱(chēng)為事件A與B的和或并,記為C=A∪B或C=A+B,如圖1.1.2所示。
這里也就是說(shuō),事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生,事件C就會(huì)發(fā)生。如例1.1.1中C={1,2,3},A∪C={1,2,3,5}無(wú)窮多個(gè)事件A1,A2,…的和C發(fā)生就是A1,A2,…,An中至少一個(gè)事件發(fā)生。C
發(fā)生就是A1,A2,…
中至少一個(gè)發(fā)生。
這里從“事件是樣本空間的子集”看,也就是說(shuō)
是集合A與B中公共部分組成的新集合。
(3)事件的積或交。對(duì)于兩個(gè)事件A與B,定義一個(gè)新事件C={A與B都發(fā)生},稱(chēng)為事件A與B的積或交,記為C=A∩B或C=AB,如圖1.1.3所示。
無(wú)窮多個(gè)事件A1,A2,…的積C發(fā)生就是A1,A2,…,An都發(fā)生。C發(fā)生就是A1,A2,…都發(fā)生。(4)事件的差。對(duì)于兩個(gè)事件A與B,定義一個(gè)新事件C={A發(fā)生,B不發(fā)生},稱(chēng)為事件A與B的差,記為C=A-B,如圖1.1.5所示。
也就是指事件A中所包含的結(jié)果除去事件B中所包含的結(jié)果后剩下的部分。對(duì)立事件:稱(chēng)為A的對(duì)立事件或補(bǔ)事件,記為,也表示A不發(fā)生,如圖1.1.6所示??梢钥闯?,。例如在例1.1.1中,
,。
1.2事件的頻率與概率
由于事件A發(fā)生的頻率是它發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)之比,其大小表示A發(fā)生的頻繁程度。頻率越大,事件A發(fā)生得越頻繁,也說(shuō)明事件A發(fā)生的可能性越大。反之亦然。因此直觀的想法是用頻率來(lái)表示事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小,但是否可行,先看下面的例子。例1.2.1考慮“拋硬幣”試驗(yàn),歷史上有一些國(guó)外的數(shù)學(xué)家做過(guò)此試驗(yàn),若觀察硬幣幣值面朝上為事件A,其出現(xiàn)的次數(shù)及頻率
如表1.2.1所示:
試驗(yàn)者
試驗(yàn)次數(shù)
幣值面朝上出現(xiàn)的次數(shù)
頻率
D.Mogen204810610.5181C.D.Buffon404020480.5069K.Pearson1200059810.4984K.Pearson24000120120.5005表1.2.1
拋硬幣試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果表從表1.1可以看出,事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率具有隨機(jī)波動(dòng)性,且當(dāng)n較小時(shí),隨機(jī)波動(dòng)的幅度較大;隨著n的不斷增大,隨機(jī)波動(dòng)的幅度也越來(lái)越小,
值越來(lái)越接近固定值0.5。字母頻率字母頻率字母頻率E0.1268L0.0394P0.0186T0.0978D0.0389B0.0156A0.0788U0.0280V0.0102O0.0776C0.0268K0.0060I0.0707F0.0256X0.0016N0.0706M0.0244J0.0010S0.0634W0.0214Q0.0009R0.0594Y0.0202Z0.0006H0.0573G0.0187
例1.2.2考察英語(yǔ)中特定字母出現(xiàn)的頻率,如表1.2.2所示:表1.2.2中也列出了英語(yǔ)中特定字母出現(xiàn)的頻率,這些頻率也具有穩(wěn)定性。表1.2.2
英語(yǔ)中特定字母出現(xiàn)的頻率從上面兩個(gè)例子可以看出,事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率
也在0與1之間隨機(jī)波動(dòng)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較小時(shí),波動(dòng)幅度較大。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí),事件的頻率總在一個(gè)固定值附近擺動(dòng),而且試驗(yàn)次數(shù)越多,一般說(shuō)來(lái)擺動(dòng)的幅度越小。這一性質(zhì)稱(chēng)頻率的穩(wěn)定性,也就是反映統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性,頻率在一定程度上反映了事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小,不會(huì)隨人們意志而改變。盡管每進(jìn)行n次試驗(yàn),所得到的頻率可能各不相同,但只要n足夠大,頻率就會(huì)非常接近一個(gè)固定值——概率。
因此,概率可以通過(guò)頻率來(lái)“度量”,頻率是概率的近似,概率是頻率某種意義下的極限。
1.2.2事件的概率
由概率的定義,可以推出概率有如下性質(zhì),方便概率的計(jì)算:性質(zhì)1P(?)=0,即不可能事件的概率為零。
性質(zhì)2若事件
兩兩互斥,則有:
即兩兩互斥事件之和的概率等于它們各自概率之和。性質(zhì)3
對(duì)任一事件A,均有P(A)=1-P(A)。性質(zhì)4對(duì)兩個(gè)事件A與B,則若
,則有P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)。P(B-A)=P(B)-P(AB)性質(zhì)5對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。)
性質(zhì)2證明:
令A(yù)n+1=An+2=?=?,則A1,A2
,…An+2
…兩兩互斥,所以
性質(zhì)4證明:
由
可知,BA=A
B=A∪(BA)=A∪(B-A),且A與(B-A)互斥,由性質(zhì)2,可得
P(B)=P{A∪(B-A)}=P(A)+P(B-A),
所以可得:
P(B-A)=P(B)-P(A)又因?yàn)?,所以,即性質(zhì)4(1)得證。對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B,由于B-A=B-AB,且AB?B,根據(jù)性質(zhì)4(1),可得P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)
性質(zhì)5證明:由于,且,由性質(zhì)2和性質(zhì)4,可得:例1.2.5某城市有50%的用戶(hù)訂日?qǐng)?bào),有65%用戶(hù)訂晚報(bào),有85%用戶(hù)至少訂這兩種報(bào)紙中的一種,求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶(hù)的百分比。
性質(zhì)5稱(chēng)為概率的加法公式。性質(zhì)5還可以推廣到多個(gè)事件的情形。對(duì)于個(gè)事件,有
例1.2.6
已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AC)=P(BC)=1/16,P(AB)=0求事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解:
1.3古典型概率
什么是古典型概率?不妨先來(lái)看兩個(gè)例子:
例1.3.1投擲一枚骰子,可能會(huì)出現(xiàn)1點(diǎn),2點(diǎn),…6點(diǎn)六種可能的結(jié)果,而且這六種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,均為1/6.例1.3.2從100件同類(lèi)型的產(chǎn)品中,任意抽取1件進(jìn)行質(zhì)量檢查,則共有100種抽法,且每種出現(xiàn)的可能性大小相同,均是1/100.通過(guò)前面兩個(gè)例子,可以得出:
例1.3.4
在房間里有10個(gè)人,分別佩戴從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章,任選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。(1)求最小號(hào)碼為6的概率。(2)求最大號(hào)碼為6的概率。解:設(shè)A表示最小號(hào)碼為6,B表示最大號(hào)碼為6,則基本事件總數(shù)事件B中最大號(hào)碼為6,意味著6已確定,剩下的2個(gè)數(shù)需從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中選2個(gè),所以基本事件數(shù)為事件A中最小號(hào)碼為6,意味著6已確定,剩下的2個(gè)數(shù)需從7,8,9,10四個(gè)數(shù)中選2個(gè),所以基本事件數(shù)為例1.3.5
一批產(chǎn)品共8個(gè),其中有2個(gè)廢品,6個(gè)正品,求:(1)這批產(chǎn)品的廢品率;(2)任取3個(gè)恰有1個(gè)是廢品的概率;(3)任取2個(gè)全是正品的概率。
3個(gè)產(chǎn)品中有1個(gè)廢品,2個(gè)正品,則事件B中含有的基本事件數(shù)有所以事件B的概率為:(3)該題從8個(gè)產(chǎn)品中任取2個(gè),所以基本事件總數(shù),事件C中2個(gè)全是正品,則需從6個(gè)正品中去取,基本事件數(shù),所以事件C的概率為:
例1.3.6
設(shè)袋中有5個(gè)球,其中3個(gè)白球,2個(gè)紅球,從袋中取球兩次,每次隨機(jī)地取一個(gè)球,則在每次取球放回和不放回的情況下:分別求A、B、C的概率:A={取得兩個(gè)白球},B={恰有一個(gè)白球},C={至少有一個(gè)白球}解:(1)先考慮每次取球放回的情況。由于每次取球后放回,因此,第一次從5個(gè)球中取一個(gè),共有5種可能的取法,第二次還是從5個(gè)球中取一個(gè),還是有5種可能的取法。所以取兩次球,共有種可能的取法,即基本事件總數(shù)事件A中第一次取一個(gè)白球有3種取法,第二次再取一個(gè)白球還是有3種取法,所以事件A中取兩個(gè)白球共有種取法,也就是A中含有的基本事件數(shù)是9。所以可得,同理,可算得,(2)考慮每次取球不放回的情況。由于第一次取球后不放回,因此,第一次從5個(gè)球中取一個(gè),共有5種可能的取法。第二次則是從剩下的4個(gè)球中再取一個(gè),共有4種可能的取法,所以取兩次球,共有種可能的取法,即基本事件總數(shù)有20種事件A中第一次取一個(gè)白球有3種取法,第二次再?gòu)氖O碌?個(gè)白球取一個(gè),有2種取法,所以事件A中取兩個(gè)白球共有,種取法,也就是A中含有的基本事件數(shù)是6。方法1:每次隨機(jī)取一個(gè)球,取后不放回,取2次,所以可得,同理,可算得方法2:每次隨機(jī)取一個(gè)球,取后不放回,取2次,等同于一次性從中取2個(gè)球,則可得,例1.3.7從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中等可能地,有放回的連續(xù)抽取3個(gè)數(shù)字,試求下列事件的概率:A={三個(gè)數(shù)字完全不相同}B={三個(gè)數(shù)字中不含1和5}C={三個(gè)數(shù)字中至少有一次出現(xiàn)5}解:該題中從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中等可能地,有放回的連續(xù)抽取3個(gè)數(shù)字,則基本事件總數(shù)為,事件A中抽取的三個(gè)數(shù)字完全不相同,說(shuō)明第一個(gè)數(shù)有5種可能結(jié)果,第二個(gè)數(shù)有4種可能結(jié)果,第三個(gè)數(shù)有3種可能結(jié)果,所以事件A中的基本事件數(shù)為:。事件B中三個(gè)數(shù)字中不含1和5,說(shuō)明只能含2,3,4三個(gè)數(shù),所以B中的基本事件數(shù)為:。事件C三個(gè)數(shù)字中至少有一次出現(xiàn)5,需要考慮出現(xiàn)一次5、兩次5和三次5的情況,這時(shí)計(jì)算量較大,不妨從其對(duì)立事件考慮,即一次也未出現(xiàn)5,說(shuō)明只會(huì)出現(xiàn)1,2,3,4四個(gè)數(shù),其基本事件數(shù)為。解:設(shè)A={至少有兩個(gè)人的生日在同一天}例1.3.8某班級(jí)有(<365)個(gè)人,問(wèn)一年內(nèi)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率。該題中如果正面來(lái)算,需要考慮兩個(gè)人生日同一天、三個(gè)人生日同一天、個(gè)人生日同一天,顯然是不好算的,因此不妨考慮從對(duì)立面來(lái)算,則
經(jīng)計(jì)算,
取不同值時(shí)的概率值如表1.3.1所示。10203040506070800.120.410.710.890.970.991.001.00表1.3.1
個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率表
從表1.3可以看出,在60人左右的人群里,約有99%的幾率出現(xiàn)至少有兩人生日在同一天。若在放回的情況下,每次抽取的次品率都未發(fā)生變化,均為K/N,若用
表示每次抽取的次品率,則上式可以寫(xiě)為:該公式也就是在第二章要學(xué)習(xí)的二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式。1.4幾何型概率定義1.4.1如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱(chēng)幾何型概率。
計(jì)算公式幾何型概率的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè);(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。例1.4.1取一根長(zhǎng)為3米的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于1米的概率有多大?解:設(shè)A={剪得兩段繩子長(zhǎng)都不小于1}把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間1段時(shí),事件A發(fā)生。由于中間一段的長(zhǎng)度剛好等于繩子長(zhǎng)的三分之一,所以事件A發(fā)生的概率為
圖1.4.2大小圓例1.4.2設(shè)質(zhì)點(diǎn)等可能地落在半徑為R=2m的圓中,A是半徑為r=1m的圓,且(1)計(jì)算質(zhì)點(diǎn)落在小圓內(nèi)的概率;
(2)計(jì)算質(zhì)點(diǎn)落在小圓外的概率
解(1)大圓的面積是
,質(zhì)點(diǎn)等可能地落入大圓。
小圓的面積是質(zhì)點(diǎn)落在小圓內(nèi)的概率為:
(2)質(zhì)點(diǎn)落在小圓外的概率為:例1.4.3有一杯1升的水,其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.2升,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率。解:設(shè)A={小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌}1.5條件概率1.5.1條件概率
1.5.2乘法公式
1.5.3全概率公式
我們可以這樣理解全概率公式,某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,?n),如果A是由原因Bi所引起,則A發(fā)生的概率是。每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生,故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和,即為全概率公式。
仔細(xì)觀察上面例子,我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的結(jié)論,第二人中獎(jiǎng)的概率、第三人中獎(jiǎng)的概率與第一人中獎(jiǎng)的概率均一樣,即均為2/5。這也說(shuō)明每個(gè)人中獎(jiǎng)的概率都是一樣的。(2)根據(jù)全概率公式可得
例1.5.6某工廠的甲、乙、丙3個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,甲車(chē)間的產(chǎn)量比乙車(chē)間多1倍,乙車(chē)間的產(chǎn)量與丙車(chē)間相同,各車(chē)間產(chǎn)品的廢品率依次為5%,4%,2%,求從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,求取到一件廢品的概率。解:設(shè)A={廢品},B1={甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品},B2={乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品},B3={丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品},則
1.5.4貝葉斯公式
這個(gè)公式稱(chēng)為貝葉斯公式。該公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)著名的公式。它首先出現(xiàn)于1763年出版的英國(guó)學(xué)者T.貝葉斯(1702~1761)的概率論著作《論機(jī)會(huì)學(xué)說(shuō)中一個(gè)問(wèn)題的解》一書(shū)中。該公式提出了重要的邏輯推理思路,具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)及哲理意義。它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下,尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率。
和
分別稱(chēng)為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率。
是在沒(méi)有進(jìn)一步的信息(不知道事件A是否發(fā)生)的情況下,人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。當(dāng)有了新的信息(知道A發(fā)生),人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小
有了新的認(rèn)識(shí)。這種情況在日常生活中也是屢見(jiàn)不鮮的,原以為不可能發(fā)生的事情,可能因?yàn)槟撤N事件的發(fā)生而變得可能。貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫(huà)了這種變化。證明:根據(jù)條件概率的定義及全概率公式可得,
例1.5.7據(jù)調(diào)查某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004,若肝癌患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.99,正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.05,抽查了一個(gè)人,試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性,問(wèn)此人是肝癌癥患者的概率有多大?解:設(shè)B={肝癌患者},={正常人}A={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}
根據(jù)貝葉斯公式可得,
例1.5.8(續(xù)例1.5.6)現(xiàn)從該廠中隨機(jī)抽到一件廢品,請(qǐng)問(wèn)這件廢品由甲車(chē)間、乙車(chē)間、丙車(chē)間生產(chǎn)的概率各為多少?解:根據(jù)貝葉斯公式可得,
1.6
事件的獨(dú)立性
1.6.1
兩事件的獨(dú)立
先看一個(gè)例子:將一顆均勻骰子連擲兩次,設(shè)A={第二次擲出6點(diǎn)},B={第一次擲出6點(diǎn)},顯然,有P(A|B)=P(A).
這就是說(shuō):事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率。這時(shí),稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立。由乘法公式知,當(dāng)事件A與B獨(dú)立時(shí),有
P(AB)=P(A)P(B).
用P(AB)=P(A)P(B)刻畫(huà)獨(dú)立性,比用
P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好?!虿皇躊(B)>0或P(A)>0的制約;◎反映了事件A與B的對(duì)等性。兩事件獨(dú)立的定義
定義1.6.1:若兩事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱(chēng)A與B相互獨(dú)立,或稱(chēng)
A,B
獨(dú)立。例1.6.1:設(shè)試驗(yàn)E為“拋甲乙兩枚硬幣,觀察正反面出現(xiàn)的情況”。設(shè)事件A為“甲幣出現(xiàn)正面”,事件B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)正面”。解:用F表示正面,T表示反面,則E的樣本空間為??={FF,FT,TF,TT}P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,P(B|A)=1/2,P(AB)=1/4。
在這里我們看到P(B|A)=P(B),而P(AB)=P(A)P(B)。
定理1.6.1:設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,若A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B)。同理,若P(B)>0,則將A,B位置對(duì)調(diào),也依然成立。
定理1.6.2:若事件A,B獨(dú)立,則證明:僅證A與
P(A)=P(A-AB)
=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(),例1.6.2:甲乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo),他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.6,0.8。求每人射擊一次后,目標(biāo)被擊中的概率。解:設(shè)A={甲擊中目標(biāo)},B={乙擊中目標(biāo)},則P(A)=0.6,P(B)=0.8,由事件之和的概率及A與B相互獨(dú)立,得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.8-0.6×0.8=0.92請(qǐng)問(wèn):如圖的兩個(gè)事件是否獨(dú)立?我們來(lái)計(jì)算:因P(AB)=0,而P(A)≠0,P(B)≠0。即
P(AB)≠P(A)P(B)。故A與B不獨(dú)立。即:若A、B互斥,且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立。其逆否命題是:若A與B獨(dú)立,且P(A)>0,P(B)>0,則A與B一定不互斥。請(qǐng)問(wèn):能否在樣本空間Ω中找到兩個(gè)事件,它們既相互獨(dú)立又互斥?答:能。因?yàn)棣甫?Φ,且P(ΩΦ)=P(Ω)P(Φ)=0,所以,Φ與Ω獨(dú)立且互斥。不難發(fā)現(xiàn):Φ(或Ω)與任何事件都獨(dú)立。
前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系,請(qǐng)看下列兩個(gè)練習(xí)。
設(shè)A,B為互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中,正確的是:
1.P(B|A)>0,2.P(A|B)=P(A),3.P(A|B)=0,4.P(AB)=P(A)P(B)。
設(shè)A,B為獨(dú)立事件,且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中,錯(cuò)誤的是:
1.P(B|A)>0,2.P(A|B)=P(A),3.P(A|B)=0,4.P(AB)=P(A)P(B)。1.6.3多個(gè)事件的獨(dú)立先將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件上:
對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,若
P(AB)=P(A)P(B),
P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C),
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱(chēng)事件A,B,C相互獨(dú)立。例1.6.3
三人獨(dú)立地去破譯一份密碼,已知每個(gè)人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4。問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少?
解:將三人分別編號(hào)為1,2,3,記
Ai={第i個(gè)人破譯出密碼},i=1,2,3。故,所求為P(A1∪A2∪A3)。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,且A1,A2,A3相互獨(dú)立,P(A1∪A2∪A3)=1-P(A1∪A2∪A3)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-(4/5)·(2/3)·(3/4)=0.6
推廣到n個(gè)事件的獨(dú)立性定義,可類(lèi)似地給出:
設(shè)A1,A2,…,An是
n個(gè)事件,如果對(duì)任意k(1<k≤n),任意1≤i1<i2<?<ik≤n,等式P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)成立,則稱(chēng)n個(gè)事件A1,A2,…,An
相互獨(dú)立。多個(gè)相互獨(dú)立事件具有如下性質(zhì):◎若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則其中任意k個(gè)事件Ai1Ai2…Aik也相互獨(dú)立;
◎若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則B1,B2,…,Bn也相互獨(dú)立,其中Bi或?yàn)锳i,或?yàn)楱,i=1,2,…,n。例1.6.4加工某一零件需要經(jīng)過(guò)四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨(dú)立的,求加工出來(lái)的零件的次品率。
解:設(shè)事件Ai表示“第i道工序生產(chǎn)的次品”,i=1,2,3,4由題意P(A1)=0.02,P(A2)=0.03,P(A3)=0.05,P(A4)=0.03,A1,A2,A3,A4及其逆事件相互獨(dú)立,
本章小結(jié)本章學(xué)習(xí)的目的與要求:了解樣本空間的概念、理解隨機(jī)事件的概念、掌握隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算律。理解頻率、概率、條件概率的概念,掌握概率的基本性質(zhì),會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率,掌握條件概率及乘法公式、全概率公式以及貝葉斯(Bayes)公式,并會(huì)用于解決相關(guān)問(wèn)題。掌握事件獨(dú)立性的概念與定理、性質(zhì),并能運(yùn)用于相關(guān)的概率計(jì)算。本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn):重點(diǎn)是隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算律、概率的基本性質(zhì)、古典型概率和幾何型概率、條件概率及乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式、事件獨(dú)立性定理、性質(zhì)運(yùn)用。本章學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是對(duì)偶律的運(yùn)用,互斥、對(duì)立與獨(dú)立事件之間的區(qū)別與聯(lián)系、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式的區(qū)別與應(yīng)用。
本章內(nèi)容提示1.幾種概念之間的聯(lián)系:2.事件之間的關(guān)系(以A、B為例)(1)事件之間的包含和相等(或)
(2)事件之間的和或并()
(3)事件之間的積或交()
(4)事件之間的差()
3.對(duì)偶律
4.概率的性質(zhì)(1)P(?)=0。(2)若事件
兩兩互斥,則有:
即兩兩互斥事件之和的概率等于它們各自概率之和。
(3)對(duì)任一事件A,均有P(A)=1-P(A)(4)對(duì)兩個(gè)事件A與B,則①若,則有P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)。
②P(B-A)=P(B)-P(AB)(5)對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
6.條件概率中的幾種概率之間的關(guān)系
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)
第2章隨機(jī)變量及其分布
隨機(jī)變量的定義與種類(lèi)離散型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)目錄2.12.22.32.4
案例引導(dǎo)—猜題概率
隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.5案例引導(dǎo)—猜題概率
假設(shè)一張考卷上有10道選擇題,每道題列出4個(gè)可能答案,其中只有一個(gè)答案正確,則某學(xué)生靠猜測(cè)答對(duì)至少1道題的概率為多少?靠猜測(cè)答對(duì)至少5道題的概率為多少?問(wèn)題:該案例涉及隨機(jī)變量,該利用隨機(jī)變量的什么內(nèi)容來(lái)快速地解決此問(wèn)題?單選題完全考猜測(cè)能行嗎?2.1隨機(jī)變量的定義與種類(lèi)
2.1.1
隨機(jī)變量的定義定義2.1.1
設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),Ω是其樣本空間。如果對(duì)每個(gè)ω∈Ω,總有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)Ω上的實(shí)值函數(shù)X(ω)為E的一個(gè)隨機(jī)變量。
在引入隨機(jī)變量后,可用隨機(jī)變量X的值域的子集來(lái)表示隨機(jī)事件。
比如例2.1.1中,樣本空間Ω中的子集{X,X=1}表示拋硬幣試驗(yàn)中硬幣國(guó)徽面朝上這個(gè)隨機(jī)事件;例2.1.2中,樣本空間Ω中的子集{X,X≤3}表示擲骰子試驗(yàn)中,出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3點(diǎn)的隨機(jī)事件;例2.1.3中,樣本空間Ω中的子集{X,X≤10}表示某車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品次品數(shù)不超過(guò)10個(gè)這樣的隨機(jī)事件;例2.1.4中,樣本空間Ω中的子集{X,X≤0}表示隨機(jī)事件螺母的內(nèi)徑不大于規(guī)格件內(nèi)徑。2.1.2隨機(jī)變量的種類(lèi)根據(jù)隨機(jī)變量取值的特征不同,可將其分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量?jī)纱箢?lèi):(1)離散型隨機(jī)變量。如果一個(gè)隨機(jī)變量的取值是有限的,可以一一列舉出來(lái)的,則稱(chēng)其為離散型隨機(jī)變量,比如例2.1.1至例2.1.3三個(gè)例題中所設(shè)的隨機(jī)變量都是離散型的。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量。如果一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值不僅無(wú)窮多,而且不能一一列舉,其取值是充滿某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間或者幾個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間的,則稱(chēng)其為連續(xù)型隨機(jī)變量,比如上述例2.1.4中所設(shè)的隨機(jī)變量就是連續(xù)型隨機(jī)變量。2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量的取值可以進(jìn)行一一列舉,例如例2.1.1至例2.1.3中的隨機(jī)變量,它們都是離散型的隨機(jī)變量。對(duì)于這類(lèi)離散型隨機(jī)變量,要想掌握它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,只需要列舉其所有的可能取值以及取每一個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率,即需要掌握其概率質(zhì)量函數(shù)。
表2.2.1離散型隨機(jī)變量的概率分布律
X2342/58/151/152.2.2常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)有很多,不同的離散型隨機(jī)變量的具體概率質(zhì)量函數(shù)是不一樣的。其中重要而常見(jiàn)的主要有兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布和超幾何分布。2.2.2.1兩點(diǎn)分布
2.2.2.3泊松分布
二項(xiàng)分布和泊松分布有密切的關(guān)系,到底是什么關(guān)系?先看一個(gè)例子,通過(guò)這個(gè)例子來(lái)發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。
2.2.2.4超幾何分布
2.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)2.3
連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)
概率密度函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)主要有兩個(gè)用途:(1)用來(lái)判斷一個(gè)函數(shù)是否為某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。(2)用于求解概率密度函數(shù)中含有的常數(shù)。
2.3.2常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)2.3.2.1均勻分布
2.3.2.2指數(shù)分布
在實(shí)踐中,許多問(wèn)題所涉及的變量都服從或者近似地服從正態(tài)分布。例如,學(xué)生的某科考試成績(jī)、測(cè)量誤差、半導(dǎo)體器件中的熱噪聲電流或電壓等都服從或近似地服從正態(tài)分布。所以在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論研究與實(shí)踐中,正態(tài)分布都具有十分重要的作用。2.4
隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)以及連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),它們都用函數(shù)的形式來(lái)表達(dá)概率,刻畫(huà)隨機(jī)變量的分布情況。也可以通過(guò)分布函數(shù)來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)變量的分布情況。在本節(jié)中將介紹隨機(jī)變量的分布函數(shù),一種對(duì)離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布情況都能進(jìn)行刻畫(huà)的函數(shù)。分布函數(shù)具有較好的性質(zhì),便于研究,在概率論的理論研究中具有十分重要的意義
2.4.2
離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)
例2.4.1離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下01230.10.20.30.4
2.4.3連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)
2.5
隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.5.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
01230.10.20.30.4
0140.30.60.12.5.2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
我們可以這樣理解全概率公式,某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,?n),如果A是由原因Bi所引起,則A發(fā)生的概率是。每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生,故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和,即為全概率公式。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)
第3章隨機(jī)向量及其分布聯(lián)合分布邊緣分布條件分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性目錄3.13.23.33.4
案例引導(dǎo)—太空遨游
3.5隨機(jī)向量函數(shù)的分布案例引導(dǎo)—太空遨游
太空遨游自古以來(lái)都是人類(lèi)的一個(gè)美好愿望,從《淮南子》中的嫦娥奔月,到《西游記》中孫悟空的騰云駕霧以及一個(gè)筋斗云就可遨游太空十萬(wàn)八千里,一直寄托著人類(lèi)飛天的夢(mèng)想。在當(dāng)今世界,現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)已使這一美好夢(mèng)想成為活生生的現(xiàn)實(shí)。為了掌控太空飛船的運(yùn)行,控制中心就需要實(shí)時(shí)地對(duì)飛船在軌的高度和位置,飛行的姿態(tài)、方向和速度等一系列的指標(biāo)變量進(jìn)行監(jiān)測(cè)和數(shù)據(jù)分析。顯然,這里需要同時(shí)分析的隨機(jī)變量有多個(gè),就需要用到多個(gè)隨機(jī)變量及其分布的理論和模型。類(lèi)似的情形在現(xiàn)實(shí)中非常普遍,因此本章將在上一章單個(gè)隨機(jī)變量及其分布理論的基礎(chǔ)上,引入多維隨機(jī)變量即隨機(jī)向量,研究隨機(jī)向量的聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布以及隨機(jī)向量函數(shù)的概率分布問(wèn)題。
定義3.1.1假設(shè)隨機(jī)變量
是來(lái)自同一隨機(jī)試驗(yàn)的n個(gè)隨機(jī)變量,都定義在同一樣本空間Ω之上,則稱(chēng)
構(gòu)成一個(gè)n維隨機(jī)向量,亦稱(chēng)n維隨機(jī)變量,通常可簡(jiǎn)寫(xiě)為
。3.1聯(lián)合分布
定義3.1.2設(shè)
是n維隨機(jī)向量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)
,稱(chēng)n元非降函數(shù):為n維隨機(jī)向量
的聯(lián)合概率分布函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)為聯(lián)合分布函數(shù)或分布函數(shù)。
3.1.1聯(lián)合分布函數(shù)I.聯(lián)合分布函數(shù)定義
最簡(jiǎn)單的多維隨機(jī)向量是二維隨機(jī)向量,為了簡(jiǎn)便,可將二維隨機(jī)向量記為(X,Y),于是二維隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布函數(shù)就可以定義為:
如果將二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面上的隨機(jī)點(diǎn),那么分布函數(shù)F(x,y)就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以點(diǎn)(x,y)為頂點(diǎn)的左下方無(wú)限矩形區(qū)域內(nèi)的概率,如圖3.1.1所示。y(x
,y)xO圖3.1.1F(x,y)的幾何意義
(x2
,y2)(x1
,y2)y2y1(x2
,y1)(x1
,y1)x2x1圖3.1.2
隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形域的概率
由分布函數(shù)的幾何意義,再結(jié)合圖3.1.2,容易得出隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在平面內(nèi)任意一個(gè)矩形區(qū)域如
的概率為:
II.分布函數(shù)
F(x,y)
的性質(zhì)(1)分布函數(shù)F(x,y)
是隨機(jī)變量X和Y的非降函數(shù)。即對(duì)于任意固定的y,當(dāng)x2>x1
時(shí),有F(x2,y)>F(x1,y)
;對(duì)于任意固定的x,當(dāng)
y2>y1
時(shí),有F(x,y2)>F(x,y1)
。
(2)分布函數(shù)F(x,y)
的取值在0與1之間。即對(duì)于任意的
x?R
和y?R,有0≤F(x,y)≤1
,且:(3)分布函數(shù)F(x,y)分別關(guān)于x和y右連續(xù)。即對(duì)任意實(shí)數(shù)x和y,有:3.1.2二維離散型隨機(jī)向量的概率分布I.二維離散型隨機(jī)向量的概率分布定義
定義3.1.2記二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能取值為(xi,yj),i、j=1,2,…,則二元函數(shù):就稱(chēng)為二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)。
如果二維隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能取值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè),則稱(chēng)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量。
二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)也可以用列聯(lián)表表示,如表3.1.1所示。
表3.1.1維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表II.二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)性質(zhì)
(1)非負(fù)性。即:
(2)總和為1。即:
二維離散型隨機(jī)向量
(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)之間具有關(guān)系式:
總結(jié):由二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù),可以計(jì)算由隨機(jī)變量X和Y任何取值所確定的隨機(jī)事件的概率。假設(shè)A是平面上的一個(gè)區(qū)域,則隨機(jī)向量(X,Y)落入該區(qū)域的概率的計(jì)算公式為:
例3.1.1盒子中有5個(gè)相同的球,分別印有編號(hào)1、2、3、4、5,現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)球,記X為抽出的3個(gè)球中的最小號(hào)碼,Y為最大號(hào)碼,求隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù),并計(jì)算所抽出的3個(gè)球中最大號(hào)碼與最小號(hào)碼之差不超過(guò)2的概率。
解:這是一個(gè)古典概型問(wèn)題,由問(wèn)題可知,最小號(hào)碼X的可能取值為1、2、3,最大號(hào)碼Y的可能取值為3、4、5,使用第一章中古典概型方法,可以計(jì)算出隨機(jī)向量
(X,Y)的每對(duì)可能值的概率即(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)如表3.1.2所示。表3.1.2最小和最大號(hào)碼的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)
最大和最小號(hào)碼之差不超過(guò)2,也就是|Y-X|≤2,由聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表可知,落在此區(qū)域的向量值是表中的對(duì)角線及左下角的點(diǎn),從而可得:顯然,二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)的概念不難推廣到多維的情形,對(duì)于n維離散型隨機(jī)向量
X=(X1,X2,...,Xn),其聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)可定義為:實(shí)踐中常用的多維離散型隨機(jī)向量聯(lián)合概率分布模型:
(1)多項(xiàng)分布。在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中,若每次試驗(yàn)的可能結(jié)果有A1,A2,…,Ar種,每種可能結(jié)果出現(xiàn)的概率P(Ai)=pi,i=1,2,…,r,且p1+p2+…+pr=1,重復(fù)這種試驗(yàn)n次,并假定每次試驗(yàn)都是獨(dú)立的,記試驗(yàn)結(jié)果A1,A2,…,Ar
出現(xiàn)的次數(shù)分別為X1,X2,…,Xr
,則隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xr
)
的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)為:
其中整數(shù)ki≥
0,且k1+k2+...+kr=n。顯然,如果r=2,即每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果,則多項(xiàng)分布就是第二章中介紹的二項(xiàng)分布。(2)多元超幾何分布。假設(shè)盒子中共有r種顏色但大小相同的N個(gè)小球,其中各種顏色小球的個(gè)數(shù)分別為N1,N2,...,Nr,且N1+N2+...+Nr=N,從中隨機(jī)摸出n個(gè)小球,記各種顏色小球出現(xiàn)的次數(shù)分別為X1,X2,...,Xr,則隨機(jī)向量X=(X1,X2,...,Xr)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)為:
其中整數(shù)ni≥
0,且n1+n2+...+nr=n。顯然,當(dāng)r=2時(shí),多元超幾何分布就是第二章中介紹的超幾何分布。
多項(xiàng)分布和多元超幾何分布模型主要在抽樣調(diào)查中應(yīng)用,前者用于有放回抽樣,后者用于不放回抽樣。3.1.3二維連續(xù)型隨機(jī)向量的概率密度I.二維連續(xù)型隨機(jī)向量的概率密度定義
定義3.1.3對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y),使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y有則稱(chēng)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量,并稱(chēng)函數(shù)f(x,y)為二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。
注意:只要已知二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y),就可以利用二重積分計(jì)算出二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)落入平面內(nèi)任一區(qū)域D的概率,即有計(jì)算公式:II.二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)非負(fù)性。即:(2)全部概率之和為1。即:
。
由隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)的定義可知,若聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù),則有:
這表明,如果已知二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),則可以通過(guò)對(duì)兩變量混合求導(dǎo)而得出其聯(lián)合概率密度函數(shù)。
例3.1.2設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:要求:
(1)求常數(shù)a;
(2)求分布函數(shù);
(3)求概率P{Y≤X}。
解:(1)在整個(gè)二維平面對(duì)隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行積分,得:由聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)可知,樣本空間上的全部概率之和為1,即上式積分應(yīng)等于1,由此即得a=2。(2)由分布函數(shù)的定義,當(dāng)x≤0,y≤0時(shí):
;所以完整的分布函數(shù)為:而當(dāng)x>0,y>0時(shí):(3)將看作是平面上的隨機(jī)點(diǎn),則隨機(jī)事件就是隨機(jī)點(diǎn)落入平面第1和第3象限內(nèi)450線下方區(qū)域,記該區(qū)域?yàn)镈,則有,如圖3.1.3所示。于是按照二維隨機(jī)向量落入平面某個(gè)區(qū)域概率的計(jì)算公式,可得:DOy=xyx圖3.1.3
實(shí)踐中,二維連續(xù)型隨機(jī)向量及其分布經(jīng)常會(huì)用到,其中最常用的是二維均勻分布和二維正態(tài)分布。(1)二維均勻分布。如果二維隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:其中D為xOy平面上的有界區(qū)域,D的面積為S,則稱(chēng)隨機(jī)向量在區(qū)域D上服從均勻分布。
例3.1.3
設(shè)二維隨機(jī)向量服從圓域上的均勻分布,區(qū)域A為x軸、y軸和y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域,如圖3.1.4。要求計(jì)算概率。
解:圓域D的面積S=π,因此隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為:區(qū)域A是由x軸、y軸和y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域,并且包含在圓域D之內(nèi)。于是:--1-1/20x1y
y=2x+1圖3.1.4(2)二維正態(tài)分布。如果二維隨機(jī)向量的概率密度為
則稱(chēng)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從參數(shù)為μ1、μ2、σ1、σ2、ρ
的二維正態(tài)分布。同時(shí),也稱(chēng)(X,Y)為二維正態(tài)隨機(jī)向量,記為(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)。注意二維正態(tài)分布中的參數(shù)μ1、μ2、σ1、σ2、ρ均為常數(shù),且都有重要的意義。其中-∞<μ1,μ2<+∞,分別反映了隨機(jī)變量X和Y取值的分布中心位置,而σ1>0、σ2>0,則分別反映了隨機(jī)變量X和Y取值的散布程度,ρ則反映了隨機(jī)變量X和Y之間的相關(guān)程度。
二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)的圖形如圖3.1.5所示,其形狀像一個(gè)“斗笠”。二維正態(tài)分布在實(shí)踐中有著非常重要的作用。圖3.1.5二維正態(tài)分布聯(lián)合概率密度3.2邊緣分布3.2.1邊緣分布函數(shù)
定義3.2.1
二維隨機(jī)向量(X,Y)中X和Y的邊緣分布函數(shù)就是隨機(jī)變量X和Y各自的分布函數(shù),分別記為FX(x)和FY(y),二者均可以由隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)確定,計(jì)算方法分別為:
該定義表明,如果已知二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布函數(shù),那么就可以通過(guò)對(duì)其中一個(gè)隨機(jī)變量在整個(gè)數(shù)軸上進(jìn)行積分的方法而得出另一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。3.2.2二維離散型隨機(jī)向量的邊緣概率分布
定義3.2.2二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)中X和Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)就是隨機(jī)變量X和Y各自的概率質(zhì)量函數(shù),分別記為pX(xi)和pY(yj),二者均可以由隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)確定,計(jì)算方法分別為:
該定義表明,如果已知二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù),就可以通過(guò)對(duì)其中一個(gè)隨機(jī)變量全部取值的概率求和的方法而得到另一個(gè)隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)。X和Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)也可用表格表示,見(jiàn)表3.2.1。表3.2.1二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)及各變量的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)
例3.2.1
由例3.1.1給出的二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表,計(jì)算最小號(hào)碼X和最大號(hào)碼Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)。
解:將例3.1.1中二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表右邊和下邊分別加邊,然后分別計(jì)算每行概率之和以及每列概率之和,列入加邊之中,即得X的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)和Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù),如表3.2.2所示。3.2.3二維連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣概率密度
定義3.2.3二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)中X和Y的邊緣概率密度函數(shù)就是隨機(jī)變量X和Y各自的概率密度函數(shù),分別記為fX(x)和fY(y),二者均可以由隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)確定。由邊緣分布函數(shù)的定義,變量X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為:記
,
,則隨機(jī)變量X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為:
,
;由此即得二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)中變量X和Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為:
,
。
該定義表明,類(lèi)似于分布函數(shù)情形,對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y),如果已知其聯(lián)合概率密度函數(shù),則就可通過(guò)對(duì)其中一個(gè)變量在整個(gè)數(shù)軸上進(jìn)行積分而得到另一個(gè)變量的邊緣概率密度函數(shù)。
例3.2.2設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤x}上服從均勻分布(見(jiàn)圖3.2.1),求X和Y的邊緣概率密度函數(shù)。
解:因?yàn)殡S機(jī)向量(X,Y)服從區(qū)域D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤x}上的均勻分布,所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:圖3.2.1區(qū)域D當(dāng)x<0或x>1時(shí),f(x,y)=0,從而fX(x)=0;當(dāng)0≤x≤1時(shí),
。于是,得到X的邊緣概率密度函數(shù):當(dāng)y<0或y>1時(shí),f(x,y)=0,從而fY(y)=0;當(dāng)0≤y≤1時(shí),
。于是,得到Y(jié)的邊緣概率密度函數(shù):
例3.2.3設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ),求X和Y的邊緣概率密度函數(shù)。
解:由二維正態(tài)分布N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)的聯(lián)合概率密度函數(shù),得X的邊緣概率密度函數(shù)的計(jì)算式為:作變量代換,令:,則得:根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的概率密度的性質(zhì)即可得到:
同理可得:該結(jié)果表明X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),即二維正態(tài)隨機(jī)向量的邊緣概率分布仍是正態(tài)分布。3.3條件分布3.3.1條件分布的定義
定義3.3.1假設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量,在隨機(jī)變量X的取值給定的條件下,即已知X=x的條件下,隨機(jī)變量Y的所有可能取值的概率分布就稱(chēng)為Y對(duì)X的條件分布;而在隨機(jī)變量Y的取值給定的條件下,即已知Y=y的條件下,隨機(jī)變量X的所有可能取值的概率分布就稱(chēng)為X對(duì)Y的條件分布。3.3.2離散型隨機(jī)變量的條件概率分布I.離散型隨機(jī)變量的條件概率質(zhì)量函數(shù)定義
定義3.3.2
設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)為p(xi,yj)=pij,隨機(jī)變量X和Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)分別為和,對(duì)于給定的X=xi,若,則稱(chēng)為隨機(jī)變量Y在條件X=xi下的條件概率質(zhì)量函數(shù)。
若,則稱(chēng)為隨機(jī)變量X在條件Y=yj下的條件概率質(zhì)量函數(shù)。II.離散型隨機(jī)變量的條件概率質(zhì)量函數(shù)性質(zhì)(1)(2)
例3.3.1
在例3.1.1中,隨機(jī)變量X表示隨機(jī)摸出的3個(gè)球中的最小號(hào)碼,隨機(jī)變量Y表示其中的最大號(hào)碼。求在最小號(hào)碼X為1的條件下,最大號(hào)碼Y的條件概率質(zhì)量函數(shù)。
解:由例3.1.1和例3.2.1中的隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表可知,當(dāng)最小號(hào)碼X=1時(shí),最小號(hào)碼X與最大號(hào)碼Y的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)和X的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)為表3.3.1所示。
根據(jù)表中數(shù)據(jù),按照條件概率質(zhì)量函數(shù)的計(jì)算公式,得:由此即得最小號(hào)碼X為1時(shí),最大號(hào)碼Y的條件概率質(zhì)量函數(shù),如表3.3.2。同理也可求得最小號(hào)碼X為2、3的條件下,最大號(hào)碼Y的條件概率質(zhì)量函數(shù)。3.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度
定義3.3.3設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y),fX(x)和fY(y)分別為關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)。如果f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù),fY(y)在y處連續(xù)且fY(y)>0,則稱(chēng)為隨機(jī)變量X在Y=y條件下的條件概率密度。而函數(shù)則稱(chēng)為在Y=y的條件下,X的條件分布函數(shù)。
如果f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù),fX(x)在x處連續(xù)且fX(x)>0,則稱(chēng)為隨機(jī)變量Y在X=x條件下的條件概率密度。而函數(shù)則稱(chēng)為在X=x的條件下,Y的條件分布函數(shù)。
例3.3.2設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從區(qū)域D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤x}上的均勻分布,求條件概率密度f(wàn)X|Y(x|y)和fY|X(y|x)。
解:根據(jù)題意知(X,Y)的概率密度為由例3.2.2得知:于是,當(dāng)0≤y<1時(shí),fY(y)>0。由條件概率密度函數(shù)的定義得特別地,當(dāng)y=0時(shí),X的條件概率密度為這是區(qū)間[0,1]上的均勻分布。同理,當(dāng)0<x≤1時(shí),fX(x)>0。由條件概率密度函數(shù)的定義得
例3.3.3設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ),求條件概率密度f(wàn)X|Y(x|y)和fY|X(y|x)。
解:根據(jù)題意知(X,Y)的概率密度為由例3.2.3得知X和Y的邊緣密度函數(shù)分別為:于是,對(duì)于-∞<y<+∞,由條件概率密度函數(shù)的定義得:類(lèi)似地可求
上述結(jié)果表明,二維正態(tài)隨機(jī)向量的條件分布仍是正態(tài)分布。在Y給定的條件下,隨機(jī)變量X的條件概率分布是正態(tài)分布
;在X給定的條件下,隨機(jī)變量Y的條件概率分布是正態(tài)分布
。3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性
Y\X1234100.100.150.050.3020.100.200.100.100.5030.050.100.0500.200.150.400.300.151.00
Y\X123231
3.5隨機(jī)向量函數(shù)的分布
X012
Y0123P
P
Y\X01230121Z012345P
X\Y0120102001
Z012p
連續(xù)獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式要計(jì)算兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量之和的概率密度函數(shù),可以直接使用卷積公式計(jì)算。
第三章小結(jié)(一)第三章小結(jié)(二)第三章小結(jié)(三)第三章小結(jié)(四)
第三章小結(jié)(五)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)
第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征案例引導(dǎo)——認(rèn)識(shí)我國(guó)社會(huì)主要矛盾1981年黨的十一屆六中全會(huì)提出“在社會(huì)主義改造基本完成以后,我國(guó)所要解決的主要矛盾,是人民日益增長(zhǎng)的物質(zhì)文化需要同落后的社會(huì)生產(chǎn)之間的矛盾”;2017年黨的十九大報(bào)告首次作出重大判斷“中國(guó)特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代,我國(guó)社會(huì)主要矛盾已經(jīng)轉(zhuǎn)化為人民日益增長(zhǎng)的美好生活需要和不平衡不充分的發(fā)展之間的矛盾”。問(wèn)題:試從數(shù)字特征的角度分析以上我國(guó)社會(huì)主要矛盾的本質(zhì)。本章內(nèi)容4.1期望4.2方差4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.4原點(diǎn)矩與中心矩4.1期望數(shù)學(xué)期望(Expectation,簡(jiǎn)稱(chēng)“期望”,亦稱(chēng)“均值”,本書(shū)以下均用其簡(jiǎn)稱(chēng)期望)是用于刻畫(huà)隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的重要特征,以下分別介紹:4.1.1離散型隨機(jī)變量的期望4.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量的期望4.1.3隨機(jī)變量函數(shù)的期望4.1.4隨機(jī)向量函數(shù)的期望4.1.1離散型隨機(jī)變量的期望
4.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量的期望
4.1.3隨機(jī)變量函數(shù)的期望
4.1.4隨機(jī)向量函數(shù)的期望
4.1.5期望的性質(zhì)
4.2方差方差(Variance)是用于刻畫(huà)隨機(jī)變量離散程度的重要特征,可通過(guò)將隨機(jī)變量的取值與其期望進(jìn)行比較得到,由于隨機(jī)變量的取值可能比期望大,也可能比期望小,所以比較的差值可能為正數(shù)也可能為負(fù)數(shù),直接合并會(huì)存在抵消的問(wèn)題,故在合并差值之前,常將差值求平方之后再求期望,我們稱(chēng)之為“方
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