余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1.2余弦定理南京師范大學(xué)附屬中學(xué)張躍紅教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；2. 能夠運(yùn)用余弦定理解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)是余弦定理及其證明過程.教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)是余弦定理的推導(dǎo)和證明.教學(xué)過程:1. 創(chuàng)設(shè)情景，提出問題問題1 :修建一條高速公路，要開鑿隧道將一段山體打通現(xiàn)要測量該山體底側(cè)兩點(diǎn)間的距離，即要測量該山體兩底側(cè) A，B兩點(diǎn)間的距離（如圖1） 請想辦法解決這個(gè)問題.設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)學(xué)生身邊的實(shí)際應(yīng)用問題,在其解決的過程中得到余弦定理，自然引出本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.2. 構(gòu)建模型，解決問題學(xué)生活動(dòng)：提出的方法有，先航拍，然后根據(jù)比例尺

2、算出距離；利用等高線量出距離等；也有學(xué)生提出在遠(yuǎn)處選一點(diǎn) C，然后量出AC, BC的長度，再測出ZACB . KBC是確定的，就可以計(jì)算出AB的長接下來，請三位板演其解法.法1 :（構(gòu)造直角三角形）如圖2，過點(diǎn)A作垂線交BC于點(diǎn)D，則| AD | = | AC | sinC,| CD | = | AC | cosC,I BD | = | BC | - | CD | = | BC | - | AC | cosC,所以，| AB | AD | AB| . (| AC |cosC | BC |)2 (| AC | sinC 0)2 ,所以，| AB| , | AC |2| BC |2 2 | AC

3、| | BC | cosC .活動(dòng)評價(jià)：師生共同評價(jià)板演.3. 追蹤成果，提出猜想.師：回顧剛剛解決的問題，我們很容易得到結(jié)論：在 ABC中，a, b , c是 角A , B, C的對邊長，則有c2 a2 b2 2abcosC成立.類似的還有其他等式， 2 2 2 2 2a c b 2cb cos A, b c a 2ca cos B .正弦定理反映的是三角形中邊長與角度之間的一種數(shù)量關(guān)系，| BD|2；| AC |2 |BC |2 2|AC| |BC| cosC .法2:(向量方法)如圖3,uuu uuur uuu 因?yàn)?AB AC CB ,所以,UUU2 uuu UJU oAB (AC C

4、B)2因?yàn)榕c正弦有uuur 2UUU2uuuruuuAC CB 2ACCBcos( C),即 | AB |, | AC |2 |BC |2 2 | AC | | BC | cosC .法3:(建立直角坐標(biāo)系)建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，則 A ( | AC | cosC, | AC | sin C),B ( | BC | , 0),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得關(guān)，就稱為正弦定理；而上面等式中都與余弦有關(guān)，就叫做余弦定理問題 2：剛才問題的解題過程是否可以作為余弦定理的證明過程？ 設(shè)計(jì)意圖：作為定理要經(jīng)過嚴(yán)格的證明，在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S 習(xí)慣學(xué)生活動(dòng)：經(jīng)過思考得出，若把解法一作為定理的證

5、明過程，需要對角 C 進(jìn) 行分類討論，即分角 C 為銳角、直角、鈍角三種情況進(jìn)行證明；第二種和第三 種解法可以作為余弦定理的證明過程教師總結(jié)：證明余弦定理，就是證明一個(gè)等式而在證明等式的過程中，我 們可以將一般三角形的問題通過作高， 轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題； 還可以構(gòu)造向 量等式，然后利用向量的數(shù)量積將其數(shù)量化； 還可以建立直角坐標(biāo)系， 借助兩點(diǎn) 間的距離公式來解決，等等4. 探幽入微，深化理解 問題 3：剛剛認(rèn)識了余弦定理這個(gè)“新朋友” ，看一看它有什么特征？ 學(xué)生活動(dòng)：勾股定理是余弦定理的特例 反過來也可以說，余弦定理是勾 股定理的推廣；當(dāng)角 C 為銳角或鈍角時(shí)，邊長之間有不等關(guān)系a2 b

6、2 c2 ，a b2 c2 ; c2 a2 b2 2abcosC是邊長a、b、c的輪換式，同時(shí)等式右邊 的角與等式左邊的邊相對應(yīng)；等式右邊有點(diǎn)象完全平方，等等教師總結(jié)： 我們在觀察一個(gè)等式時(shí)，就如同觀察一個(gè)人一樣，先從遠(yuǎn)處看， 然后再近處看，先從外表再到內(nèi)心深處觀察等式時(shí)，先從整體（比如輪換）再 到局部（比如等式左右邊角的對稱） ，從一般到特殊，或者從特殊到一般（比如 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣） 問題 4：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)余弦定理，學(xué)它有什么用？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生真正體會(huì)到學(xué)習(xí)余弦定理的必要性同時(shí)又可以得到余弦 定理能解決的三角形所滿足的條件， 以及余弦定理的各種變形.讓學(xué)生體會(huì)在使用公式或定理時(shí)，不但要會(huì)“正向使用”還要學(xué)會(huì)“逆向使用”學(xué)生活動(dòng)：解已知三角形的兩邊和它們夾角的三角形；如果已知三邊，可以求角，進(jìn)而解出三角形，即.2 2 2“ b c a rcos A,cosB2bc2 2 , 2a c b小,cosC2ac2 , 2 2a b c2ab5. 學(xué)以致用，拓展延伸.練習(xí)：1 .在ABC 中，若 a = 3，b = 5，c = 7 ,求角 C.2 . (1 )在AABC中，若b ,3 1,c.6, A 45，解這個(gè)三角形.(2)在AABC 中，b ,3,B60,c 1，求 a.學(xué)生活動(dòng)：練習(xí)后相互交流得出，解答題1時(shí)，利用的是余